勾股定理知识归纳

1、第十八章、勾股定理第一节、知识梳理勾股定理学习目标1. 拿握勾股定理，了缪利用拼图验证勾腹定理的方法.2. 能运用勾股定理解决实际问题.重点碓点重点：了解勾股定理，芥能正确合浬的运用.碓点：勾股定理的证明.知识概要1. 勾股定理：如果直角三角形的两宜甬边为泊b,斜边为c,那么a2+b2=c2,即宜角三角形两宜角 边a、b的平方和等于斜边C的平方.2. 勾股定理的应用.勾赧定理是宜角三角形的一个重要的性质，它是把三用形由一个宜角的“形”的待征捷化为三边“教”的 关系，因此它是数形结台的一个典范.3勾股定理的证法.知识链接1. 勾股定理的历史背長我国是杲早了解勾股定理的国家之一，商朝教学家商高提出

2、了 “勾三、股四.弦五”，被i己载于周髀算经 中.在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.2. 与直角三角形有关的问题(1) 宜甬三角形的定义.(2) 宜甬三甬形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于 斜边的一半；宜角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.中韦视点勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了宜甬三角形三边之间的关系，中誇对于这部分的考査主要是 勾股定理的运用：(1) 运用勾股定理解亘甬三角形：已知三角形的两边求第三边.(2) 利用勾腹定理证明一些具有平方的关系式(5)运用勾股定理在敌轴上找到一些和无理敘对应的点.勾股定理的逆定理学习目栋1. 拿握

3、勾股定理的逆定理，并会用它判定一个三角形是不是宜角三角形.2理解并初步掌握利用三角形全等尺代敌计算来证明宜甬三甬形的方法.重点准点重点：勾股定理的逆定理尺其应用.琏点：勾股定理的逆定理的证明及应用知识概要勾股定理是将宜角三甬形的形的特征捷化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定宜甬三角形的重要依 摇，是由敎定形.1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长2、b、C满足用+ L=c那么这个三角形是宜角三角形.2. 如果悶个命題的趣设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题.如杲把其中的一个叫做原 命题，那么另一个叫作它的逆命题.3. 如果一个定理的逆命題经过证明是正确的，那么它也是一个定

4、理，称这阿个定理互为逆定理.4能够成为宜甬三甬形三条边长的三个正整敌，称为勾股教组.知识链接(1) 勾股定理与勾般定浬的逆定浬是两个互逆的命题.(2) 勾腹数：满足条件a-+b2=?的三个正整教，称为勾般敎常见的勾般教组有：3, 4, 5; 5, 12, 13;8, 15, 17; 7, 24, 25； 20, 21, 29； 9, 40,41;这些勾股数组前整数倍数仍然是勾腹数组.中考芳点勾般定浬的逆定逞是证明一个三角形是宜角三角形的重要定理，中辛中经常利用它来求角，证明线段的罄 宜关系以及确定三角形的形状.第二节、教材解读一、勾般定浬的内容勾腹定理的内容是：如果宜角三角形两宜角边分别是沢b

5、,斜边是C,那么a2+b-=c2.因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾舲定理的适用条件是在宜角三角形中；二要注意表 达式的灵活变形，即阿条宜角边的平方和等于斜边的平方在宜甬三甬形中，巳知任意阿条边长，可求出第三条 边的长.二、正确判定一个三角形是否是宜角三角形如果三甬形的三边长：K b、C满足吾b疋，那么这个三角形就是直角三角形.这一识别方法与勾股定浬的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理有了宜命三角形的这一判别方法可 以通过计算判断一个三角形是否为宜角三角形.要判断一个三角形是不是宜角三角形，一是确定最犬边，即斜边C；二是验证与,+b是否相等若?=用+匕 则 ABC是宜甬三

6、甬形，且上C=90；若疋产廉+比p|lJ_ABC不是直角三角形.三、熟练掌握勾股定連在实际生活中的应用勾股定浬有着广泛的应用如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为皿的线段等寧以求作长为皿的线段为例，利用勾般定湮作出长为尺VT.的线段，如下左国所示.用同样的方法我们可以在敎抽上画出表种.VT、VT的点，如下右图所示.0 1 2四. 勾股定理逆定理的推导勾股定理告诉我们，如果亘甬三角形的阴直角边分别为触b,斜边为C,那么a:+b:=c即直甬三角形阴直 角边的平方和等于斜边的平方.反之如果我们巳知一个三甬形的三条边长分别为狄b. c,边长之间满足关系 a:+b:=c:,那么我们

