正定矩阵的若干应用 毕业设计

1、 本科毕业设计（论文）( 2011届 )题 目： 正定矩阵的若干应用 学 院： 数理与信息工程学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称： 副教授 合作导师： 职称： 完成时间： 20 年 月 日 成 绩： 本科毕业设计(论文)正文目 录摘要1英文摘要11 引言21.1 矩阵理论的发展历史21.2 正定矩阵的发展与地位32 正定矩阵42.1 正定矩阵的定义42.2 正定矩阵的相关理论42.2.1 正定矩阵的性质42.2.2 正定矩阵的相关定理72.2.3 正定矩阵的判别方法103 正定矩阵应用123.1 正定矩阵的相关理论推广123.1.1 广义正定矩阵123.1.2

2、 准正定矩阵143.1.3 schur定理与华罗庚定理的推广163.1.4 ky fan等著名不等式的推广163.2 正定矩阵在实际问题中的应用173.2.1 二次型理论的应用173.2.2 仿射变换19参考文献 22正定矩阵的若干应用 摘要：正定矩阵是矩阵理论中的一类重要矩阵, 且在多个不同领域内均有重要作用. 本文回顾了正定矩阵的发展历史以及性质, 主要探讨了它的若干应用, 其中包含正定矩阵的理论推广和实际应用等问题. 关键词：正定矩阵；性质；理论；推广；应用several applications of positive definite matrixes abstract：positi

3、ve definite matrixes are an important class of matrixes in the matrix theory, which are widely used in different fields. in this paper, we first recall the history of development, then some basic properties of positive definite matrixes, and we mainly discuss several applications of positive definit

4、e matrixes, including the extension and practical applications of positive definite matrixes.key words： positive definite matrix；properties；theories；extend；application1 引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念, 是代数学的一个主要研究对象, 也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵理论是数学的一个重要的分支, 它不仅是一门基础学科, 也是最具实用价值和广泛应用的数学理论, 现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力工具. 正定矩

5、阵作为一类常用矩阵, 其在数学学科和其他科学技术领域的应用也非常广泛, 因此它的性质定理以及应用问题一直倍受关注, 而在实际生活中也经常出现有关正定矩阵的应用, 如线性规划、二次型理论解决二次曲线问题等. 尽管个别理论已为人们所熟知, 但缺乏系统性的整理.本文对正定矩阵的研究主要集中在对正定矩阵其性质的推广和应用上, 包括理论和实际的应用. 结合当前对正定矩阵已有的成形研究, 从二次型理论入手, 弄清其应用及推广, 并研究正定矩阵的仿射变换解决不规则二次曲线问题等实际问题的应用.1.1 矩阵理论的发展历史“矩阵(matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的. 他为了将数字的矩

6、形阵列区别于行列式而发明了这个述语. 而实际上, 矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了. 早在公元前1世纪, 矩阵形式解方程组在中国古代数学著作九章算术中已相当成熟, 那个时候矩阵只是被看作一种排列形式来解决实际问题, 并没有建立起独立的矩阵理论. 从18世纪末到19世纪中叶, 这种排列形式在求解线性方程组和行列式计算等问题中应用日益广泛, 矩阵思想才得到进一步的发展. 19世纪50年代, 西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由m行n列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”, 凯莱作为矩阵理论的创立者, 首先为简化记法引进矩阵, 然后系统地阐述了矩阵的理论体系. 随后, 弗罗伯纽斯等人发

7、展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论.矩阵思想的萌芽由来已久, 早在公元前1世纪中国的九章算术就己经用到类似于矩阵的名词. 1748年, 瑞士数学家欧拉在将三个变数的二次型化为标准型时, 隐含地给出了特征方程的概念. 1773年, 法国数学家拉格朗日在讨论齐次多项式时, 引入了线性变换. 1801年德国数学家高斯在算数研究中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广, 给出了两个线性变换的复合, 而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积. 另外, 高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念, 在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念. 1826年, 柯西

8、在微积分在几何中的应用教程中讨论了二次型束的特征根使束的行列式为零的情况, 证明了当其中一个二次型对变数的所有非零实数值是正定时, 束的特征根全为实数. 18世纪中期, 数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题, 即二次型的化简. 在这一问题的研究中, 数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论. 从18世纪中期到19世纪初, 数学家们在研究二次型的过程中涉及到大量的线性变换, 得到了许多重要概念和结论. 由于二次型和线性变换均可以使用矩阵来表示, 所以这些概念和结论也就可以自然而然地移植到矩阵理论之中. 因此二次型理论是矩阵思想得以孕育的重要源泉之一. 与此同时, 这种排

