圆周角公式推导

1、文件 sxc3jja0010.doc科目 数学年级初三章节关键词圆周角/圆标题】圆周角（二） 内容教学目标（一）使学生掌握圆周角左理的三个推论，并能运用这些知识进行有关的计算和证明；（二）使学生掌握利用直径所对的圆周角是直角作辅助线的方法：（三）使学生认识到圆周角左理及英推论是证明和圆有关的角相等的重要左理，培养学生J 分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力.教学匝点和难点圆周角立理的三个推论是重点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添加是难点.教学过程设计一、从学生原有的认知结构提岀问题1. 什么是圆周角？（学生回答）2. 叙述圆周角定理.3观察图形 7-7 2,如果ZA0B=120 ,那么

2、ZAGB. ZAC?B,ZAC占各等于多少度？先由学生观察回答，后教师指岀：由于ZAGB, ZAC：B, ZASB都是所对的圆周角，由圆周角定理知，它们都等于圆心角ZAOB 的一半，故ZAC：B= ZAC：B= ZAC5B=60 如果ZAOB等于任意角a,那么结论又会怎样呢？学生易答出ZAC：B=ZAC3B=ZA C,B=1 a 2于是由学生用文字语言叙述出上述结论：同弧所对的圆周角相等.4观察图7-7 3,如果AB=CD，那么ZE和ZF是什么关系?反过来如果ZE=ZF,那么AB和CD是什么关系？在学生回答的基础上，由教师总结.并由学生用文字语言叙述出结论：等弧所对的圆周 角相等，在同圆中，相

3、等的圆周角所对的弧也相等.图 7-735观察图774。0,和。0：是等圆，如果43 =力2艮，那么ZC, 和ZC：相等吗?反过来，如果ZCfZC：,那么久3和儿鸟:是否相等？根据3、4、5的讨论，由师生共同归纳得出推论：推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆 周角所对的弧也相等提问:在推论1中.(1) “同弧或等弧”能否改为？ “同弦或等弦”？为什么？(2) “同圆或等圆的条件能否去掉？在学生回答的基础上，教师投影打出图形7-75. 由图(1)可以看到，ZC,和ZC?在一般情况下 是不相等的，由图(2 )可知，如果在两个不相等的圆中，相等的圆周角所对的弧是不等的.6 请学生再

4、思考：(1)一个特殊的圆弧一一半圆，它所对的圆周角是什么样的角？(2)如果一条弧所对的 圆周角是9 0 ,那么这条弧 所对的圆心角是什么样的角？ 通过以上两个问题的 解决,得推论2:推论2 半圆(或直 径)所对的圆周角是直角： 90的圆周角所对的弦是直图774图 7-75径(图7-76)教师指出:这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确左直角、构成垂直关系创造 了条件，要熟练掌握.7.启发学生根据推论2推出推论3：推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形教师指出：推论3是下而左理的逆左理:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.二. 应用举例，变式练习例1如

5、图7- 7 7, AD是AABC的髙，AE是AABC的外接圆直径. 求证：AB-AC = AE AD分析：由AE是O0的直径，联想到直径的几个性质：(1)直径上的圆周角是直角.若连结B E或CE,便可得直角三角形A BE和直角三角形ACE.(2)垂径定理若过点0作弦AB的垂线OF,便可得直角三角形AO F,同时 由于不同的思考方法，便得下述不同的证明方法证法一:如图7-7 &连结BE.(具体i正明过程由学生口述，教师板图 7-78书)证法二：如图7-79连结CE.因为ZACE二ZADB二9 0 , ZB=ZE, 所以 ACEAABDE图 7-79图 7-80AD紀，于是考虑图 7-82所以荡二

6、益所以AB * AC=：Ar） AE证法三：如图7 一80,过点0作0F丄AB于F,交O0于G.因为OF丄AB,所以 AGAB.AF=-jA8.所以又 Z4FO=ZC = 90。，所以 AFOADC,所以梟喲所以综二霁即船箒所以皿心加皿证完后教师引导学生思考:（1）此题还有其它证法吗？（2）比较以上证法的优缺点.最后教师指岀：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角，以 便利用直径上的圆周角是直角的性质.变式1 （投影打岀）如图 7-81, A ABC 内接于 00, Z1 = Z2. 求证：AB AC=AE ADAB 分析：要证明ABAC=AEAD,只要证明孫到要证明厶AB

7、DsAA,EC,或ABEs/XAD C成立，因此连结B E或CE便可得出上述结论. 证明：（学生口述，教师板书）变式2 （投影打出）如图7 8 2 ,已知ZABC内接于00,弦AE平分ZBAC交BC于 求证：AB AC=A E AD由学生口述证题思路后，由一拿学生上黑板板演一种证明方法.教师指出：这组题目比较典型，圆和相似三角形有密切联系，证明 圆中某些线段成比例,常常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.练习1 根据图7-83中的条件，回答下列问题：(点A, B. C, D在同一个圆上)(1) 图7-83 (1)中有哪些相等的角？找岀图中所有的相似三角形.(2) 在图7-83 (2)中，若Z

8、 ADB二ZCDB,则图中哪些角相等?有几对相似三角形?有哪些（2）等的弧和线段?如图7-84,已知在00中，直径AB 为10厘米，弦AC为6厘米，ZA CB的平分线交0 0于D.图 7-844解：(略)图 7-83求BC, AD和BD的长.分析：由AB为直径,知ZAC B和AADB为直角三角形， 又AC和AB已知,可由勾股左理求BC.而CD是ZACB的角平分线, 所以AD二DB,再由勾股左理可求AD和BD.例3求证：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边.缺图7-85分析:首先引导学生依题意画出图7-85,并且明确题目的已知和求证，然后再考虑证法重点启发学生添加辅助线AI). 证完此题后，教师

9、进一步指出:若另一腰AC与00交于点E,连结DE 则DE和BD. DC有何关系？ ADEC是什么三角形?它与AABC有何关系？(2)若 ABC为等边三角形，则D.E分别是边BC和AC的什么点?AE, DE和BD有何关系?请证明你的结论.(图7-87)练习2 如图7-8 8 , AB为O0的直径，弦AC二3厘米，BC二4厘 米CD丄AB,垂足为D.求AD. BD和CD的长.说明：此题除了要用圆周角泄理的推论，还要用到相似三角形的性质 和勾股泄理解题时可引导学生回忆以上内容后自己写出解题过程另外，此题还可利用三角形的而积公式ACBC=ABCD先求出CD,再求AD和BD的长.求证：AABC外接圆的半

10、径等于CB.引导学生根据推论3推出AABC是直角三角形，并且点D是ABC的外心，再应用直角三 角形的性质.三、小结（以提问的形式师生共同小结）1.本节课主要学习了圆周角定理的三个推论.这三个推论各具特色，作用各异，在今 后的学习中应用十分广泛,应熟练掌握.2.在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三 角形，这种基本技能技巧一定要掌握.四、布宜作业课本p. 100.习题7. 2 . A组.9,10.12,13,1 4题；另外对学有余力的同学做p. 102. 习题72.,B组.3, 4.思考题:如何用圆周角的有关性质证明圆的两条平行弦所夹的弧相等.”板书设计圆周角（二）推论1例