最短线段解中考题

1、中考“最短线段问题的重要应用高尚军甘肃省定西市安定区内官营中学 743011【摘 要】 数学的内容博大精深，“最短线段 问题相关中考试题可谓是千变万化， 这一问题解题的思路和方法就是根据轴对称知识实现化“折为“直 ，利用“两 点之间线段最短“垂线段最短 来解决。 具备这一数学思想， 中考涉及直线、 角、 三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、一次函数、反比例函数、抛 物线等为载体的试题通过分类，可收到举一反三，事倍功半的效果。【关键词 】 中考试题；最短问题；应用举例一、问题探究在人教版八年级上册P42,有这样一个问题：在这个问题中， 利用轴对称将折线转化为直线， 再根据“两点之间线段

2、最短， “垂线段最短等知识得到最短线段，这一类问题是当今中考的热点题型。二、数学模型1. 两点之间线段最短(1) 如图1,直线I和I的异侧两点A B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。(2) 如图2,直线I和I的同侧两点A B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。(3) 如图3,点P是/ MON内的一点，分别在 OM ON上作点A, B。使 PAB的周 长最小。4.如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在 OM ON上作点A, B,使四边形PAQB 的周长最小。2. 垂线段最短1.如图5,点A是/ MON外卜的一点，在射线 OM上作点P,使PA与点P到射线 ON的距离之和最小。图

3、5图 6图 72.如图6和乙点A是/ MO内的一点，在射线 OM上作点P,使PA与点P到 射线ON的距离之和最小。三、中考试题举例(一 ) 两点之间线段最短题型 ：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、 梯形、 圆、坐标轴、函数等。直线类1 .如图，A B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为 AC= 10千 米，BD= 30千米，且CD= 30千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A B两镇供 水，铺设水管的费用为每千米 3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M使铺设 水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：作点B关于直线CD的对称点B，连接AB，交CD于点M那么AM+BM = AM+B

4、M = AB；水厂建在 M点时，费用最小。如右图，在直角厶 ABE 中， AE = AC+CE = 10+30 = 40 ， EB = 30 ， 所以： AB = 50 ，总费用为： 50 X 3 = 150 万。变式.如图C为线段BD上一动点，分别过点 B、D作AB BD EDL BD连接 AC EG AB=5 DE=1 BD=8 设 CD=x.(1)用含x的代数式表示AO CE的长；请问点C满足什么条件时，AO CE的值最小？(3) 根据(2) 中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值。解：(2)A、C E三点共线时AC+CE最小，连接AE，交BD于点C,那么AE就是 AC+CE勺最小值，

5、最小值是10.(3)如右图AE的长就是代数式(0x 6P是/29.如图，在矩形 OABC中，A、C两点的坐标分别为 A(4 , 0)、C(0, 2) , D为0A的中点.设点 AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1 )试证明：无论点 P运动到何处，PC总与PD相等；(2) 当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过 ( 3)设点 E 是( 2)中所确定抛物线的顶点,当点 标和 PDE的周长；(4) 设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点O P、D三点的抛物线的解析式；P运动到何处时， PDE的周长最小？求出此时点P,使/ CPN = 90 ?假设存在，请直接写出点的坐标.P的坐(1)

6、 OCP ODP1过点B作/ AOC的平分线的垂线于点 P,点P即为所求过点P作PML BC于点M那么PM = 2= 1所以点P的纵坐标为3,又因为点P在/ AOC的平分线上, 那么 P(3 ， 3)因为抛物线过原点，故设 y = ax2 + bx又抛物线经过点 P(3 ， 3) ， D(2， 0)9a+3b=3所以 4a+2b=0解得 a = 1 , b = -2C,连接CE交OF于点卩，那么厶PDE的周长最小那么抛物线的解析式为 y = x2 - 2x 点D关于/ AOC的平分线的对称点是点抛物线的解析式为 y = x2 - 2x的顶点E(1, -1) , C(0, 2) 设直线CE的解析

7、式为y = kx+b，贝U -1=k+b2=b 解得 k = -3, b = 2直线CE的解析式为y = -3x+2y=-3x+211点 P 的坐标满足 x=y 解得 x =2,y =211所以 P2， 2 PDE的周长即是 CE + DE = +11 存在这样的点 P,使/ CPN = 90 ，坐标是2, 2或2 , 230 .：抛物线 y = ax2+bx+ca丰0的对称轴为x = -1 ，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中 A-3 , 0 、 C0, -21 求这条抛物线的函数表达式.2 在对称轴上存在一点P,使得 PBC的周长最小.请求出点P的坐标.3 假设点D是线段OC上的一