9、列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛, 行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件, 矩阵概念由此产生, 矩阵理论得到系统的发展. 20世纪初, 无限矩阵理论得到进一步发展. 矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域, 矩阵也是高等代数中最重要的内容之一, 矩阵的初等理论现已作为高中数学的选修内容. 由此看出, 矩阵理论在科技发展以及教育教学中的重要地位.1.2 正定矩阵的发展与地位矩阵的正定性源于二次型与hermite型的研究, 最初只限于在实对称矩阵或hermite矩阵中讨论. 但它要求矩阵是实对称的或是hermite的. 刚开始, 人们通过将非对称矩阵加以“对称化”来解决与原来

10、矩阵相关的问题. 1936年, kb用正定阵乘以原矩阵使其乘积成为对称阵的方法, 解决了概率论中的一些问题. 1937年, johnson在其博士论文中研究了方阵的对称化是正定阵的某些不等式. 随着实际应用的需要, 1970年, johnson给出阶实矩阵正定的定义, 把正定性的研究推广到未必对称的矩阵中, 并对这类矩阵的性质、不等式给予研究, 这些结论应用于许多领域. 国内近10年来出现了关于这方面研究的大量文章.将正定矩阵推广到广义正定矩阵之后, 得出了许多正定矩阵的相关理论. 从定义出发, 研究结论包括对称矩阵非对称矩阵、准正定矩阵、次正定矩阵、广义正定矩阵；从正定矩阵的性质出发, 研究

11、结论有：矩阵的三角分解、矩阵跡的问题, 还有相关hadamard积、kronecker积、hermite矩阵方程、hamilton四元数理论的应用等问题；从矩阵相关理论出发, 得出：惯性定理, schur定理, 华罗庚定理, minkowski及ky fan不等式, 扩大了minkowski不等式的指数范围等；同时也包括这些性质的推广与实际应用的探讨. 研究矩阵的正定性, 在数学理论或应用中具有重要意义, 是矩阵论中的热门课题之一. 正定矩阵具有广泛的应用价值, 是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类, 其应用引起人们极大的研究兴趣. 在非对称矩阵领域研究正定矩阵突破了其

12、本身定义的限制, 获得了丰富的研究成果, 并且得到了广泛的应用, 如线性规划的最优算法及线性回归模型结构、控制论、矩阵方程论、组合矩阵等. 它的研究成果, 使整个矩阵理论体系得以完善.2 正定矩阵2.1 正定矩阵的定义定义1 (实正定矩阵)设是一个实二次型, 若对任意的一组不全为零的实数都有, 则称是实正定二次型, 它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵, 简称正定矩阵. 定义2 阶实对称矩阵称为正定矩阵, 如果对于任意的维实非零列向量都有. 正定的实对称矩阵简称为正定矩阵. 由此可知, 研究矩阵的正定问题, 可以转化为研究其所对应二次型的正定问题. 注记：若未作特别说明, 这里所讨论的矩阵均为实矩

13、阵. 2.2 正定矩阵的相关理论2.2.1 正定矩阵的性质对于实方阵来说, 首先具备以下性质：性质1 设矩阵为阶实方阵, 则下列命题等价：1) 是正定矩阵；2) 是正定矩阵；3) 是正定矩阵；4) 是正定矩阵；5) 对任意阶可逆矩阵, 是正定矩阵；6) 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证 2) 若是正定的, 则存在实可逆矩阵使. , 可逆, 也是实可逆矩阵. 有也是正定矩阵. 充分性：若是正定矩阵, 则. , 是正定的. 3) 同2)的证明方法.由性质4)可得如下推论：推论1 若都是正定矩阵，则也是正定矩阵.证 因为都是正定矩阵，所以都是正定二次型，于是有也一定是正定二次型，所以是正定矩阵.性质2

14、设阶实对称矩阵为正定矩阵, 与下列命题互为充要条件：1) 的正惯性指数等于的维数；2) 合同于单位矩阵；3) 存在满秩阵, 使成立；4) 的个特征值全为正值；5) 存在满秩阵, 使成对角线元素皆正的对角阵；6)存在对称正定阵, 使；证 3)必要性：若是正定矩阵, 则合同于存在实可逆矩阵, 使充分性：若, 是实可逆矩阵, 对, 则所以, 是正定的. 4)设为矩阵的任一特征值, 为与其相应的特征向量, 则有, 因而有, 因而. 推论2 正定矩阵的实特征值都是正的, 而复特征值一定具有正的实数部分. 注记：这个定理的逆命题不一定成立, 即复特征值具有正的实属部分而实特征值全是正的实方阵不一定是正定的

15、, 例如, 它的特征值为, 实特征值是1,1, 而, 容易看出, 不是正定的. 性质3 1)1 的所有顺序主子式大于零；2) 正定矩阵的主子式全大于零；3) 正定矩阵的主对角线上元素必全大于零.证 2) 设,而, 为的任一阶主子式, 为所对应的阶主子式的行列式. 由于是正定矩阵, 故二次型. 对任意不全为零的实数都有, 从而, 对不全为零的实数(即在中除外余者取0). 对于变量矩阵的二次型,故是正定二次型. 因而是正定矩阵, 故3) 当实对称矩阵是正定的时, 它所确定的二次型必为正定二次型. 假设,取 , 代入上式得, 这即与是正定的相矛盾, 所以只有. 性质4 正定矩阵的元素的绝对值最大者一

