连续性随机变量及其概率密度

1、4 4 连续连续型随机变量及其概率密度型随机变量及其概率密度一一 连续型随机变量的概念与性质连续型随机变量的概念与性质在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间的任何实数值。的任何实数值。对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其概率分布，而是通过给出所谓概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式，从而得到的方式，从而得到连续型随机变量连续

2、型随机变量的概念。的概念。 xf xf t dt 定义定义 如果对于如果对于随机变量随机变量 x的分布函数的分布函数 f ( x )， 存在非负函数存在非负函数 f ( x ) , 使对于任意实数使对于任意实数 x 有有则称则称 x 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数，其中函数 f ( x ) 称为称为 x 的的概率密度函数概率密度函数，简称，简称概率密度概率密度或或密度密度。连续型随机变量的概念连续型随机变量的概念xf ( x)xf ( x )分布函数分布函数 f ( x )与密度函数与密度函数 f ( x )的几何意义的几何意义=()yf x-10-550.020.040.060.

3、08由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度f (x) 具有以下性质具有以下性质1( )0f x 2( )1f x dx f (x)0 x1概率密度的性质概率密度的性质这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f (x)是否为某是否为某 x的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件这是因为这是因为0()lim()xp xap axax 0lim( )axaxf x dx 0 30p xa注注 由上述性质可知，对于连续型随机变量，由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义，我们所关心的是它在某一区间上取值意义

4、，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题。的问题。 4;p axbp axbp axbp axb 5ap xafx dx 对数集对数集 a ( (严格意义下要求可测性严格意义下要求可测性), ), xf xf t dt （1 1） 设设 x 是连续型随机变量是连续型随机变量, 有概率密度有概率密度 f ( x ) ，则，则 fxfx （2）在在 f ( x ) 的连续点处，有的连续点处，有 6 密度函数与分布函数的关系密度函数与分布函数的关系注注 1 1、对于连续型的随机变量对于连续型的随机变量, 密度函数密度函数 唯一决定分布函数。唯一决定分布函数。 2 2、连续型随机变量的分布函数一定是连

5、续型随机变量的分布函数一定是 连续的；分布函数如果不连续就不连续的；分布函数如果不连续就不 是连续型随机变量是连续型随机变量 ( 除了连续型除了连续型 分布和离散型分布以外还存在其它分布和离散型分布以外还存在其它 类型的分布类型的分布 )。例例1 1 设设 x 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 242020cxxxfx 其其它它解解 由密度函数的性质由密度函数的性质 1fx dx 21p x 求：求： 常数常数 c； 1fx dx 得得 22042cxxdx 2230223cxx 83c 38c 所所以以 0202fx dxfx dxfx dx 2213428xxd

6、x 121p xfx dx 223132283xx12 212fx dxfx dx例例2 2 某电子元件的寿命某电子元件的寿命x（单位：小时）是以（单位：小时）是以 20100100100 xfxxx 为密度函数的连续型随机变量。求为密度函数的连续型随机变量。求 5个同类型个同类型的元件在使用的前的元件在使用的前 150小时内恰有小时内恰有 2个需要更个需要更换换的概率。的概率。解解 设设 a = 某元件在使用的前某元件在使用的前150 小时内需要更换小时内需要更换 150p ap x 150f x dx 1502100100dxx 13 检验检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使

7、用寿命可以看作是在做一个5重伯努利试验重伯努利试验 b = 5个元件中恰有个元件中恰有2个的使用寿命不超过个的使用寿命不超过 150小时小时 23251233p bc0.329 例例3 3 设设随机变量随机变量 x 具有概率密度具有概率密度,03( )2,3420,k xxxf xx 其其它它(1)(1) 确定确定常数常数 k ； (2) (2) 求求 x 的分布函数的分布函数 ；(3)(3) 求求712px ,036( )2,3420,xxxf xx 其其它它3403d(2)d12xkxxx16k( )d1f xx 解解 (1)(1)由由 得得 故，故，x 的概率函数的概率函数为为03030

