理论力学简明教程复习题题库(物理专业用)要点

1、理论力学复习题计算题题库第一章质点力学点沿空间曲线运动，在点m处其速度为v = 4i + 3i，加速度a与速度v夹角p=300,且a=10m/s2。求轨迹在该点密切面内的曲率半径p和切向加速度ayo 答：由已知条件v = 41+ 3j-得v=d42 +32 =5m/s法向加速度 an = asin300 = 5m/s22则曲率半径p = t=5m切向加速度a, = acos300 =8.66m/s2an一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角a与其经过的那段圆弧对应的圆心角p之间有如下关系tan . =2证明：设点m沿半径为r的圆作圆周运动，t时刻走过的路程为am

2、=s速度为v,对应的2an v tan：二二a圆心角为p。由题设条件知atr%dv dva = 一 = v一 = cbdt dsc为常数 积分(b)式得jvdv= jas所以v2 =2ag-将(c)式代入(a),并考虑s = rp ,所以tana = 2p质点m的运动方程为x=3t(m),y = 2t2(m)求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小解：由于 x=3(ms),y=4t=4(ms)所以有 v=，铲k = z96=5(mp又：v = 炉再2=、9+16t2贝u-1at = v = 9 16t2 232t =1 = 3.2 m2n ,s2 9 16t2 2x = 0, y

3、=4(ms )a =x+ y2 = 4(ms)an -a2 -at2 *16 3.22 = 2.4ms点m沿半径为r的圆周运动。如果a = -k(k为已知常数)，以初 a始位置为原点，原点初速度为求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间解：设点的初始位置为advanv2=a = 一 = 一dtkkr积分上式:dv1krt0dtv0 v kr依题意rkv0kr v0t则弧坐标形式的运动方程为s”鬲wr#kr当丫=回时t =kr 2v0一质点沿圆滚线s=4asin日的弧线运动，如日为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。式中日为圆滚线某点p上的切线与水平线(x轴)所成的角度，s为

4、p点与曲线最低点之间的曲线弧长。解：因 s=4asin 故丫 =生=4a8 cos日=4aco cos日 dt式中口 = .=常量（题设）v2ds而p =4a cos日pd1所以an2222 v 16a cos 二4acos9=4a，2 cos?又a = dv = -4a 1 2sin - a dt故a =a 2 + a2 =4ao2 vsin28+ cos2日=4ao 2 =常数结论得证设质点沿螺旋线x=2sin4t,y =2cos4t,z = 4t运动,试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。解：因 x = 2 sin 4t, y = 2 cos4t, z = 4t故 x = 8cos4t

5、 = 4y, y = -8sin 4t = -4x, z = 4所以 v = . x2y2z2 = 4 x2 , y2 1=4.5又 x = 4y =16x,y = -4x = -16y, z = 0所以 a = .x2 y2 z2 =16 , x2 y2 =32又a 二型二412xx2yy=4 4xy-4xy=0dt2x2y2 1 x2 y2 1所以 an =a =16. x2 , y2 =322而。上an80=2.532小环的质量为mi套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x2 =4ay ,试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。解：小环受力如图示，重

6、力 mg竖直向下，约束力r的方向沿着抛物线的法线小环在任意位置p处的运动微分方程为一 dvm- = mgsin 1 (1)2vm = rp一 mgcos?(2)因dv=dv ds=vdv而tane 曰=_可= _dy(s增大而y减小故为dt ds dt dsdx ds负值)(1)式变为 mv-dv = -mg 即 vdv = -gdy(3)ds dsn2积分vdv = -f gdy得 v = y12ag (因 x=2a,y = - = a)此即小环自x=2a0a4a处自由滑至抛物线顶点时的速度又x2=4ay 则 y, = dy=工，y.=吗=工 dx 2a dx 2a在抛物线顶点处x=0,y=

7、0,y，=0,y:工2a3所以在抛物线顶点处p=(1+f =2a y“(因在顶点处由(2)式知 r = m二 十 mgcos = mag + mg = 2mg p2a0 =0, cos 9 =1 )小环在顶点处所受到的约束反作用力为2mg。质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。 证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢 f与力f共线，则 有 m =r f =0所以质点的动量矩守恒，即j=cjx =m yz -zy = c1(1)其分量式为 jy =mzx-xz = c2(2)jz =mxy - yx)=c3(3)由 x m (1) + y m (2) + z m (