16、定是主对角线上的元素. 证 设是正定矩阵, 其中元素的绝对值为最大, 则, 由性质3可知, 的一切主子式都大于零, 从而有, 即, 这与假设矛盾, 故正定矩阵中元素的绝对值最大者必定是主对角线上的元素. 注记：这个结论常用于判定某些实对称矩阵不是正定的矩阵. 因为只要有一个非主对角线上的元素绝对值不小于主对角线上元素的绝对值的最大者, 那么这个实对称矩阵必不是正定矩阵. 性质56 设实正定, 则1) 对任意；2) 的所有主子阵及实正定；3) 的所有主子阵的特征根满足：；4) 的所有主子式行列式大于0, 特别地；5) 对任意, 令(或), 则存在, 使得；6) 存在非奇异, 使得 , 其中 .

17、7) 若实正定, 则实正定, 即阶实正定矩阵集合为一凸集；8) 关于任一顺序主子阵的sylvester矩阵实正定. 证 1) 只需证, 而故. 先证3) , 对, 此为hermite矩阵, 故只需证时结论成立即可. 令为的任意特征值, 为响应的单位特征向量, 则, 易知为纯虚数, 故, 由courant-fischer定理直接得证. 4) 可由3) 直接得到. 下证2)由于我们有, 故实正定. 令, 故实正定, 同理可证实正定. 5) 可由直接得到. 6) 实对称正定, 存在, 使得为hermite矩阵, 存在酉阵使得. 故. 令即可得证. 7) 利用便可证明. 8) 记此顺序主子式为, 则关

18、于的sylvester矩阵为,且实正定, 故有实正定. 2.2.2 正定矩阵的相关定理定理1 实对称矩阵是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的维实非零列向量, 二次型是正定二次型. 定理23 hermite矩阵是半正定的, 当且仅当它的所有特征值都是非负的, 它是正定的, 当且仅当它的所有特征值都是正的. 定理36 中所有正定矩阵构成的集合的边界点是半正定矩阵, 但不是正定矩阵. 定理 414 (hadamard不等式)正定矩阵的行列式不超过对角元素之积, 即等式成立当且仅当是对角矩阵. 定理514 (oppenheim不等式)设是半正定矩阵, 则. 定理 614 (minkowski不等式

19、)设是半正定矩阵, 则：定理7 设阶方阵是正定的, 其中和分别是的对称分量和反对称分量, 则. 证 因为是正定的, 可知存在可逆方阵使得：, 其中, 因此 , 如果的反对称分量不可逆, 则, 而, 因此. 如果的反对称分量可逆, 则, 而且, 都不为零, 并且, 所以有. 2.2.3 正定矩阵的判别方法在研究正定矩阵的时候, 会出现判断被研究矩阵是否正定的问题. 结合性质, 正定矩阵的判定方法有很多, 随着研究的深入, 方法也不断改进, 以下罗列了几个相关判定方法：1) 与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵. 事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论明显成立. 2) 正定矩阵的逆矩

20、阵必为正定矩阵. 因为正定矩阵与单位矩阵合同, 所以存在可逆矩阵, 使得, 取逆矩阵, 记, 即有, 则与单位矩阵合同, 所以是正定矩阵. 3) 正定矩阵的和仍是正定矩阵. 事实上若与是同阶正定矩阵, 则对于任意的非零实列向量, 必有, 且, 从而 , 所以是正定的. 4) 正定矩阵的任何主子式阵必为正定矩阵. 假设是一个阶正定矩阵, 它的阶主子式阵, 又由正定矩阵性质可知, 从而可知的任何主子式阵一定是正定的. 5) 对于任何的实对称矩阵, 必有实数, 使得与是正定矩阵. 实对称矩阵的特征根都是实数, 不妨记其中绝对值最大的一个特征根为, 只要取, 即可使是正定矩阵. 这是因为假设是正交矩阵

21、, 可使, 则有, 其中由于, 可知是正定矩阵. 当取时, 则是正定矩阵. 6) 假设都是正定矩阵, 并且, 则也必为正定矩阵. 的特征根都大于零, 当时, 说明又是对称的, 从而可知是正定的. 3 正定矩阵应用 正定阵具有广泛的应用, 但被局限在对称阵范围内, 随着应用的需要和研究的深入, 加速了突破这一限制的进程. 国内外不少学者研究了多种未必对称的较为广义的正定阵, 获得了丰富的研究成果, 其成果得到了广泛的应用, 但仍不能满足应用上的需要和达到理论上的完善, 正定矩阵的相关性质、定理以及证明相关的著名不等式等问题都将日趋完善. 3.1 正定矩阵的相关理论推广3.1.1 广义正定矩阵按照