8、个动点不与点 O点C重合.过点D作DE/ PC交x轴于点E,连接PD PE设CD的长为m, PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值，假设存在，请求出最大值；假设不存在，请说明理由.b2343，c = - 29a-3b+c = 0(1) 由题意得 c = -2抛物线的解析式为y =42点B关于对称轴的对称点是点 设直线AC的解析式为y = kx +b0 = -3k + b -2 = b解得 k =23= -2A,连接AC交对称轴于点 巳那么厶PBC的周长最小 ，因为 A-3 ， 0 ， C0 ， -2 ，那么所以直线AC的解析式为y = 3x - 244 把 x =

9、-1 代入得 y = 3,所以 P(-1 , 3)(3) S 存在最大值OD 2-mDE/ PC,. OC,即卩 233OE = 3 -2, AE = OA- OE = 2方法一,连接 OPS = S 四边形 PDOE- S OED = SA POE + POD - S OED4 13=3+ 2 - m- 2 - m3一一33所以,当 m = 1 时, S 最大 = 4 方法二,S = S OAC - S AEP - S OED- S PCD33= 2= 4 十一 建桥选址类31如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，假设河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD问桥址应如何选择，才能使

10、 A村到B村的路程最近？作法：设 a、b 的距离为 r 。 把点B竖直向上平移r个单位得到点B; 连接AB，交a于C; 过C作CDb于D; 连接 AC、 BD。证明： BB / CD且 BB = CD四边形BBCD是平行四边形， CB = BD AC+ CD DB= AC+ CB + BB = AB + BB在a上任取一点 C，作CD，连接AC、DB , CB同理可得 AC + CD + DB = AC + CB + BB而 ACCBA B - AC+ CD+ DB最短。此题是研究 AG CD DB最短时的C、D的取法，而CD是定值，所以冋题集中在研究AC+ DB最小上。但 AGDB不能衔接，

11、可将 BD平移B1C处，那么AC+ DB可转化为AC+ CB，要使AC+ CB最短，显然，A、C B三点 要在同一条直线上。32 .如图，A B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问 PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？作法： 假设 PQ 就是在直线 L 上移动的定长线段 1过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB,使它等于定长PQ;2作出点A关于直线L的对称点A，连接AB，交直线L于P;3在直线 L 上截取线段 PQ=PQ.那么此时AP+PQ+B最小.略证：由作法可知 PQ=PQ=BB，四边形PQBB与PQBB均为平行四边形.下面只要说明 AP+BQAP

12、+BQ 即可.点 A 与 A 关于直线 L 对称，那么 AP=AP,AP=AP.故:AP+BQ=AP+BP=AB;AP+BQ=AP+BP.显然 ,ABAP+BP； 三角形三边关系 即 AP+BQ AD , B C BC,所以A D + B C AD + BC，那么在不存在一个向右的位置，使四边形 A B CD的周长最短当抛物线向左移动时，设A (-4-a , 8) , B (2-a , 2)，因为CD = 2，那么将点B向左平移2个单位得到点B (-a ， 2).点A关于x轴的对称点是 A (-4-a , -8),55直线A B的解析式为：y = 2x + 2m + 2要使A D + B D最

13、短，点D应在直线A B上16将点D(-4 , 0)的坐标代入到直线 A B的解析式，得 m = 5故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形A B CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为1 162x+52提示：方法一，A关于x轴对称点A,要使A C+CB最短，点C应在直线A B上；方法二，由1知，此时事实上，点 Q移到点C位置，求CQ=14/5,即抛物线左移14/5单位；设抛物线左移b个单位，那么 A -4-b ,8、Bz 2-b ,2。/CD=2二B，左移2个单位得到B -b ,2位置，要使 A D+C B，最短，只要 A D+DB最短。那么只有点 D在直线A B上。 十二 立体图形3

14、5桌上有一个圆柱形玻璃杯无盖,高为 12 厘米,底面周长 18 厘米,在杯口内壁离杯口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3 厘米的 B 处时,突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。析：展开图如下列图，作 A点关于杯口的对称点 A。那么BA =15厘米A到桶口的距离 AC为12cm，点B36一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的 A 点爬到桶内的 B 点处寻找食物,点 到桶口的距离 BD为8cm, CD的长为15cm,那么蚂蚁爬行的最短路程是多少?展开图如右图所示，作点B关于CD的对称点B,连接AB,交CD于点P,那么蚂蚁爬行路线B