8、3)得至lj cix +c?y +c3z = 0由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。一物体质量 m=10kg，在变力f =10(1 t)n作用下运动。设物体初速度v0=0.2m/s,开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？(知识要点)质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题解答：由mdv = f 得fdv = f 10(1 -t)dt积分得dt%0_ 2_ ,、v - -5t 10t 0.2(m/s)st再积分 gds=(5t2+10t+0.2)dt 得s = t3+5t2+0.2t(m)003由 v = 5t2 +10t+0.2

9、 = 0 解得 t=2.02s 再代入前式得 s=7.07 m质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量v与加速度矢量a正交。证明：采用自然坐标系，由题意知 v=c c为常量中日右 dv d , dcdd于ze侣 a=一(c ) = - c二c dtdt dtdtdt又在自然坐标系中d.=：；ndtdv d , 、 dc d d所以 a = = (c.)=. c = c = c n dt dt dt dtdt由于w_ln 故a_lv得证动点m以匀速v =5(m/s)沿轨迹y =1x2运动，求当x=2m时动点m的速3度沿x和y分量的大小，以及m的加速度解：由 v2 =x2 y2 =25根据

10、y =1 x2求导数得y = xx而x = 2m时y = x(2)333(2)代入(1)得 x2+16x2=25.9整理得 x =3(m/s)代入(2)得 y=4(m./s)又2 =dv=0 贝 ua2=a2+an2 =/即2 = % dt3又由数学知识知p =(1：y)2而根据y=1x2微分得y=2x,y“ = 2yj333x=2m 时 y = 4,y*=233所以有二3(1 y 2)216 325 3(1 -)2(-)29 二 92 -23 3125五=宣2 - 183.2 cl=3.6(m/s2)故a =a =v_ -25_ a an _n ：12518某力场的力矢为 f =(2xy+

11、z3)i +x2 j+3xz2k其中i,j,k分别为 x,y,z轴的单位矢,试证明该力场是否为保守力场,若为保守力场，求出其势能函数。if =-二 x 2xy-y2 xk：z3xz2=i | (：(3xz2) _ ：:(x2)二 y二 z. j 2xy：zz3)”3xz2):x-1 ； (x2)：:(2xy z3) i22-y+ k 1-(-)-(y) =i(0-0)+ j(3z2-3z2)+k(2x-2x) = 0故力场为保守力场fx:u一 x=2xy z3(1)2(2)fz =- * =3xz2(3)；z(1)式积分得：u =-x2y-z3x + f(y,z)(4)对(4)式求偏导数得：u

12、 =_x2 + f(y,z)lx2即 加(y,z)lo二 y二 y二 y上式得：f(y,z) = g(z)代入(4)式得：u =-x2y-z3x + g(z)对(5)式求偏导数得：且= _3xz2+当如=_3xz2即封但】=0积分 :zcz: z得：g(z)=c代入(5)式得：u = -x2y - z3x +c 取 x = q y = 0,u =0 贝c = 0所以势能函数为 u =-x2y-z3x某力场的力矢为 fx =6abz3y _ 20bx3y2 ,fy =6abxz3 -10bx4y,fz =18abxyz2试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。kmf=excyf

13、xfyf =际臣 ycyfz22223333= (18abxz -18abxz )i -18abz y -18abz y j -6abz 140bx y-6abz 40bx y k故力场为保守力场fxfyfz,:u .x :u-y.:u.:z=6abz3 y -20bx3y2=6abxz3 -10bx4y2=18abxyz(3)(1)(2)(1)式积分得：u - -6abz3yx 5bx4y2f(y,z)(4)(4)式求偏导数得:-6abz3x 10bx4y；:1f (y,z)l-:y-fy = -6abxz3 10bx4y即8f(y,z)=0上式得：:yf(y,z)=g(z)代入(4 )式得

14、：u = -6abz3 yx 5bx4 y2 g(z)(5)对(5)式求偏导数得：u 二18abz2xy + * g(z) = fz = 18abxyz fzfz即由切=0积分得：g(z)=c代入(5)式得： ：z 342u - -6abz yx 5bx y c(6)取 x=0,y =0,z=0,u =0 贝|c = 0所以势能函数为u =5bx4y2 -6abxyz3fx =a1x a12y am已知作用于质点上的力为 fy = a21x+ a22 y+ a23zfz =a31x a32y a33z式上系数aj(i,j=1,2,3)都是常数，问这些aj满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满