22、正定矩阵的严格定义, 其要满足该矩阵是对称的. 而广义正定矩阵突破这一限制, 来进行研究. 对于广义正定矩阵, 有过一系列的推广, 这里给出其部分定义、性质以及相关应用的问题. 定义3 设, 矩阵称为正定的, 如果, 有. 这种正定矩阵称为正定矩阵, 阶正定矩阵的全体记为. 定义4 设, 矩阵为正定的, 若对任何, 都有正对角阵存在正对角矩阵, 使, 则称为正定矩阵, 记为. 定义5 设, 矩阵称为正定的, 如果存在, 使得对, 有. 这种正定矩阵称为正定矩阵, 阶正定矩阵的全体记为. 定义6 设, , 其中, , 如果, 那么称为亚正定矩阵. 这里把阶亚正定矩阵全体记为(为的对称分量, 为的

23、反对称分量, 并且这种分解式是唯一的). 定义7 设, 矩阵称为正定的, 如果存在使得, 有, 这里称这种正定矩阵为正定矩阵, 阶正定矩阵的全体记为. 定义8 设, 矩阵称为正定的, 如果存在, 且, 使得, 有. 这里把这种正定矩阵称为正定矩阵, 阶正定矩阵的全体记为. 定义9 设, 矩阵称为正定的, 如果存在, , 且, 使得, 有, 这里把这种正定矩阵称为正定矩阵, 阶正定矩阵的全体记为. 定义10 设, 若, 都存在阶可逆阵使, 则称为阶准正定矩阵. 若与无关, 则称为阶准正定矩阵, 记为, 否则记为.这里进一步对定义9所给出的正定矩阵的性质定理进行进一步讨论. 显然, 的充分必要条件

24、是, 接下来进一步探讨中矩阵的某些性质. 为了方便表达我们记. 定理815 (1) 当且仅当存在, 以及, 使得；(2)当且仅当存在, 以及, 使得. 证 (1)必要性 因为, , 使得有, 则, 于是得, 则得到. 充分性 由于以及, 使得, 则, 所以, 有, 而, 于是得, 综上所述, 即得证. (2)必要性 因为, 所以, 使得有, 则, 于是, 即, 由于, 则, 由此可得. 又, 以及, 使得, 于是得到, 其中, , 充分性 由于以及, 使得, 所以对, 有, 则, 由定义可知. 定理915 设, 那么当且仅当使得. 证 必要性 由于有定理1(1)可知使得, 所以有, 则, 而,

25、 于是有. 充分性 由于使得, 于是有, 则, 于是, 故. 以上正定矩阵的几个充分必要条件还可以推导出几个正定矩阵的若干性质, 下面我们给出性质：性质615 1) 若, 则(1)；(2)；(3). 2)设非奇异矩阵, 则3)若, 且的分解为, . 4)若, 其中是实对称正定矩阵, 是实反对称矩阵, 则. 证 由于, 于是得, 而, 由定理可知：, 可逆(), 则, 所以有. 3.1.2 准正定矩阵这里用表示阶单位阵；表次对角线元全为1, 其余元全为0的阶方阵；分别表示实矩阵集与阶实可逆矩阵集；表阶实对称正定阵集；分别表示矩阵的hadamard积与kronecker积. 对于定义10, 当时,

26、 便是正定阵集或亚正定阵集, 并有；当(阶正对角阵)时, 便是广义正定阵集；当时, 便是由矩阵做进一步推广后的广义正定阵集；当(阶实对称可逆阵)时, 便是非对称广义正定阵集；当时, 便是次亚正定阵集；当(阶次对角阵)时, 便是准次正定阵集；当(阶实次对称次正定阵)时, 便是广义次正定阵集. 因此准正定矩阵将各类实正定阵与各类实次正定阵统一了起来, 并有. 定理1013 设, 则. 证 由定义1知：. 推论3 设,则为完全主正阵, 因而可逆. 定理1113 设, 则.证 由定理10知：. 在定理2中, 取为实对称正定阵, 即：定理1213 设, 则. 证 因为, 所以, 有且, 所以、. 反之,

27、 若, 则由必要性知：. 推论4 设, 则. 推论5 设, 则. 推论6 设, 则. 定理1313 设, 则. 证 因为, 所以由定理10知：, 又, 故, 有, 且. 因而. 反之, 若, 则由必要性知：. 推论7 设, 则. 推论8 设, , 则的伴随矩阵. 定理1413 设, 则证 由定理10知：. 3.1.3 schur定理与华罗庚定理的推广定理1513(广义schur乘积定理) 设的阶可逆对角阵, , 且, 则. 证 因为, 所以由定理11知：, 又, 故, 于是由定理7知：, 故由定理11知：. 定理15是schur定理的推广, 其中, 取, 便得著名结论：推论9(schur乘积定