8、 ,0d,036( )d(2)d,34621,4xxxxxxf xxxxxxx ( )( )dxf xf xx (2)(2)由由 得得220 ,0,0312( )32,3441,4xxxf xxxxx 即即(3)(3)1()27(ff 4148 712px 当然，还可以用当然，还可以用概率概率密度求密度求概率。概率。0 ,( )arcsin,1,xaxf xabaxaaxa 例例4 4 设连续型设连续型随机变量随机变量 x的分布函数为的分布函数为(1)(1) 确定确定 a、b 的值的值； (2)(2) 求求 x 的概率密度的概率密度；(3)(3) 求求 2apax 故有故有()lim( )xa

9、faf x ( )lim( )xaf af x 解解 (1)(1) 因为因为 x 是连续型随机变量，是连续型随机变量， 所以所以f ( x )连续连续arcsinaaba ba2 0 aabaarcsinba2 1 即即1b 1,2a 解解得得0 ,11( )arcsin,21,xaxf xaxaaxa 因此因此11arcsin022aa 6121 23 221,0 ,axaxafx 其其它它 2affa 2apax (3)(3)()(xfxf (2)(2) 由由 得得当然，还可以用当然，还可以用概率概率密度求密度求概率。概率。)(xf)(xf注注 在在 f ( x ) 导数不存在的点处，根据

10、改变被积导数不存在的点处，根据改变被积 函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，函数在个别点处的值不影响积分结果的性质， 可以在可以在 没意义的点处，任意规定没意义的点处，任意规定 的值。的值。二二 几种几种常用的常用的连续型随机变量连续型随机变量1 1、 均匀分布均匀分布则称则称 x 在区间（在区间（a , b）上服从）上服从均匀分布均匀分布，若连续型随机变量若连续型随机变量 x 的概率密度为的概率密度为 1,0,axbfxba 其其他他记作记作 ,xua bxo)(xf a b均匀分布密度函数均匀分布密度函数的图形的图形其分布函数为其分布函数为 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxf

11、xo)(xf a b 1均匀分布的特性均匀分布的特性如果如果随机变量随机变量 x在区间（在区间（a , b）上服从均匀分布，）上服从均匀分布，则则x 落在区间（落在区间（a , b）中的任意一个子区间上的）中的任意一个子区间上的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。位置无关。即即随机变量随机变量 x 落在区间（落在区间（a , b）中任意等长度的）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的子区间内的可能性是相同的。xabxll01c lcdxbalba ( )c lcp cxclf x dx 即即x 例例5 5 设公共汽车站从上午设公共汽车站

12、从上午7时起每隔时起每隔15分钟来一班分钟来一班 车，如果某乘客到达此站的时间是车，如果某乘客到达此站的时间是7:00 到到7:30 之间的均匀随机变量，试求之间的均匀随机变量，试求该乘客候车时间不该乘客候车时间不 超过超过5分钟分钟的概率。的概率。 1030300其其它它xfx 解解 设该乘客于设该乘客于7时时x 分到达此站分到达此站则则 x 服从区间服从区间 0 , 30 上的均匀分布上的均匀分布 10152530p bpxpx令令 b =候车时间不超过候车时间不超过5分钟分钟则则13= =15301025113030dxdx2 2、 指数分布指数分布 11,00,0 xexfxx 其中其

13、中 0 为常数，则称为常数，则称x 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布 。 若连续型随机变量若连续型随机变量 x 的概率密度为的概率密度为指数分布密度函数的图形指数分布密度函数的图形则其分布函数为则其分布函数为11,0( )0,0 xexf xx 指数分布的应用指数分布的应用指数分布具有指数分布具有“无记忆性无记忆性”。所以，又把指数分所以，又把指数分布称为布称为“永远年轻永远年轻”的分布。的分布。对任意对任意 s , t 0 , 有有()()p x s + t x s = p x t“无记忆性无记忆性”：若若x 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布 ，则，则 指数分布常作为各种