15、足，试计算其势能。解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力场的旋度为零，所以,1 f =0即玉二 y：fy一 a12 一- a21二 x=a31千z.:z=a13 =fx干y于z=a23 = a32z:y即势能存在a。满足条件是：a12 = a2ia13 = a31a23 - a32vfx = aiixa12 y ai3z 二 一一(1):xv 田 fy =a21xa22y a23z 二 一一(2)二 yvfz =a31x a32ya33z = (3)：z1(1)式积分倚 v =1aiix - ai2yx - azx f (y,z)(4)(4)式对y偏微分=(2)式得nf(y,z)二 一ai

16、2x ；- -a12x - a22y - a23z:y二 y即 f (y, z) - -a22y -a23z(5)：y1 c(5)式积分得 f (y, z) a22y -a23zy g(z)(6)2(6)式代入(4)式得、，1212,、，、v = -aux -a12yx azx 一一 a22y -a23zy g(z)(7)22(7)式对z偏微分=(3)式得v：:g(z)二-a13x 一 a23 y 二 ax - a23 y 一 a33z:zcz即冬1 = .(8)-z(8)式积分得 g(z) = -1a33z2 c2(9)式代入(4)式得1v = an x22 a12 yx 一 a13zx12

17、2 a22 y -a23zy-a33z 2c(10)取 x =0,y= 0,z=0,v=0贝uc = 0彳导势能为、，1v = - -a11x22 -a12yx -a13zx -1a22y2 -a23zy -1a33z221 ,222二-(a11xa22ya33z2a12xy 2a23zy 2a31zx)2某力场的力矢为f = xi yj zk解：由于 r.xfx-yfy.:zfz.y试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。故力场为保守力场fx =:v二x.由tfy.x :v二y-y(2)fzv =z.,z(3)积分(1)式得vy偏微分=(2 )式得:v;:f y,zli.y

18、二 y=-y 积分得f (y,z)=g z 5代(5)入(4)得v =-g z 62积分得gz 一;c(6)式对z偏微分=(3)式得=如=-z:z二 z代(7)入(6)得v =取x=qy =0,z=0,v =0则c=0得势能函数为v =有一质点在xy平面上运动，质点受到的力为f =(x + y)十(xy) j,质点在平面上由点a (1,0)沿直线运动到点b (1,1 ),求力f所作的功解法1:由功的定义计算w = f dr = (fxdx fydy)= aab(x y)dx (x- y)dya又 x = 1, dx = 0所以w = ：a f dr 二八(fxdx fydy) = a(x y)

19、dx (x - y)dy =；0(1 - y)dy aaa0/12=(y -2y)解法2:由功的定义计算bw= af dba(fxdx fydy)=a(1,0)(1,1)121(x + y)dx + 11,0) (x-y)dy =(-x - xy)(1,0) * /12(1,0) * (xy -二 y )2(1,1)(1,0)二1b -w = f dr =-abb(1,1)1 2(fxdxfydy) = (x y)dx (x - y)dy d(-x xy -aa(1,0)212、2y )j 21=(2x xy-2y2)(1,1)(1,0)111二(1) 一222解法3:由保守力性质计算故力场f

20、为保守力场:xfx-yfy-zfz(0 -0)i (0 -0)j (1 -1)k =0.(3)v .x4fyfv=x -y:y:v-=0.:z2积分(1)式得v = -xy f y 2(4)式对y偏微分=(2)式得以=_x+山 =_x+y y：y积分得 f ( y ) = 1 y 2 - c j：522代(5)入(4)得v=二十匕xy + c (6)2222取 x=0, y=0,z = 0,v =0 贝j c = 0 得势能函数为 v = - 十 xy22则由保守力与功的关系可知121212121111w =-(v2 -vi) =vi -v2 =(-x -y -xy)(,0)-(-x -y -

21、 xy)。# =二 -(-1 二 -1)二22222222fx = x 2y z 5设作用于质点上的力场的力矢为fy = 2x y zfz = x y z 6求此质点沿螺旋线x =cosb, y =sinh,z =7日运行，自8=0至8= 2n时力场所作的功解：由保守力性质计算故力场f为保守力场fxfyfz_ (1 -1)i (1 -1) j (2 -2)k -0fx =，fyfz 二二 v 一2=x 2y z 5.x-v = 2x y z. :y.(1)(3)2积分(1)式得v二一土2xy _xz _5x f y,z im2(4)式对y偏微分=(2)式得史= -2x+fy)= -2x . y