28、理) 设, 则. 推论10 设为阶可逆对角阵, , 则. 推论11(广义华罗庚定理) 设为阶可逆对角阵, , 且, 则(其中为正整数). 证 因为, 所以, 且, 所以, 所以, 由华罗庚定理知：, 故. 3.1.4 ky fan等著名不等式的推广定理1613 设, 为的非实特征值个数, 且, 则, 特别当时有广义minkowski不等式：. 证 因, 故, 又, 故, 再的非实特征值个数为, 所以由推论可知：, 即. 定理1713 设, 为的非实特征值个数, 则, 有；特别地, 当时, 有广义ky fan不等式：. 证 , 由, 有, (即)的非实特征值个数为, 于是有：两边消去, 再次方得

29、：. 当时, 不等式显然成立. 上述定理、推论、不等式等结论是在对广义正定矩阵的研究的基础上, 获得了许多新的结果, 改进并推广了著名的schur定理、华罗庚定理、minkowski不等式及ky fan不等式, 并将各类正定矩阵与次正定阵统一了起来, 这对完善正定阵理论和应用很有价值. 3.2 正定矩阵在实际问题中的应用正定矩阵在实际生活中有着广泛的应用, 以下给出几个应用举例.3.2.1 二次型理论的应用二次型理论有着十分广泛的应用, 其在解决二次曲线与二次曲面方面、证明不等式等方面有着显著的实际应用, 下面就这几方面问题举例说明：一、从二次型理论的起源, 即从化二次曲线和二次曲面为标准型的

30、问题入手, 我们发现二次型理论对二次曲线和二次曲面方程的化简有着重要意义. 例1 利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程. , 其中. 解：作平移变换：, 则有, 即令, 又, 适当选取, 使, 由知：(线性方程组)有唯一解：, 由可得. 又是可逆实对称阵, 存在正交阵, 使得使得为的特征根, 作正交线性替换, 则即：原方程可化简为二、在不等式的证明中, 恰当运用二次型理论, 将十分有助于问题的解决. 例2 求证：证 令, 则, 的顺序主子式大于或等于零是半正定的, 二次型是半正定的, 即即. 3.2.2 仿射变换仿射变换是从运动变换到射影变换的桥梁.通过探究和证明我们知道,通过平行射影不改变

31、的性质和数量,称为仿射不变性质和仿射不变量,经过仿射其对应的性质也是不变的. 在初等几何问题中,圆和椭圆都是比较常见的图形,圆比椭圆更特殊,它有很多很好的性质,与圆有关的定理举不胜举,但椭圆则不然.因其本身的定义要比圆复杂,椭圆的性质和定理就很少,解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多.因此,我们自然期望有一种方法,使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易由仿射变换性质可知:椭圆通过适当的仿射变换可变成圆.所以,只要考虑有关椭圆仿射性质的问题,就可以先转化为有关圆的相应的问题来解决,再把所得的结果推广到椭圆中去, 即可达到我们解题的目的.下面仅就形式的仿射变换在

32、椭圆问题中的应用进行举例说明. 例3 求椭圆的内接四边形的最大面积. 应用知识点：平行四边形可经仿射变换变成正方形；在仿射变换下, 任何一对对应多边形面积之比等于常数, 且此常数等于变换系数行列式的绝对值. 图1解：如图1, 作仿射变换, 将椭圆变成圆, 则椭圆的内接平行四边形中面积最大者必对应圆的内接正方形. 设椭圆内接平行四边形的面积为, 圆内接正方形的面积为, 则(此公式可先对任意三角形证明后推广到一般多边形), 故椭圆的内接平行四边形的最大面积为. 同理可得椭圆的内接三角形的最大面积为. 注记：根据如上题目的求解, 得到下面两个推广：推广 1) 圆内接正边形的面积最大值为2) 椭圆内接

33、正边形的面积最大值为例4 如图, 已知, , 是椭圆上的两点,求椭圆扇形的面积s. 相关性质:在仿射变换下, 任何一对对应封闭凸曲线围成的面积之比等于常数, 且此常数等于变换系数行列式的绝对值.解:如图, 做仿射变换, 将椭圆变成圆相应地, 点a、b分别变换为且设圆中对应扇形的面积为, 则, 即所求椭圆的扇形面积为.例5 如图,与x轴交于点a, 与y轴交于点b、c, 在椭圆上任取一点p, 连结bp、cp, 分别于x轴交于点m、n, 求证: 相关性质:一直线上任两线段之比是仿射不变量.解: 如图, 作仿射变换, 将椭圆变成圆.由是圆的直径,得， 设, 则由仿射的性质,得根据上述分析, 仿射变换利