14、指数分布常作为各种“寿命寿命”分布的近似。分布的近似。例 设某日光灯的使用寿命服从参数 =2000的指数分布（单位：h）（1）任取一根这种灯管，求能正常使用1000h以上的概率。（2）某灯管已近正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。 2221,2xfxex 其中其中， （ 0）为常数，为常数，则称则称x 服从服从参数为参数为， 的的正态分布正态分布或或高斯分布。高斯分布。 2,xn 记作记作 若连续型随机变量若连续型随机变量 x 的概率密度为的概率密度为3 3、 正态分布正态分布正态分布密度函数的图形正态分布密度函数的图形txfxtde21)(222)( 其分布函数为其分布

15、函数为 正态分布的正态分布的应用应用若随机变量若随机变量 x受到众多相互独立的随机因素受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加，则且这些影响可以叠加，则 x 服从正态分布。服从正态分布。正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。例如例如 各种测量的误差；各种测量的误差； 人的生理特征；人的生理特征； 工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量； 海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；热噪声电流强度； 学

16、生们的考试成绩；学生们的考试成绩； 都服从或近似服从正态分布都服从或近似服从正态分布。正态分布密度函数的几何特性正态分布密度函数的几何特性 12f （1 1）曲线关于直线）曲线关于直线 x = 对称对称： f ( + x) = f ( - x)； （2 2）在在 x = 时，时， f (x) 取得取得最大值最大值（3 3）在）在 x = 时，曲线时，曲线 y = f (x) 在对应的点处在对应的点处 有有拐点拐点；（4 4）曲线曲线 y = f (x) 以以 x 轴为轴为渐近线渐近线；（5 5）曲线曲线 y = f (x) 的图形呈的图形呈单峰对称单峰对称状；状；（1 1） 位置参数位置参数即

17、固定即固定 ，改变，改变 的值，则的值，则f (x) 的的形状不变形状不变，只是只是位置不同位置不同，沿着沿着 x 轴作平移变换。轴作平移变换。正态分布密度函数正态分布密度函数 f (x) 的两个参数：的两个参数：（2 2） 形状参数形状参数即固定即固定 ，改变，改变 的值，则的值，则 f (x) 图图形的形的对称轴不变对称轴不变，而而形状在改变形状在改变。 越小，图形越高越瘦；越小，图形越高越瘦； 越大，图形越矮越胖。越大，图形越矮越胖。当当 = 0， = 1 时，称随机变量时，称随机变量 x 服从服从标准正态分布。标准正态分布。其概率密度和分布函数分别为其概率密度和分布函数分别为 2212

18、xxe 标准标准正态分布正态分布221( )ed2txxt 标准正态分布密度函数标准正态分布密度函数的图形的图形标准正态分布分布函数标准正态分布分布函数的图形的图形()1( )xx重要结论重要结论 若若 ，则则 2(,)xn (0 ,1)xzn 1 1、 bap axb 3 3、2 2、 xfx 证明证明 1 1、 pzz xpz p xz22()21e2t zdt ,tu 令令得得 p zz 221ed2uzu ( ) z xz 的分布函数为的分布函数为(0 ,1)xzn 故故x 2 2、由由 1 1 得得 p xxxxp f x bap axb 3 3、由由 2 2 得得标准正态分布的重要

19、性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个一般任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布。根据上述结论，只要将标准正态分布的分布根据上述结论，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以通过查表解决一般正态函数制成表，就可以通过查表解决一般正态分布的概率计算问题。分布的概率计算问题。说明说明0.977250.84134 0.13591 211 0.9772510.84134 0.81859 例例5 5 设随机变量设随机变量 x n (0 , 1) ，试求，试求（1 1） ； 12px 12px 解解 （1 1） 1221px（2 2） 1221px （2） 521233 113 11130.