22、 . z：:y2 y积分得 f(y,z)=.；y2 -zy g(z) 522代(5)入(4)得 v =-二一匕2xy - xz 5x - yz 十 g (z) (6)22(6)式对 z 偏微分=(3)式得生=-x-y + g(z)=-x-y-z + 6 fzfz2积分得 g z = - 6z c 7222代(7)入(6)得 v =-匕- z2 -2xy-xz-5x - yz + 6z+c(6)222取x =q y =0,z=0,v =0贝uc=0得势能函数为x221v = -z2 -2xy-xz_5x yz 6z222又由 x =cos9, y =sinh,z=7日知当日=0 时 x = 1,

23、y = 0,z = 0;2 = 2冗时 x =1, y = 0,z =14冗则由保守力与功的关系可知w = -(v2 -vi) =vi -v2,1 212= (-tx - y22二(-2-5)-12121212-2z -2xyxz5xyz 6z)(1,0,0) 一(-3 x - y - z -2xy xz - 5xyz 6z)(iq,i4二)1 11197(14二)2 14星 5 84二 = - -598二2 14二 5 84蹙=98二 2 70二2 222有一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数 c,(1)式求导得 vdv=x，x = axdt(因 y = c, y = 0

24、 ,故 x= a)3试证明在此情形下，加速度的量值可用下式表示a喙(1)证明1：由v2由此得出dv=ax=a v2-c2y2dt vp 2 dv :;22又a = 7-a 一品(2) = (3)得222、a (v -c )22 v 2 =a -()p整理得a=vc；结论得证证明2:如图设v与y轴夹角为,则由y = c,y=o,故有 a 二axi由图示几何关系知a2 v = acos：=p：cos 二又 vy =vcos： =c则有cos:代入（1）c：结论得证33、船得一初速v0,在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为km,其中m为船的质量。问经历多长时间船速减为其初

25、速的一半。（15分）解：由题意知 阻力为f=kmv则船的运动方程为m5 = _kmv2即dtdv 一kdtvv0t而t=0时v=v0设船经历时间为t时，v=h 积分上式得（2ldv = kidt2vo- 0即 一 r1=一kt0 vo 一从而得t二工kvo质点m在力x =psincot的作用下沿 x轴作直线运动，在初瞬时t=0,v=v, x=x。 求质点的运动方程。解： 由 mv = f = x = ps i ent积分 j mdv= psinmtdt, 得v00，ppm(vv0) = -(1 c ost)即 x=v=v0+(1 -coswt) 积分x tpx0 dx = 00v0工m p p

26、(1 -cost) dt 但 x = x0+(v0 + )t -2 sin 6 tm m 已知点的运动方程，求其轨迹方程，并自起始位置计算弧长求出点沿轨迹的运动规律.(1) x=4t-2t 2 , y=3t - 1.5t 2(2) x=5cos5t 2 , y=5sin5t 2(3) x=4cos2t, y=3sin2t解(1)由 x=4t-2t 2 , y=3t - 1.5t2 .(1)两式相除得x = y=j =y 3 -1.5t6 -3t 3(2-t) 3所以轨迹方程为y = 3x是一直线方程4x = 4 -4t =4(1 -t), y = 3 -3t =3(1 -t)(2)寸 x=4.

27、y；3(3)所以速度为 v = . x2y2 = .16(1 1t)29(1 1t)2 =5(1 -t)全加速度为 a = . x2 y2 - . 16 9 = 5而切线加速度为a丁 = dv = 3 ,法线加速度an = va2-a2 =。 dt由此说明质点作匀减速直线运动。(2)由 x=5cos5t2 , y=5sin5t 2 (1)得轨迹方程为x2+y2=25是一圆的方程，其半径r=522由(1)式得 x = -50tsin5t2, y =50tcos5t2(2)所以速度为 v =；/x2 - y2 = j2500t 2(sin25t2 cos2 5t2) -50t切线加速度为a/羽=5

28、0说明质点作匀加速圆周运动 dt22法线加速度为an =-=空”=500t2n ：5全加速度为 a = jx2y2 = l2500 250000t4 =50- 1 100t4(3)由 x=4cos2t, y=3sin2t (1)22得轨迹方程为 二十工=1为一椭圆方程169由(1)式得 x = -8sin2t,y：6cos2t.x - t6cos2t,y - -12sin 2t(3)所以速度为v= x2 y2 = 64sin2 2t 36cos22t =2,16sin2 2t 9cos2 2t全加速度为a = x2-y2 =(1 16cos2t)2一(1 12sin2t)2 = 4、16cos