34、用正定矩阵作为一个中间桥梁, 巧妙地将椭圆问题转化为圆的问题, 为解题提供了一种新方法. 而这种方法同样可以推广到二次曲面的解题上, 相比常规做法更加简单方便. 由于正定矩阵的较好特性, 其应用非常广泛. 对正定矩阵的系统研究, 有助于对整个矩阵系统的学习和矩阵理论的完善. 参考文献1 王萼芳, 石生明. 高等代数m. 北京：高等代数出版社, 2006, (12): 205-236. 2 董可荣, 包芳勋. 矩阵思想的形成与发展j. 自然辩证法通讯, 2009,(01): 56-61.3 张厚超, 李瑞娟. 关于hermite矩阵正定性判定的等价条件及证明j. 河南教育学院学报, 2009,(

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36、判据j. 安徽大学学报, 2008, 32(3): 15-17.10 张淑娜,郭艳君. 正定二次型的几个等价条件以及正定矩阵的若干性质j. 通化师范学院学报, 2000, (5): 19-21.11 董丽华. 二次型理论的几个应用j. 丹东师专学报, 1999,21(4): 36-47.12 雍龙泉. 正定矩阵的推广及其应用j. 宝鸡文理学院学报. 2007, 27(2): 113-115.13 袁晖坪,王文惠. 准正定矩阵j. 辽宁工程技术大学学报, 2009, 28(1)：155-157.14 张娅琳. 正定矩阵几个重要不等式的推广j. 长江大学学报, 2006, 3(2): 472-47

37、3.15 刘晓冀, 涂强. 广义实正定矩阵的研究j. 广西民族大学学报, 2003, 15(2): 815-818.16 孙建东. 关于对广义的正定矩阵进一步研究j. 高等学校计算数学学报, 1996, (1): 93-96.17 曾德备. 正定、半正定矩阵在线性代数中的一些应用j. 玉溪师专学报, 1995, 11(4):1-6.18 岳贵鑫. 正定矩阵及其应用j. 辽宁省交通高等专科学校学报, 2008,(10): 31-33.19 george t. gilbert. positive definite matrices and sylvesters criterionj, the am

38、erican mathematical monthly, 1991, 98(1): 44-46. 本科毕业设计（论文）( 2011届 )过程管理材料本科毕业设计(论文)任务书学 院数理与信息工程学院专业数学与应用数学学生姓名滕诗媛学号07170316指导教师吕家凤职称副教授合作导师职称一、设计（论文）题目：正定矩阵的若干应用二、设计（论文）的研究内容和任务要求此次研究的内容是有关于正定矩阵的应用，对于该问题的研究主要集中在二次型方向的研究。正定矩阵理论在经济学、规划、统计等方面都有许多实际用途，但被局限在对称矩阵的范围内。随着应用的需要和研究的深入，这一限制逐渐被突破。国内外不少学者研究了多种

39、未必对称的较为广义的正定矩阵，获得了丰富的研究成果，其成果也得到了广泛应用，但仍不能满足应用上的需要和达到理论上的完善。通过大量查找文献资料，收集各类正定矩阵的相关应用，包括对称矩阵、非对称矩阵、准正定矩阵、次正定矩阵、广义正定矩阵，以及矩阵的三角分解、矩阵跡的问题，还有相关hadamard积、kronecker积、hermite矩阵方程、hamilton四元数理论。相关的定理与理论有：惯性定理，schur定理，华罗庚定理，minkowski及ky fan 不等式，扩大了minkowski不等式的指数范围等相关资料，进一步了解正定矩阵的背景和定义，以及其在数学领域中的应用，为正确理解正定矩阵的

40、性质以及应用做准备，为系统理清正定矩阵的各类应用打下理论基础。在大量查阅资料的基础上，对正定矩阵作初步理解以后，对各种有效信息进行归纳整理，进而得出结论，进行探究并证明。三、进度安排（一）2010年10月22日：选题，初步确定论文写作方向；（二）2010年11月7日11月20日：确定论文题目，初步收集资料；（三）2010年11月22日11月30日：根据题目，收集资料，准备开题报告；（四）2010年12月12日12月24日：完成开题报告进行开题答辩；（五）2010年12月底-2011年2月：完成论文初稿；（六）2011年3月-4月：修改论文；（七）2011年4月：定稿，提交论文，答辩资格审查及论

41、文答辩。 四、主要参考资料1董可荣,包芳勋.矩阵思想的形成与发展j.自然辩证法通讯,2009,(01):56-61.2岳贵鑫.正定矩阵及其应用j.辽宁省交通高等专科学校学报.2008,(10):31-33.3雍龙泉.正定矩阵的推广及其应用j.宝鸡文理学院学报.2007,(06):113-115.4朱家生.数学史(第二版)m.北京:高等教育出版社出版,2004,(09): 25-79.5袁晖坪,王文惠.准正定矩阵j.辽宁工程技术大学学报，2009（02）：155-157.6张纯根,米英,彭新峻,汪轩亭.实方阵的次正定性j,铁道师院学报,2002,(08):1-3.7王维生,李竹香,曾宪庸.实正定