7、是否能幣据此确定三角形的形状呢？下面是5组三角形边长的教据以尺根据各组薮湄画出的三甬形,(1 )介=6 , b= 0 , c= 1 0 ;(2 ) a= 5 , b= 1 2 , c= 1 3 ;(3 ) a= 1 5 , b= 2 0 , c= 2 5 s012 氏6 我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长部满足关系八+b：=L,我们 再观察上面三个根涓已知边长画出的三甬形，我们发现三个三角形部是直甬三甬形.根摇我们现在所掌握的这 些个例的情况，我们可以先进行大胆的詹测：如果一个三甬形的三边长狙b. c满足a:+b:=c:，那么这个三用形是宜角三用形.我们的詹测是否

8、正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明.【例题】 巳知_ABC的三边BC=a、AC=b、AB=c且满足条件a:+b:=c:，试判断_ABC是 否为宜角三角形.【思考与分析】根湄前面学习的勾般定浬，我们知道如果一个宜甬三甬形以狙b为直角边，那么它的斜 I边c必满足c:=a:+b-,那么这个宜甬三甬形的三边就与_ABC的三边分别对应相等，所以说如果_ABC 耀直角三角形，那么它必与以狙b为直角边的宜甬三角形全竽.,解：我们作 Ri_Ar B C,二 C =9 0，, A* C =b, B* C =a.|根据勾股定浬：A B 2=a-+b:.I

9、二 -ABC的三边沢b、c满足条件八+b：=c：,又.在 _BC 中 BC=；k AC =b. AB=c, _AB Ri_A* B* C1 (S S S)._ABC是宜角三角形，上C=9 O.【小结】探索勾.股定浬的逆定理的过程邊循了从特味到一般这样一条认识事物的规律，首先我们是通过已掌 握的几个有限个例来归纳猜想出结论，然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.第三节、错解剖析一、勾般定理只能在宜角三角形中运用【例1】在_ABC中，AC=3, BC=4,则AB的长为()A.5B.10C.4n.大于1且小于7常见错误：A.错误分析：題意是巳知三甬形的两边求第三边，缪題者错误地用宜角三角形代替了任

10、意三角形进行求解, 没有注意题目中芥没有给出宜角三角形的前提条件，所以不範用勾股定浬，只能用“两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确菩案：H.二、运用勾股定理时要分清斜边和宜角边【例 2】 在Rt_ABC 中，AC=9, BC=12,则 AB常见错误：在Rt.ABC中，利用勾.股定理，得AB2=AC2+BC2=225.链溟分析：没有区分要求的AB是宜甬边还是斜边，只是模恸地记住了勾般定浬的原形，阳没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如杲AB是斜边，则利用勾般定理，得ABAC2 + BC=225;如果AB是宜角边，因为BOAC,所以BC为斜边，

11、则利用勾股定理，得AB2=BC2-AC2=63AB为225或63.正确咨案：225或63.三、给定三甬形要分形状运用勾腹定理【例3】 在_ABC中，AB=13, AC=15,高AD = 12,求_ABC的周长.常见错误：悵据勾腹定理，B D2= ABAD2=1 32- 1 22= 2 5,CD-=ACAD2=1 52- 1 2-= 3 1, BD= 5 , CD= 9 , BC = BD+CD=S + 9= 14.此时，_ABC的周长为AB + B C+AC=1 3 + 14 + 1 5 = 4 2 u错误分析：-ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形错误空案是只讨论了_abc是锐角三角形

12、 阳忽视了它还可能为钝角三角形的情况.正确咨案：应该分情况讨论，当_abc是锐角三角形时，解法如上.当_ABC是吨甬三角形时，其图如下，根据勾股定理，B D2= ABAD2=1 32- 1 22= 2 5,CD-=ACAD2= 1 5 2- 1 2 2= 0 1 , BD=3,CD=9,BC = CD-BD=9-5 = 4.此时，_ABC的周长为：AB + B C+AC=1 3 + 4+1 5 = 32.故_ABC的周长为42或32.四、不能正确区分宜角边和斜边【例4】已知一个三甬形的三边长沪5, b=13, c=12,这个三甬形是宜甬三角形吗？错解：不是在三角形中，利用勾股定理，a-+b-=