29、22t 9sin2 2t.(4)如图6 -1所示，半径为r的车轮在直线轨道上滚动而不滑动，已知轮心c的速度是常量u ,求轮缘上一点m的轨迹，速度和加速度及轨迹的曲率半径.图6-1解 将城与地面的接触时的位置作为直角坐标系的 原点o ,并建立直角坐标系如图所示，经过时间t, m点的坐标为：x = ut - rsin (|)y = r - rcos (|)因轮纯滚动，线段o d与弧长d m相等,dm ut9 =r r整理后得运动方程为x = ut - rsin里ry = r - cos更 r从运动方程中消去时间t后，得轨迹方程为：x y2r-y =r arccos yr.即m点的轨迹为旋轮线（或摆

30、线），速度在x , y轴上的投影、大小utvx = x = u - u cos rut v = y = usin yr及方向余弦分别为v =,；v2 +vj =2usinut2r vx utcos： = = sin 2r.*=sin 一 2cos=cosu2r二 cos一2m点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为utax = vx = x sin - r r2.uutay = vy = y = 一cos一 rr22a ax - ayax. ut=sin = sinr=cos ut = cosr即各点加速度指向轮心又 a =/a2 +a2r,an*,而由此可求得：p = 4rs

31、i畔证明题证明：质量为m的质量从圆的最高点。由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为的弦上的运动，则在任意位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方 程得 质点加速度a=gcos日，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运动方程为1.21.2-s = - at = 一gt cos-22又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为s = 2r cos 二质量为m的质量从圆的最高点。由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间t 隹 庐巨 ，与g无关,故质量为m的质 .agcosug量从圆的最高点 o由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆

32、周上所需的时间相同。证毕。重为p的小球位于半径为r的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小球脱离球面的位置。解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能守恒。设球面顶点处为零势能面由机械能守恒定律有0 = 1 p v2 -p(r -r cose)2 g故 v2 =2gr(1 -cosu)(1)2小球在法向方向运动微分方程为 p2=pcos一 n g r小球脱离球面时n=0,所以有v2 =grcosu(1)代入(2)式有 gr cos6 =2gr(1 -cos6)整理有 cos - 2 - , - - arccos2 = 4801 1 .3 3又由几何关系知cose =lh = 2

33、(h为自球面顶点起下降高度)得r 3h 二 r3讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球(质量)无关，当球 面不光滑时与小球(质量)有关。可得到运动轨道方程是r=acose,此为圆的极坐标方程，所以质点 的运动轨道为以a为半径的圆。第二章质点系力学一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m,炮身及炮车质量和等于m 炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度 ,炮弹对 炮身的相对速度为v,试求炮弹离炮身时对地面的速度 v及炮车反冲 的速度u。解：由于在水平方向(x方向)无外力作用，火药爆炸力为内力，故水平方向动量守恒即 mvx mu =0(1)又由相对运动关系知 vcosot +u =vx,vsi

34、n豆=vy(2)m .、vx =v cosa八、 /曰 m +m(2)代入(1)得vy =vsince (3) m -u = -v cosam + mm、m + m2v2cos2 ：v2(1 -2、cos -)所以v =白2 + vy = jm i1 v2 cos2 a +v2 sin2 u x ym +mjm(2m m) 2=v 1 -2 cos 1(4)(m m)2如设v与水平面夹角为8,则n e=vl= vs a =mmn a.vx mmxo -m m讨论：由(4)式知炮车反冲时v-v ,由(5)式知日标口重g的物体a带动单位长度的质量为q的软链，以速度心向上抛出, 如图示。假定软链有足

35、够的长度，求重物所能达到的最大高度。解：取oz轴铅直向上，o点位于地面。将在空中运动的链条的物体a视为主体。则并入主体的质量元(原先静止于地面)的绝对速度u = 0于是密歇尔斯基方程为d -mz = f 1dt因 m = g + qz,f = (g + qz g(_ k )z = zk ,代入(1)式得二【g qz z1=g qg g dt用(g +qg dz乘上式两端得 g +qz)zd g +qzz】= -g(g + qzf dz已知初始条件为z=0时，z=% 所以积分上式得1(g +qz f z2 =(g +qz ) +1 g2v02 + g3 当 z = 0 时，上升高度 z 正好就是

