专题一------第2讲函数

1、专题一专题-第2讲函数第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】l高考对函数的三要素，函 数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难 度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重 要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两 个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的 象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质 的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等 综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常 以填空题的形式考查，且常与新定义问题相结 合，难度较大.瞄准高考主干知识梳理1 .函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函

2、数.2 .函数的性质单调性：单调性是函数在其定义域上的局 部性质.利用定义证明函数的单调性时，规范 步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体 性质.偶函数的图象关于7轴对称，在关于坐 标原点对称的定义域区间上具有相反的单调 性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足/(+x)=/(x)(a不等于0),则其一个周期t=a.3 .指数函数、对数函数和幕函数的图象和性质指数函数与对数函数=logn(a。，池1)的图象和性质,

3、分心1两种情况，着重关注两函数图象中的两种 情况的公共性质.(2)基函数的图象和性质，分基指数0, avo两种情况.4 .熟记对数式的五个运算公式loga(mn) = logr/m + logjv ；m10grz = 10gm logan； 10/ = nlogm ； log“n=n； logn 且 a # 1,力0 且) w1, af 0, n0).提醒：logaaf-lognwlogfl(a1-n), logm+logjv wlog4m+2v).5 .与周期函数有关的结论(1)若/(x+a) =/(%+，)qwb),则/(%)是周期 函数，其中一个周期是t=la一队(2)若/(%+“) =

4、 /(%),则/(%)是周期函数，其中一个周期是t=2a.(3)若/(%+“)=嵩或 f(x+a)=一点,则/(%) 是周期函数，其中一个周期是丁=2.提醒：若/(x+a)=/(则函数/(x)关于直线x=3一对称.热点分类突破解析高考考点一函数及其表示例1】(1)若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函 数冢%)岑?的定义域是.答案(0,1)解析 由函数y=f(x)的定义域是0,2得，函数 g(x)有意义的条件为0w2xw2且x0, xwl, 故工(0,1).(2)设函数y=/(x)在r上有定义，对于给定的 |wx), f(x)m9正数底定义函数加(*)=跖)m, 则称函数为为/(%)的“李生

5、函数”.若给定 函数/(x)=2总m=l,则/以仿剂)的值为答案1解析 由题意，令/(x)=2必=1,得=1,因此当 1 或 时，/vf(x)=2x2；当一1v1 时，/w(x) = l, 所以/m(0)=1, /w(/；w(o) =fm( 1)=212=1.探究提高(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数/(g(x)的定义 域应由不等式力解出.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.(2)求函数值时应注意形如/(g(%)的函数求值时，应遵循先内后外的 原则；而对于分段

6、函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.运皿若函数/(%)=,x 则於+3), x4,/(log23)=一 |x2+l, xo, .(2)已知函数/(x)=in则满足ijl, xvu，不等式/(1一3)/2x)的x的取值范围是答案(1)24 (2)(-1, a/2-i)解析(1 /(log23)=/(log23+3)=f(logi24)=210g224=24.(2)当x20时，/(%)=%2+1是增函数;当x0fl x22x ,l2x0或12x，0.解之得一10, 为增函数.又/(x)为奇函数，由/(机x2)+/(x)v0知,j.mx2x9 即 /wx+x20,令 s

7、(m) = mx + x 2,由 /ig 2,2知 g(m)0恒成立，g(2)= x20.2g(2)=3x2v0，工-2。0 时，/(x)=e+，若/(%)在r上是单调函数，则实数。的最小值是答案(1)1, 2 (2)-1 解析(1)由题意知0,又log| = k)g2 -1=log2.(x)是r上的偶函数，7/uogm)寸log2) =f(oa).,(loga+/(iog%)w 次 1),.次10g24)w次 1),即alog2a)4ad.又因/(x)在0, +8)上递增.，llog2 iw1, 1w log. 0 时，/(x)e0+a=a + l.若函数/(x)在r上是单调函数，则有。+1

8、20,心一 1,因此实数的最小值是一l考点三函数的图象例3】形如y=11dl工（。0,50）的函数，因其图 i 0.范围是答案-2,0解析函数y=的图象如图. 理当=0时，显然成立.当0时，只需在x0时，加(x+l),x成立.比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度.显然不存在 0使ln(x+l)2x在x0上恒 成立.当a0时，只需在xcb解析(1)方法一由题意作出y=/(x)的图象如iy=log2xy=log/r）显然当al或一l/（一）.方法二对分类讨论： 当 aq 时，log2log6t,即 log?。，当 alog2(即 log2()0,:.la09 故lal.(2) va = 5g,

9、b = 5叫”,c = c-产出=510g33；, 53根据y=a*且a=5,知y是增函数.又 v iog23.4log331l,0log43.651og43.6,即 acb.探究提高（1）指数函数、对数函数、薪函数是中学 阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容 之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运 算能力.（2）比较指数函数值、对数函数值、恭函数值 大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性 进行比较;二是采用中间值。或1等进行比较; 三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化 为对数式，通过转化进行比较.变式训雄4. （1）（2012天津）已知 a

