专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)

1、射点的切线方带电粒子，如果粒子都从磁场入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】1.如下图，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为 B MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射 电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间 关于这些粒子的运动以下说法正确的选项是()A .只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在 MN上/ xxxXXXX；的匀强磁场， 入大量的带正 的相互作用力,专题、圆形有界磁场中“磁聚焦的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相 等，那么粒子的

2、出射速度方向与圆形磁场上入 向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同 圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，那么所有 边界上的同一点射出，并且出射点的切线与B. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C. 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长.;|.ID .只要速度满足v = qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2.如下图，长方形abed的长ad=0.6m,宽ab=0.3m, O 径的四分之一圆弧和以O为圆心Oc为半径的四分之一圆 有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度 计重力、质量m=30)的粒子以速度v从0点垂

3、直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：(1) 磁感应强度B的大小；(2) 粒子离开第一象限时速度方向与 y轴正方向的夹角；(3) 假设将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从0点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角9 =300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t 04. 如下图的直角坐标系中，从直线 x=?2lo到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方1*EP J/Fk0A1 C1 /C xAI 1从 A (?2lo, ?lo) 电量为+q、

4、质量 的粒子依次连 从A点射入的 轴正方向射出的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界 点到C (?2lo，0)点区域内，连续分布着 为m的粒子。从某时刻起，A点到C点间 续以相同速度Vo沿x轴正方向射入电场。 粒子恰好从y轴上的A (0, ?lo)点沿沿x电场，其轨迹如下图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。I 7 / / I | ,(1) 求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。(2) 求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿 x轴正方向运动？(3) 为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，假设以直线x=2lo上的某点为圆心的圆形磁场区 域内，设计分布

5、垂直于 xOy平面向里的匀强磁场，使得沿 x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2lo与圆形磁场边界的一个交点。那么磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？-、 I !5如下图，在xoy坐标系中分布着三个有界场区： 第一象限中有一半径为r=o.1m的圆形磁场区 域，磁感应强度Bi=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与 x轴、y轴相切，切点分别为A、C;第 四象限中，由y轴、抛物线FG ( y = -iox2 o.o25，单位：m)和直线DH ( y=x-o.425，单位: m)构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度 E=2.5N/C的匀强电场；以及直线 DH右下方存在 垂

6、直纸面向里的匀强磁场 B2=0.5T。现有大量质量m=1X10-6kg(重力不计)，电量大小为q=2X10-C， 速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与 y轴夹角在0至180 之间。(1) 求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；(2) 试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直；(3) 通过计算说明这些粒子会经过 y轴上的同一点，并求出该点坐标。6. 如下图，真空中一平面直角坐标系 xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域I、II和两个直径为L的圆形磁场区域。电场的场强大小均为E,区域I的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域I的边界

7、相切；区域I的场强方向沿y轴正方向，其上边界在X轴上，左边界刚好与刚好与区域 W的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为 2 ，区 域川的圆心坐标为(0，L)、磁场方向垂直于xOy平面向外；区域W的圆心坐标为(0,丄)、磁2 2场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为 m电荷量均为q的带正电粒子M N,在外力约束下静止在坐标为(？L , L)、(一？L,)的两点。在x轴的正半轴(坐标原点除外)放置一块2224足够长的感光板，板面垂直于 xOy平面。将粒子M N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：圆心O在x 磁感应强度 圆相切于P 匀强磁场，电(1、粒子离开电场I时的速

8、度大小。(2) 粒子M击中感光板的位置坐标。(3) 粒子N在磁场中运动的时间。7. 如下图，半圆有界匀强磁场的轴上，OO距离等于半圆磁场的半径， 大小为Bi。虚线MN平行x轴且与半 点。在MN上方是正交的匀强电场和场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为 B。B，B2方向均垂直纸面，方向如图 所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O射入第I象限，其中沿x轴正方向 进入磁场的粒子经过p点射入mn后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m电荷量为q (粒子重力不计)。求：(1) 粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。(2) 假设撤去磁场那么经过P点射入电场的粒子从

9、y轴出电场时的坐标。(3) 试证明：题中所有从原点 O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。8. 如图甲所示，真空中有一个半径r =0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小IB=2.0 X 10?3T,方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度 L=0.5m的匀3、.强电场区域，电场强度E=1.5 X 10N/C,在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从 0点处向 不同方向发射出速率相同的比荷 9=1.0 109C/kg带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。一个m1/d liJC X 1 X M JL jL dJ k射入磁场的粒子hn该发

10、光点的位置场与电场的相切速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M恰能从磁处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：(1) 粒子M进入电场时的速度。(2) 速度方向与y轴正方向成30(如图中所示) N,最后打到荧光屏上，画出粒子N的运动轨迹并求 坐标。9.如图甲所示,质量m=8.0 x 10?25kg，电荷量q=1.6 x 10?15C的带正电粒子从坐标原点 O处沿xOy平 面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但 大小均为v=2.0 X107m/s。现在某一区域内加一垂直于 xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小 B=0.1T，假设这些粒子穿过磁场后都能射

11、到与 y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动 时，屏上光斑长度和位置保持不变。(n =3.14)求：(1) 粒子从y轴穿过的范围。(2) 荧光屏上光斑的长度。(3) 打到荧光屏MN最高点和最低点的粒子运动的时间差。(4)画出所加磁场的最小范围(用斜线表示)。参考答案1.当v丄B时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半只二mv、丁 =h：m的匀速圆周运动；只要速度满足 qBqB圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，不同方* /z.均可垂直打在 MN上，选项D正确。径和周期分别为V =_qBR时，在磁场中m向入射的粒子出射后2. 由r = V=0.3m知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场