36、最大值h即h=g 3：h痘 q 小 2gg23q2 3q-1)某质量为m的质点，其运动方程用矢量式可表达为r=x(t)i +y(t)j +zk ,式中：r为质点的矢径,i,j,k分别为x,y,z的单位矢。试求：(1)质点的动能、动量及对坐标原点o的动量矩。(2)质点对点a (a,b,c )的动量矩。(3)作用在质点上的力及力的功率。解：(1)动能 t = mv2 =1 m(x2 + y2 + z2) 22动量 p = mv = m(xi yj zk)动量矩 lo 二 m (yz - zy)i (zx - xz) j (xy - yx)k1(4)动量矩la =m (yb)z(zc)y i (zc

37、)x(x 一 a)z j 用(x 一a)y 一(y 一 b)xk(5)f = ma = mr = m(xi + yj + zk)功率 p=f .v=f r =mr r = m(x x y y z z)一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r为半径的圆周，假定人重为p,平台重也为p,其半径也为r,试 求当人在平台上走完一周时平台转过的角度。解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。假 设平台与转轴接触面光滑无摩擦，故质点系动量矩守恒。在质点系起始时，t = as = 0在某时刻人相对于平台的速度为u,平台的角gi=r(u+m)

38、方向沿转 g速度为则人的绝对速度为v = u+(or人的动量矩为:轴方向。平台动量矩为：g2 =，=-r2o方向也沿转轴方向2g由动量矩守恒定律得：g1 +g2 =_pr(u +cor) +-pr26 =0 二切=一-u又“哼,u琮即d12 dsdt - 3r dtg2g3rd8 = -ds积分得：/d =r-zds 3r00 3r故上 332、一均质木板放在光滑的水平面上，板的一端站着一个人。在某一时刻，人以不变的速度u向x轴正向运动。设板的质量为 m,人的质量为m。试求t秒钟后，人的绝对速度v与位移以及板的绝对速度vi与位移。解：以人和板为研究对象。系统受力：人的重力 巳板的重力 w光滑的

39、水平面对板的正压力fn。以上受力均在竖直方向，所以水平方向受力为零，则动量守在初始时刻t=0 ,人和板都静止，动量pax=0,任意时刻t ,设板的绝对速度v1沿x轴正向，则由点的合成运动可知，人的绝对速度为v=vi + u。由动量守恒定律得：mwi+m(v i+u)=0解此方程得 w=-u负号表示板的运动方向与x轴正向相反。 m2 mi由此得人的绝对速度为 v=vi+u=u- m2 u= m1 u正号表示人的运动方 m2 m1m1 m2向与x轴正向相同因u与v都是常量，故人和板的位移分别为ax = vt= m1 ut0xi=vit = - m2 utm m2mi m2设矢量在笛卡儿坐标系中的投

40、影为(x,y,z)，证明div= 3, rotf = 0并求使f = grad 的函数*解：(1) divf = v，f=|i + j + k (xi +yj +zk)=x +型+ cz = 3 i ex y zz ,ex ty czr 二 xi yj zk, r 二(3 ) 由r ro=ct可知势函数中 必存在，由grad :i j k二xcycz方巾一 =x?x(1)2故j = y 积分(1)式得=+f(y,z)为i 42/一 二z z2代（4）入（2）得fydy积分得f=l + g-（5） 2y2 -22代（5）入（4）得* = x+y+ g（z）（6）22代（6）入（3）得史=0 =

41、z积分得g（z）=i + c.（7） ；z ；z2222代（7）入（6）得4 = x +y +z +c222质量为mi及m2的两自由质点互相以引力吸引，引力与其质量成正比, 与距离的平方成反比，比例常数为k,开始时两质点皆处于静止状态,mi其间距离为a,试求两质点间的距离为j 时两质点的速度。解法1:用机械能守恒定律求解令质量为旧自由质点的速度为vi ,质量为m2的自由质点速度为v2 ,则因两质点互相吸引，故v1v2方向相反，取vi方向为正方向如图示由于两质点无外力作用，故动量守恒有 mw - m2v2 = 0(i)两质点间的相互吸引力为万有引力是保守力由保守力性质得势能为v = hf.d=-

