最新电大高等数学期末复习资料 小抄

1、（一） 单项选择题下列各函数对中，（c. ，）中的两个函数相等 a. ， b. ， c. ， d. ，设函数的定义域为，则函数的图形关于（c. 轴）对称 a. 坐标原点 b. 轴 c. 轴 d. 函数的图形关于（b. 轴）对称 (a) 坐标原点(b) 轴 (c) 轴(d) 函数的图形关于（a. 坐标原点）对称 (a) 坐标原点(b) 轴 (c) 轴(d) 设函数f(x)的定义域为(一，+) ，则函数f(x)- f(-x) 的图形关于(d . 坐标原点)对称. a. b. 轴 c.轴 d. 坐标原点下列函数中为奇函数是（b. ） a. b. c. d. 下列函数中为基本初等函数是（c. ） a.

2、 b. c. d. 设，则复合函数= b . . a. b. c. d. 下列等式中正确的是（b. ） (a) (b) (c) (d) = a. 0 . a。0 b. 1 c. d. 不确定下列极限存计算不正确的是（d. ） a. b. c. d. 当时，变量（c. ）是无穷小量 a. b. c. d. 在下列指定的变化过程中，（ a. ）是无穷小量 a. b. c. d. 在下列指定的变化过程中，（ c. ）是无穷小量 (a) (b) (c) (d) 以下叙述正确的是 d.当时，是无穷小 . a.是无穷小 b.当时，是无穷小 c. 是无穷小 d.当时，是无穷小若函数在点满足（a. ），则在点

3、连续。 a. b. 在点的某个邻域内有定义 c. d. 设且极限存在，则（c. ） a. b. c. d. cvx设在可导，则（d. ） a. b. c. d. 设，则（a. ） a. b. c. d. 设在可导，则（c. ） (a) (b) (c) (d) 设存在，则= c. . a. 0 b. c. d. 1若，则（b. ） (a) (b) (c) (d) 若，则（c. ） (a) (b) (c) (d) 若，则（b. ） (a) (b) (c) (d) 设的一个原函数为，则= c. . a. b. c. d. 下列积分计算正确的是（d. ）(a) (b) (c) (d) 设，则（d. ）

4、 a. b. c. d. 下列结论中正确的是（c. 若在点可导，则在点有极限） a. 若在点有极限，则在点可导 b. 若在点连续，则在点可导 c. 若在点可导，则在点有极限 d. 若在点有极限，则在点连续若函数满足条件（d. 在内连续，在内可导），则存在，使得 a. 在内连续 b. 在内可导 c. 在内连续且可导 d. 在内连续，在内可导若函数在不连续，则在 b.必不可导 . a.必定可导 b.必不可导 c.不一定可导 d.必无定义若函数在不连续，则在 b.必不可导 . a.必定可导 b.必不可导 c.不一定可导 d.必无定义是可导函数在处有极值的 b.必要条件 . a.充分条件 b.必要条件

5、 c.充要条件 d.既非必要又非充分条件 是函数在处有极值的 d.既非必要又非充分条件 a.充分条件 b.必要条件 c.充要条件 d.既非必要又非充分条件函数的单调增加区间是（d. ） a. b. c. d. 函数在区间内满足（a. 先单调下降再单调上升） a. 先单调下降再单调上升 b. 单调下降 c. 先单调上升再单调下降 d. 单调上升 函数的图形在区间（0，2）内是 a.单调减少，凹的 . a.单调减少，凹的 b.单调增加，凹的 c.单调减少，凸的 d. 单调增加，凸的 函数满足的点，一定是的（c. 驻点） a. 间断点 b. 极值点 c. 驻点 d. 拐点设在内有连续的二阶导数，若满

6、足（ c. ），则在取到极小值 a. b. c. d. 设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ a.单调减少且是凸的） a. 单调减少且是凸的 b. 单调减少且是凹的c. 单调增加且是凸的 d. 单调增加且是凹的设的一个原函数为，则= a. . a. b. c. d. 若的一个原函数是，则（d .） a. b. c. d. 下列等式成立的是（d. ） a b. c. d. 若，则（b. ） a. b. c. d. （b. ） a. b. c. d. 若，则（b.） a. b. c. d. 下列无穷限积分收敛的是（d.） a. b. c. d. 填空题函数的定义域是函数的定义域是 .函数的

7、定义域是 已知函数，则 x2-x 设，则复合函数= .= 0 = d =.d =.若函数，在处连续，则e 是函数的第 一 类间断点函数的间断点是设函数由方程确定，则曲线上横坐标点处的切线方程为 .抛物线过点切线方程为 若，则当时，称为。设函数，则0 设，则。曲线在处的切线斜率是。曲线在处的切线斜率是 曲线在处的切线斜率是 曲线在处的切线方程是。设，则设，则。设在内可导，且当时，当时，则是的极小 值点若函数在点可导，且是的极值点，则 0 函数的单调减少区间是.函数的单调增加区间是 .函数的单调增加区间是 函数的单调增加区间是函数的单调增区间是 若函数在内恒有，则在上的最大值是 函数的拐点是函数的