13、194, c-=144.a-+b-*c-,故此三角形不是直角三角形.链解分析：本题中虽然r-rb-c2,但我们不能因此就认定这个三角形不是宜角三甬形，我们应该首先分 析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2=169, +?=25+144=169, BD a2+c2=b2；故这个 三角形为宜角三角形因此我们在協題时，先找到杲长边，即确定斜边，可以让我们少走穹路.正确答案：是.【反思】勾股定理的連定浬是利用三角形的三边之间的数宜关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定 理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为宜用边哪条为斜边.五. 芳虑不全面造成漏解【例5】已知加b、c%_ABC的三边

14、，旦满足a2c2b2c2=?4b4，试判断_ABC的形状.错解:a2c2b2c2=a4b4 (I)/. c2 ( a2 b2) = ( a2+b2)(a2 b2) (2)c2=a2+b2 (3)_ABC是宜甬三角形.链解分析：本题在由第(2)步到第(3)步的化简过程中没有考虑到ab-=0的倩况就直接在等式两边 除以一个可能为0的教，从丽导致了错误.正解：T a2c2b2c2 = a4b4c2 ( a2b2) = ( a2+b2)(a2 b2)(1) 当Xb%0时,化简后得r=a2+b2-ABC是宜角三用形.(2) 当”一泾=0 时，a=b_ABC是爹媵三用形.【反思】本题结台因式分缪的知识，煖

15、台琴査了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还 辛萱了等式的性质2:在等式関边不能同时除以一个可能为0的教，这住往是我们最容易忽视的地方，应引起 大家的注意.六不能仅凭模彻记忆【例6】在_ABC中，_儿ZB. _.不是亘甬三角形错解：选B错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件袒貉地分析得出存在平方关系之后就习惯性 地认为边C的对角二C 一定表示宜角.该題中的条件应捷化为a2-b2=c即/=,+，应根据这一关系进行判 断.債边所对的角上A为亘甬.故选A.【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是宜角的时候不能因为思淮定势看到数重的平方关系就得到某个 角是宜甬的结论.七.专

16、虑不全造成漏解【例7】巳知宜角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.错超刮析：因习惯了 “勾三舲四弦五的说法，即意味着阴宜甬边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前 提是3、4为宜角边.励本题中芥未加以任何说明，因用所求的第三边可能为斜边，也可能为宜角边.正解：（1）当两宜荊边为3和4时，第三边长为仔+4 -v25 =5.（2）当斜边为4, 一宜角边为3时，第三边长为/平一3?二71 .八、理解流于形式，造成思维定势【例8】巳知三用形的三边为“一4 r 4, C=1，这个三角形是亘甬三角形吗？925错超：用=16,泾=疋，（r=l,血2+bHc2,该三角形不是宜甬三角形.错超刮析：虽然但不能

17、急于否定这个三角形就不是直希三角形，因为我们发现有a2+c2=b2, 所以这个三角形是宜龟三角形.正紐：这个三甬形是宜甬三甬形.九混漕勾股定理与逆定理【例9】在B港有甲.二阿谴渔船，若甲船沿北偏东6 0,方向以每小时8海里的速度前进，二船沿南傭东 某个角度以苒小时15海里的速度前进，2小时后，甲俯到MS,二船到P珞,两鸟相距34海里，你知道二餡 是沿那个方向航行的吗？错迟甲船航行的距离为BM=8X2=16 （海里），二船航行的距离为BP=15X2=3O （海里）.*. -MBP为直角三角形._MBP=90 二船是沿着南偏东3（r方向航行.错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽殆了对使用勾股

18、定理的前提条件的证明，犯了运用上茁错误. 正解：甲船航行的距离为BM=8X2=16 （海里），：!船航行的距离为BP=15X2 = 3O （海里）. 162+302=1156, 342=1156,BNf+BPMP2_MBP为宜甬三角形._MBP=90二聒是沿着南诵东30,的方向航行的.第四节、思维点拨一、方程思想【例1】如亂在长方形ABCD中，DC=Scm,在DC上存在一点E,沿宜线AE把_AED折益，使点D【分析与解】由ABF的面积为30cn?,可得 BF=12cm.则在 Ri_AEF 中，AB=Scm, BF=12cm,根据勾般定浬可知AF=13cm.再生折益的性质可知AD=AF=13cm