12、磁场的半径相等，从Oa入射的粒子，qB出射点一定在b点；从Od入射的粒子，经过四分之一圆周后到达 be,由于边界无磁场，将沿be 做匀速直线运动到达b点；选项D正确。八、I |3. 解析：(1)当粒子速度沿x轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知：r=a；2vmv由 qvB = m 知：B = rqrmvqa(2)从A点进入电场后作类平抛运动;沿水平方向做匀加速直线运动:沿竖直方向做匀速直线运动：vy=vo ；粒子离开第一象限时速度与y轴的夹角：t a n = vvy(3) 粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OOPO构成菱形，故粒子从p点的出射方向与OO平行，即与y轴

13、平行；轨迹如下图；粒子从0到P所对应的圆心角为9 1=60,粒子从O到P用时：tT a16 3v由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S =asin3a ;2粒子在电场中做匀变速运动的时间：丄2mvt2飞；粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：t3 =22S = 2一 3归；vv粒子由p点第2次进入磁场，从Q点射出，P OQO构成菱形；由几何知识可知 Q点在x轴上,即为2a,。点；粒子由P到価对应的圆心角9 2=120,粒子从P到Q用时：专；粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：tt2戈弋=* 2 一 3a 2mVvvEq4解析：1带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有t=2lv

14、从A点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知b冷罟08ml0qt22mvqi2设距C点为勺处入射的粒子通过电场后也沿x轴正方向，第一次达x轴用时氏，有 水平方向：x=vo：t竖直方向 Ay = 1qEit2| j | |2 m欲使粒子从电场射出时的速度方向沿 x轴正方向，有210 = n 2 ：x n=1，2，3， 解得：勺=!qEl02=均n 2m v0n即在A、C间入射的粒子通过电场后沿x轴正方向的y坐标为y-12l。 n=1，2，3,n3当n=1时，粒子射出的坐标为 “当n=2时，粒子射出的坐标为y2 =lo4 当n?3时，沿x轴正方向射出的粒 y2之间如图y1到y2之间的距

15、离为.5 .L = % - | ；4那么磁场的最小半径为只=丄=处2 8 一 假设使粒子经磁场偏转后会聚于一 动半径与磁场圆的半径相等如图，轨迹圆与磁场圆相交，四边形 POQOX=f 1 *二|i yx=2| oQ 必C aIT9v*怛jC x点，粒子的运为棱形，由子分布在y1到2qvB =罟得：B 8mv-5ql05 .解析：12由 qvBm知：尺=mv = 0.1mRB1K点离开磁场，0和Q分别是磁场区域和因此OAOK为菱形，离开磁场时速度垂2考察从A点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同, 直于QK,即垂直于x轴，得证。3设粒子在第四象限进

16、入电场时的坐标为x，yi, 标为x，y2,离开电场时速度为V2 ； 在电场中运动过程，动能定理：Eqy2yj =fmv；fmv2 其中 yr =-10x2 x -0.0025， y2 =x -0.425解得 V2=100x2在B磁场区域做圆周运动的半径为 R，有qv2B2 =m解得R=xR2因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为 x坐标值，那么粒子做圆周运动的圆心必在 y轴上; 又因V2的方向与DH成450,且直线HD与y轴的夹角为45，贝U所有粒子在此磁场中恰好经过四分 之一圆周后刚好到达H处，H点坐标为0，- 0.425 o6解析：1粒子在区域I中运动，由动能定理得EqL=1mv解得v

17、2EqL2V m2粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 qv0BAm土，又有B =2，解得r -空=LrV qLqB 2因M运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M在磁场川中运动四分之一个周期后经过原点进入磁场W,再运动四分之一个周期后平行于 x轴正方向离开磁场，进入电场U后做类平抛 运动。假设M射出电场后再打在x轴的感光板上，那么IM在电场U中运动的的时间t = L 1分 v。討冷詈PV T2 分假设成立，运动轨迹如下图沿电场方向的速度vy =a *沿电场方向的位移v 1速度的偏向角tan -=-v 2L L设射出电场后沿x轴方向的位移xi,有xi二語冷M击中感光板的横坐标x二l r=2L，位

18、置坐标为(2L, 0) (1分)(3)N做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N将从b点进入磁场川，从原点 0离开磁场川进入磁场W,然后从d点离开磁场W,沿水平方向进入电场U。轨迹如图。在磁场皿中，由几何关系cos 一上上L 22那么9 =300，圆弧对应的圆心角 =180?30=150L粒子在磁场中运动的周期T粒子在磁场川中运动的时间W中运动时间相等;由对称关系得粒子在磁场川、故粒子在磁场中运动的时间5兀“2 6 “2qEmL7 .解析：(1)粒子在正交的电磁场做直线运动，有Eq二qv0B2解得v0EB22 粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有qv0B =口也I R解得只严=mEqBqBB? k I、i *| fff由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，即mEqB1B2(2)撤去磁场B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速竖直方向匀速y电t2从y轴出电场的坐标为y Jy R =vt匹厂qB2 B1 B1B2(3)证明：设从 O点入射的任一粒子进入B1磁场时，速度方向与 x轴成9角，粒子出B1磁场与半圆磁场边界交于Q点，如下图，找出轨迹圆心，可以看出四边形 OO1O2Q四条边等长是平行四边形， 所以半径O2Q与001平行。所以从 Q点出磁场速度与 O?Q垂直，即与x轴垂直，所