静态场的解法PPT学习教案

1、会计学1静态场的解法静态场的解法第1页/共59页第2页/共59页第3页/共59页 2xKqdxd22122CxKqdxd2136CxCxKq第4页/共59页第5页/共59页12在球外：在球体表面根据边界条件可知在r=R处有 第6页/共59页第7页/共59页第8页/共59页第9页/共59页 位函数是x、y、z的函数，可以表示成三个单变量未知函数的乘积 （ 3.49）式中f(x)仅为x的函数； g(y) 为y的函数，h(z)为)()()(),(zhygxfzyx第10页/共59页)()()(zhygxf上式第一项仅是x为变量的函数，与y和z无关； 而第二项仅随y而变化，第三项仅随z而变化。所以式（

2、3.50）成立的唯一条件是这三项中每一项都是常数。令第一、二、三项分别为常数 ，即 222,zyxkkk第11页/共59页0222zyxkkk（3.54）这样就把偏微分方程（3.48）变成了三个常微分方程，这种方法就是分离变量法。三个常微分方程（3.51）（3.53）可以改写为第12页/共59页0),()(),(2zkygxfyx于是有第13页/共59页第14页/共59页第15页/共59页第16页/共59页第17页/共59页图3.3.2 例3.3.2图第18页/共59页(3.3.23)第二个场电位为2，是两个电位为零的无穷大的平行板，并且在x=0处2满足第19页/共59页由例3.3.1的讨论，

3、2可表示为 (3.3.24)式中Cn由x=0处的边界条件求出，即第20页/共59页则(3.3.25)金属槽内的电位分布为 (3.3.26)第21页/共59页在圆柱坐标系中，拉普拉斯方程为(3.4.1)下面讨论电位不随纵向（z方向）变化的二维场问题，即仅为r和变化的情况。此时拉普拉斯方程变为 (3.4.2)第22页/共59页(3.4.4)式（3.4.4）第一项是关于r的函数，第二项是关于的函数，要使上式对于所有的r和都成立，必须每项都等于一个常数，于是有（3.4.5）(3.4.6)第23页/共59页(3.4.7)对于所研究的实际问题，位场是单值的，则有所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.

4、7）变为(3.4.8)用n代替k，并把式（3.4.5）改写为如下形式(3.4.9)它是一个欧拉方程，其解为(3.4.10)第24页/共59页（3.4.11）式中的系数由边界条件确定第25页/共59页球坐标系中的拉普拉斯方程为在球坐标系中具有轴对称的二维场的解式中常数Am、Bm由边界条件决定。例3.8 无限大介质外加均匀电场，在介质内有一个半径为a的球形空腔，介质的介电常数为，求空腔内、外的电位分布及电场强度。第26页/共59页解 本题为球坐标系中具有轴对称性的二维场问题 在空腔内的通解为在介质中的通解为第27页/共59页所以B1=0 系数A1、C1、D1可以由r=a时的边界条件求出，当r=a时

5、由1=2 所以可以得出 A1acos=（C1a+D1a-2）cos第28页/共59页第29页/共59页第30页/共59页第31页/共59页图3.5.1 镜像法求解点电荷与无限大接地导体平面形成的位场第32页/共59页图3.5.2 在直角坐标系中求解点电荷与无限大接地导体平面问题第33页/共59页平面上方空间任意一点P的电场强度为第34页/共59页例3.9 相交成直角的接地导体平面AOB附近有一个点电荷q，如图3.10所示，中间介质为空气，求空间任意一点P的电位。图3.10直角形导体平面的镜像第35页/共59页第36页/共59页例3.10 一根无限长直导线与地面平行，设导线半径为a，高出地面的高

6、度为h(ha)，求单位长度导线对地的电容。图3.11无限长直导线的镜像法第37页/共59页原导线在P点的电场强度为第38页/共59页所以由镜像法可知，地面上方任意一点P的电位为则直导线的电位为所以单位长度导线对地的电容为第39页/共59页图3.12 点电荷对导体球的镜像第40页/共59页上式对球面上任意一点都是成立的，那么可以在球面上取两个特殊点： 一个是OP1与球面的交点，另一个是OP1的延长线与球面的交点，于是有第41页/共59页这样球外任意一点P的电位为以O为中心建立球坐标系，设OP与OP1夹角为第42页/共59页由在r=a时的边界条件可知第43页/共59页计算结果表明，球面上总感应电量

7、等于镜像电荷的电量。第44页/共59页式中为源区。如为体分布，则需对V体积分；如为面分布，则需对S面积分； 如为线分布，则需对l线积分。第45页/共59页 诸如此类的电磁场问题很多，通过矢量计算都可以得到数值积分问题。数值积分的算法很多，如梯形求积算法、辛普生求积算法等。下面通过一个例子介绍梯形求积算法。例3.6.1 求均匀带电直导线的中垂线上一点P的电场强度，设带电直导线的长度为l，带电量为q。第46页/共59页图3.6.1 例3.6.1用图（这里加“”表示源点），则dq和P点的电场强度的大小为根据对称性可知，P点的电场强度只有x分量，而y分量Ey=0，即第47页/共59页 现在对上式进行数

8、值积分，把被积函数f(x)在积分区间(a,b)取N个小梯形，则第n个小梯形的面积为f(xn)xn，则f(x)在(a,b)上的积分为按照梯形算法，每一个小梯形区间宽度为 ，第n个梯形采样点为第48页/共59页然后编写程序计算数值解。第49页/共59页首先是把求解的场域离散化，即在求解的场域划分成网格，网格的划分有许多种方法，最简单的是正方形网格划分，如图3.6.2所示。然后对偏微分方程进行离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维场域中取一点P，则沿x轴方向并通过P点的直线上任意一点的数值ux用泰勒公式展开为第50页/共59页图3.6.2二维场域的正方形网格剖分 图3.15正方形网格的五点差

9、分格式第51页/共59页3点的值为上两式相加得同理取P点为（xi,yi），则uP=ui,j； u1=ui+1,j； u2=ui,j+1； u3=ui-1,j； u4=ui,j-1。则有ui,j=1/4（ui+1,j+ui,j+1+ui-1,j+ui,j-1-h2F） 第52页/共59页题中的边界构成第一类边值问题按照有限差分法，本题的解题过程如下：1） 离散化场域。用正方形网格对场域D进行剖分，剖分越细计算精度越高。根据工程需要，沿x、y方向的等分数应取p=30以上，本题中为了形象直观，沿x、y方向的等分数均为p=4，步距h=a/4，如图3.6.5所示。第53页/共59页图3.6.4 例3.6.2图图3.6.5场域离散化（2） 采用超松弛迭代法，本题中F=0，得到差分方程的迭代运算形式为式中加速收敛因子可以通过一定的方法估算给出，本题中加速收敛因子的最佳取值通过估算取为opt=1.17第54页/共59页 给定其他网络点的初始值。可取初始值都为零，但需迭代次数较多，一般可按照其数值规律设定。如本例中可设网格内点的初始值为第55页/共59页4. 有限元法 以下面的二维拉普拉斯方程的第一类边值问题为例来分析有限元法的原理。 设在曲线C为边界的场域S内，电