19、.所以 FC=lcm.可设 nE=EF=x,则 EC=5-x在Rt_EFC中，可得：I2+ （5-x） 2=r.解这个方程，得 13所以 S_=2 x 5 x 13=16.9 （cm-）.二化归思想【例2】如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，勒点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移功到 BC的中点S的最短路径长为（）A. 2V 1+tt2B. 2V1+4tt2C 4 VTD. 2V1+27T2【分析与解】求几何体表面的最短距徑，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面为“平面”， 再寻找解题的途径.如上右图，可得展开图中的AB的长为仏十2=2口，Bz S的长为4一2 = 2在Rt_AB

20、 S中，根据勾股定理，得 AS =2Vl-hTT2 .所以勒点P从A点出发，沿着圜柱的侧面移功到BC的中点S的是短路径长为2故选A.三、分类讨论思想【例3】 在_ABC中，AB=15, AC=20, AD是BC边上的高，AD=12,试求出BC边的长.【分析与解】此题没有给出国示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高 的住置应分两种情况来求如下图所示，-ABC有関种情况.由勾股定理，分别在 Rt_ABD 和 Rt_ADC 中，得 BD2=ABAD152.122= 81 ,则 BP=9.Cn2=ACB=sr)c=9o设 DC=X,则 BD = 14-X.在Ri-ABD中，由

21、勾股定理得：AD: = AB :-BD:= 1 5 :- (14一“ 在Ri_ADC中，由勾股定理得：AD:= 1 3 :-x:.由=，解得只=5所以 AD : = 1 3= 16925=144,故 AD= 1 2 1_ 所以 S_A3c=2b C AD=X 12X14 = 34 解法二：AD=x,则在 Ri_ABD 中，由勾股定理得：BD: = AB:-AD:= 1 5 :-x:.在Ri_ADC中，由勾股定理得：CD:= 1 3 :再根据题意，知BC二BD+DC,/. 14 二 VBF，解得 *12.所以D=84.四、勾般定浬是宜角三角形的一个重要性质，这个定連反映了直角三角形三条边之间的关

22、系，它是把三角 形有一个宜用的“形”的持征，转化为三边“教”的关系，因此它是教形结台的一个典范.下面就让我们通过 一道例题来体会一下【例5】巳知：在-ABC中，2=13c叫BC=10cm, BC边上的中线AD=12cm则_ABC是竽腰三角形吗？【思与分析】先画出图形，如込 求出BH=5cm,利毎直命三角形的判定方法，说明5_BC,然后 在_5C中，利用勾股定理求出AC,从丽得到AB=AC.解：由人门是BC边上的中线，_ 丄得 BD=CD=BC=X10=5 (cm).(由形到教)在_ABD 中，W An2+DB2=122+52=132 =AB2,所以一ABD是宜角三角形，其中 _ADB=90，,

23、ADC=9(f(由数到形)在 Rt_ADC 中，AC-= AD2+DC2= 122+52= 169, 又因为AC0,所以AC=13 (cm).(由形到敎)RO AB=AC.故_ ABC是等怨三角形.(由教到形)A【反思】此题综台运用了勾般定理尺宜角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到沁，再由逆T 到“形”的教形结合的思想，从中你可以体会到数形结合的奧妙.【例6】小刚准E测虽一般河水的深度，他把一根竹竿插到蔑岸边1鈕远的水底，竹竿高出水面0.5m,把竹 竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为()A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m【思考与分析】为了顺利解决此题

24、，我们首先要帳湄題中叙述的条件S出草囲如上，则有BO=1.5m,AF二CE=0.5m, AD=BF二BE二水深，在 Rt_ABr 中，设河水的深度 BF=m,则有 AB二(0.5+x) m, ADm,BH=1.5m,根据勾股定理,列方程(0.5+x) 2=1.52+r,解之即可.解：如上图所示，在Ri_ABD中，设河水的深度BF=xm,则有 AB= (0.5+x) m, AD=xm,BD=1.5m.悵据勾腹定理，列方程：(0.5+x) 2=1.52+x2,解得x=2.所以河水的深度为2m.故答案选A.【小结】本题是敎学问题在主活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草亂 把实际问题捷化成敌学间