42、阵的若干判定准则j.哈尔滨工业大学学报,1996,(04):3-6.8史文谱,刘迎曦,褚京莲,郭淑红.求解线性方程组的一种新方法j,计算机力学学报,2003,(06):715-720.9曾诚,汤凤香,何淦瞳. 关于半正定矩阵hadamard积的矩阵不等式j,贵阳学院学报,2009,(03):1-3.10尹景本,曹建兵.广义hermite矩阵方程j,河南科技学院学报,2009,(03):70-72. 指导教师签名 学生签名 系主任签名 2010 年 月 日本科毕业设计(论文)文献综述学院数理与信息工程学院专业数学与应用数学学生姓名滕诗媛学号07170316指导教师吕家凤职称副教授合作导师职称论文

43、题目正定矩阵的若干应用文献综述：矩阵是数学中的一个重要的基本概念, 是代数学的一个主要研究对象, 也是数学研究和应用的一个重要工具. “矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的, 他为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语. 而实际上, 矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了. 早在公元前1世纪, 矩阵形式解方程组在中国古代数学著作九章算术中已相当成熟, 那个时候矩阵只是被看作一种排列形式来解决实际问题, 并没有建立起独立的矩阵理论. 从18世纪末到19世纪中叶, 这种排列形式在求解线性方程组和行列式计算等问题中应用日益广泛, 矩阵思想才得到进一步的发展. 18世纪中期, 数学家们开始研

44、究二次曲线和二次曲面的方程简化问题, 即二次型的化简. 在这一问题的研究中, 数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论. 1748年, 瑞士数学家欧拉在将三个变数的二次型华为标准型时, 隐含地给出了特征方程的概念. 1773年, 法国数学家拉格朗日在讨论齐次多项式时, 引入了现行变换. 1801年德国数学家高斯在算数研究中, 将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广, 给出了两个先行变换的复合, 而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积. 另外, 高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念, 在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念. 1826年

45、, 柯西在微积分在几何中的应用教程中讨论了二次型束的特征根使束的行列式为零的情况, 证明了当其中一个二次型对变数的所有非零实数值是正定时, 束的特征根全为实数. 从18世纪中期到19世纪初, 数学家们在研究二次型的过程中涉及到大量的线性变换, 得到了许多重要概念和结论. 由于二次型和线性变换均可以使用矩阵来表示, 所以这些概念和结论也就可以自然而然地移植到矩阵理论之中. 因此二次型理论是矩阵思想得以孕育的重要源泉之一. 庞加莱说：“如果我们要预见数学的将来, 适当的途径是研究这门学科的历史和现状”. 研究矩阵的发展历史, 能让我们得到很多启示. 我们发现矩阵思想的建立立足于二次型理论的研究、行

46、列式计算以及微分方程的研究中. 从九章算术方程术中线性联立方程组的遍乘直除算法, 用算筹将系数和常数项排列成一个长方阵, 由此我们知道矩阵研究早已出现在我国传统数学的研究中, 而且一直延续至今长盛不衰. 正定矩阵作为矩阵中具有较好特性的一类矩阵, 有关它的研究一直是当今代数界研究的前沿和热点问题之一. 国内外的研究, 从不同的方面对正定矩阵进行研究：从定义出发, 研究结论包括对称矩阵、非对称矩阵、准正定矩阵、次正定矩阵、广义正定矩阵；从正定矩阵的性质出发, 研究结论有：矩阵的三角分解、矩阵跡的问题, 还有相关hadamard积、kronecker积、hermite矩阵方程、hamilton四元

47、数理论的应用等问题；从矩阵相关理论出发, 得出：惯性定理, schur定理, 华罗庚定理, minkowski及ky fan不等式, 扩大了minkowski不等式的指数范围等；同时也包括这些性质的推广与实际应用的探讨. 此次正定矩阵研究的内容主要集中在对正定矩阵其性质的推广和应用上, 包括理论和实际的应用. 结合当前对正定矩阵已有的成形研究, 从二次型理论入手, 弄清其应用及推广, 并研究正定矩阵的仿射变换解决不规则二次曲线问题等实际问题的应用. 矩阵的正定性源于二次型与hermite型的研究, 最初只限于在实对称矩阵或hermite矩阵中讨论. 1970年, johnson给出n阶实矩阵正

48、定的定义：若对任何, 都有, 即把正定性的研究推广到未必对称的矩阵中. 并对这类矩阵的性质、不等式给予研究. 国内近10年来出现了关于这方面研究的大量文章. 二次型与正定矩阵关系的研究：对于元二次型, 若将任意非零列向量代入其中, 对应的函数值恒大于零, 则称该二次型为正定二次型, 所对应的实对称矩阵为正定矩阵. 由此, 正定矩阵的定义是依附于正定二次型而给出的, 由于二者有着一一对应的密切关系, 因而对二次型性质的考察, 有助于更好地了解正定矩阵的性质. 在应用方面, 正定矩阵部分的应用很广泛, 所以它的研究一直是矩阵分析领域非常热门的课题. 二次型理论有着十分广泛的应用, 尤其在解决二次曲