42、kmim2dr=-kmim2式中r是两 r2r质点间的距离。由机械能守恒定律- km&=1mivi2 1m2v2 -她迎2 a 22a21 一 2 1 一 2kmm2m1vlm2 v2 = (2)2 2aii解 (1) (2) 式得 v1 m m2 - v2 = m1 -:a(m1 m2): a(m1 m2)解法2:用动能定理求解令质量为m,自由质点的速度为v1 ,质量为m2的自由质点速度为v2 ,则因两质点互相吸引，故v1v2方向相反，取v1方向为正方向如图示 由 dtjw 得 dgm- 2m2r22) = f dr =一乎 dr积分上式得 im1v12 1m2v2 = km1m2(1)22

43、a由于两质点无外力作用，故动量守恒有m1v1 - m2v2 = 0解(1) (2) 式得 v1 = m2 j2k-v2 =mj2k:;a(m1 m2); a(m1 m2)解法3:用两体问题方法求解由于两质点无外力作用可视为两体问题 由两体问题运动方程m空一得.2(1)d r12dv12m1m2 dv12km1m2-=-l - = = f =22dt dtm1 m2 dtr12t7 dv12dv12 dr12dv12乂 二二 v12 dtdr12dtdr121k(1) 工v12dv12 = 一-2 dr12m m2r12a积分 rv”-di 得(2)由于两质点无外力作用，质心作惯性运动，原来质心

44、静止，故由mivi m2v2vc =0传 m1v1 + m2v2 =0(3)mi m2又根据速度合成方法知v12=v1.v2.解 (2) (3) (4) 式得 v1 =-m2 1 2k v2 =m1 1 2k 二 1 a(m1 m2), a(mi m2)v1为负值表明与v2方向相反如图示，一长为l的均质链条在水平面上自然堆成一堆，线密度为 p,某人持链条一端以匀速v将其提高，试证：当他的手离开水平面的高22、度为x时(x 7 ),链条对手的作用力大小为f = x + pg g)解法1:用质心运动定理求解取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有重力p = plg,拉力f和水平面对静止的那

45、部分链条的支 持力f = -p(l -xg。由质心运动定理可得mac = f +plgp(l xg式中a。为质心的力口速度。上式在x轴上的投影式为 mxc = f - p|g+ p(l - x)gx x，pl -x 02由于链条的质心坐标为xc2 =x：l2l2贝 u 有 xc = v - , xc =22代入投影式得 m v f -：-lg ：l-xg,mv-=f - ：,xg2 f 2、所以 f = pxg +m = x + pg l m 故0 180。=7200光滑球a与另一静止的光滑球b发生斜碰，如两球均为完全弹性体,且两球质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。证明：设两球质

46、量为m ,光滑球a碰前速度矢量为vi,光滑球b碰前速度矢量为0,a和b碰撞后的速度白速度矢量为vt,v；由于两球碰撞过程中动量守恒有 mvi = mv! + mv2.又两球为完全弹性体动能守恒有1 mv? = 1 mv? + 1 mv?.222(1)式代入(2)式有“0)2 =v?2+v22整理上式得2v?v2=0,由于vi0,v20所以欲使两矢量的乘积为零，只有两矢量互相垂直即立0结论得证有三个完全弹性的小球，质量分别为m、m2、及m,静止于一直线上， 今于第一球上加上vi的速度，其方向沿此直线，设m、m及vi为已知， 求第二球的速度为何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：设第一、第

47、二球碰撞后第一球的速度为 v；,第二球的速度为v2则由速度公式得vi =vi -1 em2 v1-v2m； m2d mi vi -v2v2 = v21 emi m2mi vi -v2 八 c mivi2mivi叫v2 = 0, e = 1 型 v2 = v2 + (1 + e) = 0 + 2 父=mi m2mi m2 mi m2又设第三、第二球碰撞后第三球的速度为 v3已知v3=0,e = 1则由速度公式得v3 i ema二上班二一4一m2 m3m2 m3 mi m? m? m3欲使第三球的速度最大，须有也=0dm2生:4midm2(m1 m2)(m2 m3) - m2 (m2 m3 m1 m2)22(mi m2) (m2 m3)2mim3 - m2v1 = 4m122 : 0mim2m2m3所以有m2 =imim3时第三球的速度最大。一条柔软、无弹性、质量均匀的绳子，竖直的自高处坠落至地板上，如绳子的长度为1,每单位长度的质量等于仃，求当绳子剩在空中的 长度为