2203.妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程

1、妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程 【摘要】 本文通过隐函数相关理论解决中学数学教学中求圆锥曲线的切线方程问题，以一个小问题为出发点，引出隐函数的导数带来便利之处，由此可以培养高中学生思维能力，学习数学运算技巧，并为高中数学教师研究数学课堂教学提供借鉴。【关键词】 圆锥曲线 切线 隐函数 导数随着新课程进一步的深入，高中数学课堂教学对教师的专业素质提出了更高的要求，对高中数学教师的数学专业知识容量提出了新的挑战，为此笔者重新对高等数学内容进行学习，寻找高中数学各模块知识在高等数学中的渊源，以更好地有针对地进行课堂教学。圆锥曲线的切线问题是导数知识与解析几何知识交汇点，也是最近几年高考的

2、热点问题。如何利用导数这一工具解决此类问题，笔者在此提几点自己看法。1问题的提出数学问题是学生学习数学的核心，是学生提高数学素质的媒介，也是教师引导学生学习数学思想，领悟数学思想方法的一个平台。对数学问题进行适当的变换不仅能拓展学生的知识面，也有利于提高学生的能力，更能让学生体会到新课程大环境下学科思想。例如在求抛物线的切线方程我们会发现一个有趣的现象。例1已知抛物线c：及c上一点a（1，1），过a作c的切线，求切线方程。分析：此题若通过直线与抛物线的位置处理方法，很容易就能得出结果；若运用导数的几何意义也不难得到结果：先求出关于的导数再将a点的横坐标代入得到切线的斜率2，即所求的切线方程为。

3、变式1 将题中c的方程改成。分析：通过传统求切线方程方法易得；如果运用导数去求呢？学生肯定会发现表示曲线c的方程不是函数所以也不能求导，怎么办？笔者在教学中得到这样几种解题思路：在方程c中将互换也就是将看成关于的函数求导即得，再在写切线程时也将互换可得即；将方程c改写成两个函数，则因为点a在轴上方，所以斜率为；研究将代入可得此时过a点的切线斜率为。在中不难得到也就是对方程c中的看成关于的函数，再用复合函数求导的法则对方程c两边同时进行求导，遇到关于的运算直接求导，遇到即写成形式。能否把这一种想法推广到更一般呢？回答是肯定的。2隐函数与圆锥曲线方程21圆锥曲线方程满足隐函数的条件的验证对于实系数

4、二元二次方程 在这里讨论方程表示的是一般的圆锥曲线情况。记方程可以转化为 下面分析方程所满足的条件：（1）显然式所表示的曲线上的任意一点在其邻域内连续；（2）存在；（3）显然连续；（4）。所以方程所表示的曲线上的点在其邻域内，方程唯一地确定了一了定义在某区间内的隐函数。把看作关于的复合函数，应用复合函数求导法得到隐函数的导数，则方程的导数为。22求圆锥曲线的切线方程对于方程作关于的导数得即设点是方程所表示曲线上的一点，则过此点切线斜率为，所以切线方程为即所以3用隐函数的导数求切线方程的优势31求椭圆的切线方程例2设是椭圆c：上一点，求过点的椭圆c的切线方程。分析：用传统求切线方程的方法如下：设

5、过p点的切线方程为，由得整理得：设若则所以切线方程，整理得：若即斜率不存在，些时或，式仍然成立。所过点的椭圆c的切线方程为。此时式也是方程的切线方程形式。利用隐函数求导的方法：求导可得，则即斜率为所切线方程为整理得。32两种方法比较比较这两种方法显然只要掌握了隐函数求导的方法，可以避免复杂的运算，高效准确地得到解答。在隐函数的这一理论指导下可以快速求出圆锥曲线的切线。例如标准状态下的双曲线的切线方程为，抛物线的切线方程为或。而且掌握这种方法在学生将来的发展中更重要，在今天的学习中学生更多要用到的是利用导数的几何意义求各种曲线的切线方程。因而，在教学中接受和运用这种处理方式，使中学的学习内容的大

6、学的学习内容建立起自然的联系。4隐函数理论在中学数学中应用举例中学数学中很多问题或错误，站在初等数学的角度上是很难解决或发现的；倘若能站在高等数学的角度，沟通初、高等数学的联系，居高临下释疑，将会更有利于学生深刻领悟数学知识的精髓及其后续发展。例3求函数的导数.解析：两边取对数得（*）将（*）看成易知满足隐函数的条件从而即.5研究隐函数在中学数学教学中应用带来的启示通过对此类问题的研究可以纠正人们常有的一种片面观点，认为高等数学知识在中学数学教学中几乎无用。在新一轮课程改革大潮中，新的数学教材中已经出现并加强了一些高等数学的基础知识，所以中学数学教师有必要对高等数学进行研究并应用到课堂教学中去，也有必要立足于更高观点，用高等数学的方法去剖析中学数学教学，能有效地考查学生面对新问题、新情境及综合运用所学知识解决问题的能力，对提高高中生的数学素养有着重要的意义。欲穷千里目，更上一层楼。站到高等数学的角度下看初等数学的某些问题会更深刻、更全面，因此应该掌握更多的高等数学知识，摸清高等数学与中学数学的内在联系，指导学生进行探究性学习，培养学习的探究精神和创新能力，将是新形势下搞活中学数学教学的一条有效途径。【参考