49、线与二次曲面方面, 证明不等式、研究多项式的根等方面有着广泛的应用. 基于矩阵本身性质的应用也是十分广泛的. 在研究时, 对一些条件的加强、削弱, 从而衍生出了一些列的新矩阵、定理以及性质等, 本文着重研究广义正定矩阵、准正定矩阵所对应的性质、定理等相关应用. 本文的结构, 分成以下三个部分：(1) 正定矩阵的形成与发展；(2) 正定矩阵的定义、性质以及相关定理；(3) 正定矩阵的推广与应用(其中包括广义正定矩阵、准正定矩阵的研究, 和结合二次型对正定矩阵进行的相关应用). 研究正定矩阵各种应用, 并在此基础上发现新的应用是矩阵研究热潮的必然发展趋势, 在大量查阅资料的基础上, 正定矩阵作初步

50、理解后, 对各种有效信息进行归纳整理, 进而得出结论, 进行探究并证明, 将是本文的成果去向. 文献2简单介绍了整个矩阵发展沿千年的过程, 介绍了矩阵思想的形成与发展, 对其中矩阵思想的内涵、历史演进过程及其意义都有一定的体现. 早在公元前1世纪中国的九章算术就已经用到类似于矩阵的名词. 九章算术方程术中线性联立方程组的遍乘直除算法, 用算筹将系数和常数项排列成一个长方阵, 这就是矩阵最早的雏形. 魏晋时期的数学家刘徽又在九章算术注中进一步完善, 给出了完整的演算程序. 矩阵演变的筹算过程就是现今矩阵的行初等变换, 现今矩阵变换中的一些性质在方程术及刘徽注中都可追溯到理论渊源. 矩阵在中国古代

51、的萌芽, 蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想. 矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲, 欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台, 一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作, 使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系, 为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献. 矩阵在十九世纪受到很大的注意, 而且写了很多关于这个课题的文章. 如今矩阵是线性代数中最重要的内容之一, 其思想方法也贯穿整个内容的始终, 在线性方程组、线性空间、线性变换、二次型等线性代数中有重要的应用. 矩阵理论发展非常迅速, 矩阵及其理论也已广泛地应用于现代科技的各个领域. 它的阐述为本文提供丰富的背景知识. 文献1是

52、关于矩阵理论与应用的阐述, 系统的介绍了矩阵的相关理论, 其中也包含了对正定矩阵的详细介绍. 为本文的撰写提供理论基础. 文献1、4、5、6、8对正定矩阵的定义、性质以及判别方法进行具体阐述. (1)从不同的角度对正定矩阵定义：结合二次型和hermite型的研究给出的常规定义；结合空间向量给出的定义；根据惯性定理得到的定义. (2)性质：根据正定矩阵的定义, 罗列正定矩阵的特征, 结合二次型的等价条件, 应用合同矩阵的性质等条件, 得到正定矩阵的性质. (3)判别方法：要研究正定矩阵, 首先要判断被研究的矩阵是否为正定矩阵, 为此根据定义与性质得到判别方法. 文献7、9、10、11、12、13

53、、14、15、16、17、18介绍了正定矩阵的推广和应用. 推广：(1) 广义正定矩阵：通常讨论矩阵的正定性只局限在实对称矩阵范围内, 广义正定矩阵将范围推广到实方阵中, 来进行研究. 国内外不少学者研究了多种未必对称的较为广义的正定阵, 获得了丰富的研究成果, 其成果得到了广泛的应用, 研究了它及其 hadamard积与 kronecker 积的基本性质, 获得了许多新的结果. (2) 准正定矩阵：在广义正定矩阵的研究基础上，给出准正定矩阵的概念。改进并推广了著名的 schur 定理、华罗庚定理、minkowski 及 ky fan 不等式, 扩大了 minkowski不等式的指数范围, 并将各类正定阵与次正定阵统一了起来. 这对完善矩阵的正定性理论和应用无疑都是很有价值的.应用：(1) 二次型理论的应用：正定二次型与正定矩阵有着一一对应的密切联系, 二次型理论的广泛应用, 在解决二次曲线与二次曲面方面, 实际上也是对正定矩阵的一种应用. (2) 正定矩阵在线性问题的应用.上述文献为本文提供了大量的例子, 并予以证明. 下面给出个别例题以及其证明方法：例1. 设为实矩阵, 且, 证明正定. 证明：因为, 所以线性方程只有零解(即, 必有), 所以, 所以正定. 例2. 设是阶正定矩阵, 是实矩阵, 的秩为, 证明是正定矩阵. 证明