8、不定积分是。若函数与是同一函数的原函数，则与之间有关系式。设某商品的需求函数为，则p = 2 时的需求弹性为 -1。 。若，则。若，则 3若无穷积分收敛，则。计算题设函数求： 解：，求函数的定义域 解：有意义，要求解得 则定义域为计算极限 解：求 解：求 解：求 解：求 解： 求 解：求 解：求. 求. 计算极限 解 利用重要极限，及极限的运算法则得 计算极限 解 利用极限的运算法则得 .设，求 解： 设，求 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 设，求 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 求由参数方程 所表示的函数的二阶导数. 求下列函数的导数： 解: 解： 解： 解： 解：

9、解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解：在下列方程中，是由方程确定的函数，求： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 设，求 解： 设，求. 求下列函数的微分：（注：） 解： 解： 解： 解： 设，求函数的微分. 设，求函数的微分. 求下列函数的二阶导数： 解： 解： 解： 解： 计算不定积分 解：由换元积分法得 求不定积分. 求不定积分. 求不定积分. 求不定积分. 令，则，于是 计算定积分 解：由分部积分法得 计算 解 利用分部积分法得 应用题某制罐厂要生产一种体积为v的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解 设容器的底半径为，高

10、为，则其表面积为 因为，所以 由，得唯一驻点，此时，由实际问题可知，当底半径和高时可使 用料最省某制罐厂要生产一种体积为v的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的 底半径与高分别为与时，用料最省欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底长为x，高为h。则： 侧面积为： 令 答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 用钢板焊接一个容积为62.5的底部为正方形的水箱（无盖），问水箱的尺寸如何选择，可使水箱的表面积最小？ 解 设水

11、箱的底边长为，高为，表面积为，且有，所以令，得，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的表面积最小.欲做一个底为正方形，容积为32cm3的长方体开口容器，怎样做法可使用料最省? 解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2 h =32 ,h =32x2 y=x2+4xh=x2+4x。32x2=x2+128x令y=2x-128x2=0，解得x= 4是唯一驻点，易知x= 4是涵数的极小值点，此时有h=3242= 2, 所以当x= 4(cm), h= 2(cm) 时用料最省.在抛物线y2= 4x上求一点，使其与x轴上的点a(3 ， 0) 的距离最短. 解:设所求点p(x,y)

12、 ,则x,y 满足y2=4x. 点p 到点a 的距离之平方为 l= (x-3)2 + y2 = x-32 +4x 令l=2(x-3) 十4=0 ，解得x=l 是唯一驻点，易知x=l 是函数的极小值点，当x=l 时， y=2 或y= - 2 ，所以满足条件的有两个点(1，2) 和(1，一2).圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：设园柱体半径为r，高为h，则体积 一体积为v的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为r，高为h，则体积 答：当 时表面积最大。求曲线上的点，使其到点的距离最短 解：，d为p到a点的距离，则： 。

13、求曲线上的点，使其到点的距离最短 解 曲线上的点到点的距离公式为。 与在同一点取到最小值，为计算方便求的最小值点，将代入得 令得可以验证是的最小值点，并由此解出，即曲线上的点 和点到点的距离最短在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解： a r o h e b c设梯形abcd即为题中要求的梯形，设高为h，即oe=h，下底cd2r直角三角形aoe中，利用勾股定理得则上底故已知，求a ，b的值。 解：由于，所以必有且可分解为 ，从而有又，得于是有设，已知在连续，确定a ，b的值。 解：由已知 而 从而。已知是的原函数

14、，求.（6分） 解： 由已知 某家电厂在生产一款新冰箱，它确定，为了卖出 新套冰箱，其单价应为，同时还确定，生产台冰箱的总成本可表示为。为使利润最大，公司必须生产并销售多少台冰箱，并求此最大利润与冰箱的单价。（10分） 解：总收入 总利润 ，解得，由于，只有一个驻点，所以为最大值。最大利润为冰箱的单价为某服装有限公司确定，为卖出 x 套服装，其单价应为 ，同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示成，为使利润最大，公司必须生产并销售多少套服装，并求此最大利润与服装的单价。（10分） 解：总收入 总利润，解得，由于，只有一个驻点，所以为最大值。最大利润为所需的单价为证明题设函数 讨论的连续性。 解：分别对分段点处讨论连续性 （1）所以，即在处不连续（2）所以即在处连续由（1）（2）得在除点外均连续设，证明： . 解：设，显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是因为，故有由于，所以 求函数