15、为最短,且 AP+PB = AB+PB,在直角 AEB 中，AE = CD = 12 , EB = ED + DB = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知, AB = 25 所以,蚂蚁爬行的最短路程是 25cm四. 两点之间线段最短型 37恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险著称于世著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧， 、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一效劳区， 向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图与直线垂直，垂足为 ，到、的距离之和，图 2是方案二的示意图点关于直线的对称点是，连接交直线于点，

16、到、的距离之和1求、，并比较它们的大小；2请你说明的值为最小； 3拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一效劳区、 ，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。第 3问是“三折线转“直问题 。再思考 设计路线要根据需要设计， 是P处分别往A、B两处送呢，还是可以先送到 A接着送到Bo 此题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，假设要你设计方案，还需考虑一个方案路线，At Bo(1) 在图 (1) 中过点 A作 AC丄 BQ于点 C,贝U BC = BQ-CQ = 40-10= 30 ,

17、AB= 40 , 在Rt ABC中，根据勾股定理，得 AC = 40 ,所以PQ = 40在Rt BPQ中，根据勾股定理，得 PB = 40所以 S1= PA+PB = 10+40在图(2) 中S1 = AB = PA+PB = = = 10(2) 如图 (2)在厶 EAB 中，有 EB+EAAB 因为 S1= EB+EA， S2= AB所以 S1 S23如图 3分别作点A B关于x轴、y轴的对称点A , B，连接AB，交x轴、y轴 于点P、Q,那么四边形PABQ的周长最小构造如图在 Rt ABC 中，BC = 30+30+40 = 100,AC = 10 +40 =50所以 AB = =50

18、38 .如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD 不含B点上任意一点，将 BM绕 点B逆时针旋转60得到BN连接EN AM CM求证： AMB2A ENB 当M点在何处时，A腑CM的值最小；当M点在何处时，AM+ BW CM的值最小，并说明理由; 当AW BM+ CM的最小值为时，求正方形的边长 .(2) 连接AC,交BD于点 M贝U AM+C啲值最小 连接CE交BD于点 M贝U AM+BM+CM值最小/ AM=EN BM=NM AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短，可知EN+NM+MC=EC短(3)过点E作CB的延长线的垂线，垂足为 F

19、设正方形ABCD勺边长为2x那么在直角厶BEF中，/ EBF=30，所以，EF=x,根据勾股定理：BF=在直角 CEF中，根据勾股定理：CE2 = EF2 + FC2得方程：解得： x = 2所以： 2x =分析：此题在最短矩离这一问题中,利用了数形结合的思想,综合考查学生几何、代数知识的运用能力。整 个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：认知论证应用。此题的难点在距离最小。第一小 问设计由简单的三角形全等的证明让学生得出边之间的相等关系,这里隐藏着由旋转角 60得出的等边三角形,从而得出 BM=M；N 第二小问设计的是一个探究过程,让学生综合学习过的根本数学知识进行探索,看学 生对“两

20、点之间,线段最短的掌握,要求学生具备转化能力,建模能力等；第三小问的设计主要是将所探 究的结论进行运用,拓展,表达了数形结合的思想理念。整个过程表达了特殊问题中的一般规律,是数学知 识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的根本模型。五 . 垂线段最短型39. 如图，在锐角厶 ABC中，AB =，/ BAC= 45,/ BAC的平分线交 BC于点D, M N分别是 AD和AB上的 动点，贝U BM+M的最小值是 .作点B关于AD的对称点B，过点B作BE丄AB于点E,交AD于点F,那么线段BE的长就是BWMN的最小 值在等腰Rt AEB中，根据勾股定理得到，BE = 440. 如图，

21、ABC中，AB=2,/ BAC=30，假设在 AC AB上各取一点 M N,使BM+MN勺值最小，那么这个最小 值作AB关于AC的对称线段 AB，过点B作BN丄AB,垂足为 N,交AC于点M,贝U BN = MB+MN = MB+MN BN的长就是 MB+M的最小值那么/ BAN = 2 / BAC= 60, AB = AB = 2，/ ANB= 90。，/ B = 30 。所以 AN = 1在直角 ABN中，根据勾股定理BN = 41某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在 这三个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处。如

22、图，甲、乙两村坐落在夹角为30 的两条公路的 AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点 D在点M的南偏西60的km处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案：方案一：供水站建在点 M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到 A处，请你在图中，画出铺设到点 A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段 AB某处)，请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最