25、題,运用我们所学的数学知识来求解这种通过分析题意,画出图形,将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思 想方法，我们一般称为建模的教学思想、方法本题在画出草图，把题意抽象成纯敌学问題后，实际上就是建立起 “解直角三角形的数学模型(如上图)”，在此基础上，借肋勾股定理来进行求解解这种实际应用題的一般黄 略为:解数学建模、 问题圻何题丰屯数学问题一h问題的经验数学化注意经矗另外，在此题中还运用了方程的教学思想，勾般定浬的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长 度时，可通过设未知教，建立方程进行求解，运用冇程思想，有时可大犬简化求解过程.第五节、竞赛数学【例1】 等K_AB C中AB = AC

26、, D为BC上任一点，求证：AB:-AD: = BDDC【思琴与分析】本題要证明的夺式中含有线段的平方，故可以活虑运用勾般定逗，但我们知道运用勾，股 定浬的先决条件是具肓宜用三角形，那么就需要我们首先构造宜侖三角形.根据等腰三角形的性质，我们作A P_BC,则 BP = PC,那么 BD DC= (B P + PD) (PC-PD) =B P:-PD:,又S 为 Rt_A PB和Ri_APD有公共边AP,由勾般定浬得AB:-BP: = AD:-PD:,所以AB AD: = B P: 一 PD： = BD DC.证明：(1)若D不是BC的中点时，作AP丄BC于点P,如囲1.等腫_AB C中AB

27、= AC, B P = P C .在Ri_AP B和Ri_APD中，由勾股定理得：A B7=A 尸+R严再DJ4尸十p”购式相诚得：AB：-AD，=BP： - PD：=(BP + PD)(BP-PD) = (BP + PD)(PC-PD)=BD D C,即 AB： 一 AD： = BD DC.(2)若D是BC的中点，如图2.等 _AB C 中 AB=AC, AD丄B C , B D = DC在 Rt_ADB 中AB ： = AD： + B D：,/. AB：-AD： = BD：=BD BD=BD DC,R1AB:-AD: = BD DC .【例2】如图3,在_ABC中，若ABAC, AE为BC

28、边上的中线，AF为BC边上的高. 求证：AB:-AC:=2 BC EF.【思考与分析】竽式左边根据题中给出的条件A F为BC边上的高，IHlRi-ABF和 Rt_ACF中包含这三边，我们可以得到AB:-BF: = AF:t AC：-CF： = AF：这两个等式，这时我 们就可以发现网式相诚得到ABAC:=BF-CF-= (B F + C F) (BF-CF),再根据AE为B C边上的中线，继续化简可证得结论.证明：AF为BC边上的高，根据勾股定理WAB BF: = AF: = AC:-CF:, AB:-AC:=BF:-CF:= (BF + CF) (BF-CF)=B C (BF-CF)又AE为

29、BC边上的中线，B E = E C BF-CF=(BE + EF)-(EC-EF)=2 E F AB AC := 2 B C EF.【例3如图所示，巳知_ABC中，_ACB = 9 0，, AC = BC, P是_ABC内一点，且PA=3 , P B=1 , P C = 2 ,求上B P C的度数.【思电与分析1】_BPC在一PBC中，虽然我们巳经知道PBPC的长，但可以发现宜接利用条件 求它还是比较困琏.既然宜接求解比较困堆，那么我们是否可以虑将-BPC进行分割，转化成持硃角后再 进行求解呢？我们作CE丄PC,并截取CE二PC,逹结BE、PE,就可以把二BPC分割为_CPE 和EPB 两个角

30、.根据我们做辅助线的过程可知二CPE=4 5-,要求_BPC，问题就转化到求_EPB,这个问题 可以在_EPE中得到解决.方法1：过C作CE丄PC,并截取CE=PC=2,逹结BE. PE.则上BCE+上PCB=_PC A+_PCB=90，,二BCE=_PC A.又T CE二CP, AC = B C, _CBE4_C AP (SAS),BE=PA= 3在Ri_P CE 中，C PE= 4 5 * ,且 PE: = PC: + CE:=2PC:=0,在_PBE中，PB: + PE:= 1 + 3 = 9 =BE:_EPB为宜甬三甬形，ZEPB= 9 0* .二 B P C = _BPE+t CPE