10、=2,2, b= 1 -0,8, c=21og52,则c的大小关系为.使log2（x）r+l成立的x的取值范围是答案(l)cb的图象关于y轴对称，观察图象(如图所示)知，一1，则不等式/(%)1的解集 是.(1)答案(一8, -2)uo, 5 解析由已知条件可知， 当 工(8, 0)时，/(=0g2(x). 当 x(0, +8)时,/(x)-1,即为 log*v-1,解得 oxv：;当工(8, 0)时，/(i, 即为一log2(x)v1,解得 xv2.所以於)一1的解集为(-8, -2)uo,3.定义域为r的偶函数/(x)满足对vxwr,有/(x+2)=/(x)-/(l),且当 x2,3时，/

11、(x) = 2x2+12x18,若函数y=/(x)与函数y =lo劭(x+1)在xe(o, + 8)上至少有三个交点，则。的取值范围是 答案(。，知 解析 ；ax+2)=/(x)al), ,令 x = -3a/(x+2)=/(x),周期 t=2.工0国时，/(x)=/(x+2)=-2(x-l)2.根据函数/(x)的奇偶性与周期性画出图象.要使 y=/(x)与 y=iog(x+i)在 x(o, +)上至少有三个交点，只须满足06t一2,解得00时，/(%) =igx,则褊j的值等于.答案一1g 2解析 当 xvo 时，x0,则/(x)=lg(一 x).又函数/(%)为奇函数，/(一%)=/(x)

12、, 所以当 大展翻寸一 2)= tg2.,log2r, x21,2 .已知函数/(x)=d则% = 一lx+c, xbc解析a=log36 = 1+log32=1 +1log23,logslo = x + logs2 = 1 +, c = log714 = l +log2log72=l+lo12,显然4 .设偶函数/(x)满足/(x)=2“一4(x20),则-2)0=.答案xlx4解析 由于函数/(%)是偶函数，因此有了(比1) =/(x),不等式/(工一2)0,即/(上一21)0,/(-21)=22,-40, lx-2l2,即x22,由此解得x4.于是有2)0 = xlxv0 或 x4.5

13、.设函数/(x)=xe+er)(xr)是偶函数,则实数的值为答案-1解析因为/(x)是偶函数，所以恒有/(一%) =/(x),即一x0一+均=%(6。+碇一”)，化简得 x(e一”+吟( + 1)=0.因为上式对任意实数x都成立，所以 =16 .设函数/(x)=xlx若对任意的xi,必2,+ 8),孙#心，不等式空三警恒成立，则实数。的取值范围是f(x)解 析x2ax,x2+ax, xa9如图，作出函数图象，当。变化时, 易得的取值范围为aw2.37 . 已知/(x)=sin x+)出+4(a, )r),且 /ilg(log210)=5,则/dg(lg2)=.答案3解析 lg(log210)=

14、lg(lg 2),3=(asin x+b )+4又，g(log210)=5, 力ug(lg 2)=4-5+4=38 .设/(x)是定义在r上且周期为2的函数，在区间14上，/(x)其中，力r.若5ax+1, ftx+2 x+1， =41，则a+3z的值为答案to解析因为a%)的周期为2, 所以用刁卜土产共日 mw1 11 i 川/2 ) + 4又因为/|-或=_ + 1,时=39 2+1所以一； + 1=2 整理,得=-(+1). 又因为/(-1)=/(1),所以一+l=b+2,即）=一%.将代入，得a=2, b = -4.所以 +3a=2+3x（4）= 10.9 .直线y=l与曲线lrl+a

15、有四个交点,则的取值范围是答案14|解析y=x2 bc+a是偶 函数，图象如图所示.由图象可知直线y=l与曲 线）=2比|+。有四个交点需满足一10 .已知实数，）满足等式下列五个关系式:oua；avavo；ovau；avo；a=b其中不可能成立的关系式有.（填 序号）答案解析函数山=）与及=七=:x的图象如图所示.”:叫x j由吩也得，ab0 或 0ba 或 a=b=o.故可能成立，不可能成立.11.已知奇函数/（用=x22x(x0), 丘+0),给出下列结论:函数y =/（x）有三个零点； /u）的递增区间是1, +-）； 直线x=l是函数y=/（x）图象的一条对称轴;函数y=/(x+l)+2图象的对称中心是点(1,2).其中，正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号).答案解析因为/(%)是奇函数， 所以 xvo 时，/(x)=x2+2x, 即 f(x) = 2x.可求得 a = 1, b = 2.即/(%)=4x22x, xo,-x22x, x0的公共点，则实数m的取值范围是答案（啦，+8）解析 作出函数/=2 犷 0y=2-(宁尸(xwo)y=x2+l(x0)示.直线y = mx的图