中考复习将军饮马类题型大全

1、“将军饮马”类题型大全 一.求线段和最值1 （一）两定一动型例1:如图，ami ef, bnl ef,垂足为 m n, mn= 12ml a隹 5mbnn= 4m, p 是 ef 上任意一点，则pa+ pb的最小值是分析：这是最基本的将军饮马问题，a, b是定点，p是动点，属于两定一动将军饮马型， 根据常见的“定点定线作对称”，可作点a关于ef的对称点a,根据两点之间， 线段最短，连接ab,止匕时ap + pb即为ab,最短.而要求ab,则需要构造 直角三角形，利用勾股定理解决.解答：作点a关于ef的对称点a,过点a作acbn的延长线于c易知am=am= no5m bo9rn ac = mn=

2、 12日 在 rtabc 中，ab=15rn 即 pa+ pb的最小 值是15m如图，在边长为2的正三角形abc中，e, f, g为各边中点，p为线段ef上一 . 周长的最小值为动点，则bpg分析：两的最小值，又是的周长最小转化为求 b巴pg考虑到bg为定值是1, 则bpg勺对称点，这里有些同学可能看不出 ef定一动的将军饮马型，考虑作 点g关于直角三角形,根据“，则agl bg再连接eg来到底是哪个点，我们不 妨连接agr关于ef的对称点.eg则点a就是点g=斜边中线等于斜边的一半”, 可得ae后计算周长时，别忘了加上bg的长度.解答：，ba3p+ pg= b+ pa当, p, a三点共线时

3、，bpbppg连接ag易知=pa +p氏3.1,即bpgra长最短为,此时最短，ba= 2b氏2（二）一定两动型例2:如图，在 abc, a况ao5, d为bc中点，a况5, p为ad上任意一点，e 为ac上任意一点，求p8 pe的最小化分析：，由于 abc是动点，属于一定两动的将军饮马模型 c是定点，p, e这里 的点，bc关于ad的对称点是点，是bc中线，则ad垂直平分bc点人或等腰三 角形，更短.但此时还不是最短，be, e三点共线时，b= pb+ pe,显然当，ppc + pe时，用be面积法即可.垂线段最短”只有当be! ac时，be最短.求根 据”解答：6 , =3, bo bd交

4、于点作be! ace交ad于点p,易知adl bc,则 ad- bo be- ac, 4.8be= 4x6=be 5,变式：如图，bd平分/abc e, f分别为线段bg bd上的动点，ab= 8, aabc的周长为20,求ef+ cf的最小值分析：这里的点c是定点，f, e是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题.因为点 c的对称点c必然在 ab上，但由于bc长度未知，bc长度也未知，则c相对的也是不确定点，因此 我们这里可以尝试作动点e关于bd的对称点.解答：e,当ef+ cf= ef + cf如图，作点e关于bd的对称点e,连接ef ,则

5、e, 于作此时较短.过点 cce abf, c三点共线时，ef + c日ec,边上的高， ec =abe与点e重合时，ec最短，ec为当点5.（三）两定两动型例3:如图，/ ao由30 ,。谖5,。512,点e, f分别是射线 oa objjq动点, 求cf+ ef+ de的最小值.of d b分析：这里的点c,点d是定点，f, e是动点，属于 两定两动的将军饮马模型，依旧 可以用“定点定线作对称”来考虑.作点c关于ob的对称点，点d关于oa的 对称点.解答：作点c关于ob的对称点c,点d关于oa勺对称点d,连接cd . cf+ef+ d已 cf + ef+ de,当c, f, e, d四点共

6、线时，c斗ef+ d已cd最短.易知/ doc = 90 , od= 12, oc=5, cd =13, cf+ . 13 最小 值为de+ef.jf w /i变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面 ab宽1.78m,白球e距adj 0.22m,距cd 边1.4m,有一颗红球f紧贴bc边，且距离cd4 0.1m,若要使白球e经过边ar dg两次反弹击中红球f,求白球e运动路线的总长度.分析：本题中，点e和点f是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的 经验作出，即分别作点e关于ad边的对称点e,作点f关于cd边的对称点f, 即可画出白球e的运动路线，化归为两定两动将军饮马型.解答：作点

7、e关于ad边的对称点e,作点f关于cd边的对称点f,连接ef,交ad 于点g,交cdt点h,则运动品&线长为ej gh hf长度之和，即ef长，延长 ee 交 bc于 n,交 ad于 m,易知 em= emh0.22m, en = 1.78 +0.22 =2由 nf =nocf= 1.4+0.1 = 1.5m,则 rtenf中，ef =2.5m,即白球运动路线 的总长度为2.5m.小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动” 类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或边

8、上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解.当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称.(二)求角度例1：p为/aoeft一定点，m n分别为射线oa ob上一点，当pmns长最小时，/mpn= 80 .(1) / ao乐(2)求证：。叶分/ mpn分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将m, n的位置找到，再来思考/ aob勺度数，显然作点p关于oa勺对称点p,关于ob的对称点p”，连接pp , 其与oa交点即为m, ob交点即为n,如下图，易知/ dpct/aobs补，则求出 /dpc勺度数即可.解答：(1)法 1：如图，/1 + /2=100 , /1 =

9、/p + /3=2/3, /2=/p” +/4= 2/4,则 / 3+/4 = 50 , / dpg= 130 , / ao乐50 .再分析：考虑到第二小问要证明 op平分/ mpn我们就连接op则要证/ 5=/6,显然 很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接 op, op,则/5= / 7, /6 = /8,问题迎刃而解.解答：(1)法 2:易知 op=op”，/7+/8=/5+/6 = 80 , /pop” =100 ,由对称性知， /9=/11, / 10= / 12, /ao乐/9+/10=50(2)由 op=op”，/ pop” =100 知，/ 7=/8 = 40 , / 5=

10、/ 6= 40 , op分/mpn变式：如图，在五边形 abcd中，/ ba巳136 , / b= / e= 90 ,在bg de上分别 找一点m n,使得amn!勺周长最小时，则/ amn- / anm勺度数为分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作a点关于bg de的对称点a、a，连接a a，与bg de的交点即为 amnw长最小时m n的位置.解答：如图，./bae= 136 , ；/ma a+ /na a= 44由对称性知，/ maa = / ma a,/ naa = / na a, / amnf / anm=2/ma a+ 2/na a= 887思考题：1. （2017 安顺）如图所示，正方形 ab