31、=9 01 + 4 5* =13【思与分析2】如果我们在_ABC外取点E,使CE=CP, BE=AP,连结PE,则构造了_ CBE和C AP全等，再利用它们之间的敖重关系和勾般定浬&其逆定理就可以解决问题.方法2:在_ABC外取点E,使CE = CP, B E = AP,连结P E. CE=CP, BE = AP, AC = BC,_CBE4_C AP ( S S S). ZBCE=_PC A.又 T 上 AC B= 9 O,即ZPC A+_PCB=9O4 ,二BCE+_PCB=9),BO_PCE=904 又CE=CP= 2 , PE: = CE: + CP:=2:+2:=3, Z C PE=

32、 4 5 * 在_PBE 中，PB: + PE:= 1 + 3 = 9 =BE:.BPE=90* , B P C = ZBPE+_CPE= 9 O +45* =135* 【反思】本题主要运用化归捷化的敎学思想方法，将比较准求的角通过分割转化成为比较奸求的特硃甬, 在这里怎样分角存在一定的技巧，通常我们部是把所求的角分成3 0, , 4 5，6 0 , , 9 0 ,这样的一些 特殊角.【例4】李老帅设计了这样一道探究题：如国1 (1),有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米， 在圆住下底面的A点有一只蚂蚁，它想吒到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱側面爬行的最短路 程是条少？ G的

33、取值为3)【思考与分析】这是一道掲蚁怎么走最近的问题，同学们可以这样思考：(1)自己做一个园柱，尝试从入 点到B点沿圆柱侧面U出几条路线，你认为那条路线晏短？(2) 如图1 (2)所贰 将圆柱側面剪开展成一个长方形，从人到B的最短路线是什么？你画对了吗？(3) 蚂蚊从A点，想吃到B点上的食物，它需要爬行的最短路线是条少？由A到B,有无教条路线，如果将圆柱侧面从A点(妈蚁爬行路径的起枱点)垂宜向上剪开，则剪开的側面 展开图的形状是长方形最短路线是线段AB,因为两点之间线羚最短这个最短距离就是AB的长.丄解：圆柱的底面周长为2瞅=2X3X3= 18,畏开图中CE的长是底直周长的一半，为2x18 =

34、 9,圆柱的高为 12,即 AC=12,在 Rt_ABC 中，根据勾股定理有：AB-=AC2+BC2=92+122t 所以 AB=15 B米.【反思】这个有趣的问题是勾胆定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上通过 圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，直得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A点开灼井垂直干A 点剪开，这样展开的侧面才是个矩形，得到直角，才能用勾腹定理解决问题本题的设计与应用不止如此，我们在弄清此题的基础上，就可以进一步地引导学生进行变式训练，进一步地 演变成如下的问題.演变一：“变圆住为圆锥”【例5】如图2 (1),圆锥的母线长是3,底面半径是1, A是底

35、面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再 回到点A茁最短的路线长是()BA. 6/T B.C. 3/T D. 3厶人 CExitx3开，在其侧面展开图如图2 （2）所示的扇形中求出AB的长町可由扇形的弧长公式可知： 180=2n, ACB=120* .Z ACn=60* 在 Rt_ACD 中，_CAD = 30 丄L CP=2aC,根据勾股定理有 Cn2+AP2=AC2, ROAd + ADAC2,又 AC=3,3VTAD= 2.AB=3V故答案选C.【反思】本例是旋转体的问题，也是把立体国形转化为平面图形的问题，即将原图形的側面展开捷化为平面 图形问题-即“展曲为平”问题，持别要注意圆柱.圆锥的侧面展开问题.第六节、本章训练基础训练趣1. 竽腰三角形的网边长分别为41旳和18cm,则此三甬形的面积是 _2. 巳知直角三角形関宜角边之比为3: 4,斜边长为30,则此三角形的面积为_3 巳知_ABC中，AB=10, AC=17, BC边上的高为AD=8f则BC的长-4.如果线段：、b. c能组成宜角三角形，则它们的比可以是（）A.