23、小值。综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短？点M到甲村的最小距离是 MB MB=3点M到乙村的最小距离是 MD MD=2 所以，最小值是 3+2作点 M关于 OE的对称点 M，连接AM，交CD于点P,贝U PA+PM = PA+PM = AM,AM的长就是点P到A点和M点的距离之和的最小值.在Rt AMM中，用勾股定理求得 AM = 4作点M关于OF的对称点 M，过点M作MH丄OE于点H,交OF于点P、交AM于点G/ GM = 3 , HE = 3 ,T DE = 3 , a H 与 D重合在 Rt HMM中，MH = 2DH = 442 .抛物线 y = ax2 + bx + c

24、 经过A (- 4 , 3)、B (2, 0)两点，当x = 3和x = - 3 时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点C (0, -2 )的直线l与X轴平行，O为坐标原点。(1) 求直线AB和这条抛物线的解析式：(2) 以A为圆心、AO为半径的圆记为圆 A,判断直线I与圆A的位置关系，并说明理由(3) 设直线AB上的点D的横坐标为-1 , P (m n)是抛物线y = ax2 + bx +c 上的动点，当 PDO的周长最小时，求四边形 CODP勺面积。11(1) AB ： y = 2 + 1 ,抛物线： y = 4AO= 5，点A到直线I的距离这3+2 = 5，所以，直线I与圆A相切3(

25、3) D(-1, 2) ,过点P作PHI I，垂足为H,延长HP交x轴于点G,设P(m, n),1那么 yp = 41 1 1 0P2 = 0G2 + GP2 = m2 + (4)2 =(4)2 ,二 OP = 411PH = yp - yH = 4 - (-2) =4 0P = PH要使 PDC的周长最小，因为 0D是定值，所以只要 OP+P最小，/ OP = PH,.只要 PH+PD最小根据“直线外一点到这条直线上训点的连线中，垂线段最短，可知，当点 D P、H三点共线时，PH+PD最小因此，当点D、P、H三点共线时， PDO的周长最小43. 如图：在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是等

26、腰梯形，A、B在X轴上，D在Y轴上，AB/CD AB=5CD=3 AD=BC=,抛物线 y = - x2 + bx + c过 A B两点。(1) 直接写出点 A B C、D的坐标及抛物线的解析式。(2) 设M是第一象限内抛物线上的一个动点，它到x轴与y轴的距离之和为d ,求d 的最大值。(3) 当(2)中的M点运动到d取最大值时，记此时的点M为点N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点，求 F 点到点与它到 y 轴的距离之和的最小值。(1) y = - x2 + 3x +4(2) 设 M(a， -a2+3a+4) ，那么d = a - a2 + 3a + 4= -(a - 2)2 +

27、 8所以，当a = 2时，d有最大值，且最大值是8,此时M(2, 6)作点N关于直线 AC的对称点N，过点N，作NH丄y轴于点H,交AC于点F,贝U F点到点N与它到y轴 的距离之和的值最小直线AC的解析式为：y = x + 1F点的横坐标为2，那么纵坐标为3,即F(2 , 3)而 N(2， 6) ，所以 FH = 2 ， FN = 3 ，贝 FN+FH = 544. 如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为 A(-6 , 0)、B(6 , 0)、C(0 ,)延长AC到点D,1使CD = 2，过点D作DE/ AB交BC的延长线于点 E.(1 )求D点的坐标；(2) 作C点关于直线D

28、E的对称点F,分别连结DF、EF,假设过B点的直线y = kx+b将四边形CDFE分成周长 相等的两个四边形,确定此直线的解析式；(3) 设G为y轴上一点，点 P从直线y = kx+b与y轴的交点出发，先沿 y轴到达G点，再沿GA到达A点, 假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使 P点按照上述要求到 达A点所用的时间最短。(要求：简述确定 G点位置的方法，但不要求证明)(1) CABA CDE 且 2，所以 D(3, 6)显然，四边形CDFE是菱形，将菱形 CDFE的周长分成相等的两个四边形的直线一定经过菱形的对角线的 交点 M./ M(0, 6) ,

29、B(6, 0) 6 V (3) = b0 = 6k+b解得： k = -， b = 6那么这条直线的解析式为 y = - + 6所用时间最短，也即是 PM+PA勺值最小OM3在厶 OBM中，tan / OBMOB=6=,所以/ OBM = 60过点A作AFU BM垂足为H,交y轴于点G,在厶 MGHK/ GMH=30，贝y MG = 2GH所以，当点P运动到点G时，GA+G!最小，即卩PM+PA最小提示：第(2)问，平分周长时，直线过菱形的中心；第(3)问，“确定G点的位置，使P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短 转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小很重要；发现(2)中直线与x轴夹角为6 0很关键45. 定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2