随机过程(汪荣鑫版)第一、二、四章习题答案pdf

1、第一章随机过程的基本概念1设随机过程 x (t) = x cosw0 t,- t 0 时此时若 c o ws0 t同理有x1x-x 22f (x, t) =px=cosw0t edxcosw0t2p 0f (x, t )1-x21f (x, t) =e2 c o 2sw0txc o sw0 t2p 0 时xxf (x, t) =px = 1 - px cosw0t cosw0t 1xe-x 2= 1 -cosw0t2 dx2p01-x21f (x, t) = -e2 c o 2swt0c ows0 t2p综上当： cosw0 t 0即t 1(k +1)p 时w0211-x2f (x, t) =

2、e2 cos2w0t| cosw0 t |2p2利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为1cospt, 出现正面x (t) = 2t, 出现反面1假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 1 2 。试确定 x (t) 的一维分布函数 f (x, 2)和 f (x,1) ，以及二维分布函数 f (x1 , x2 ; 12 ,1)解：（1）先求 f (x,1)2p出现正面 01 cos2,出现正面显然 x = = 1出现反面2 2 -,出现反面 121 随机变量 x 的可能取值只有 0，1 两种可能，于是2 1 11 1px = 0=px = 1=2 22 2所以0x 01 1f x,=0 x 12

3、 21x 1再求 f（x,1）cosp出现正面-1出现正面显然 x (1) = = 2出现反面 2出现反面px (1) = -1= px (1) = 2=12所以0x -11f (x,1) =-1 x 221x 21(2)计算 f (x1 , x2 ; 2 ,1)10出现正面-1出现正面x () = 出现反面, x (1) = 出现反面212于是211 fx x1, x2;,1=px x1 ; x (1) x2 22 0x1 0- x2 +或 x1 0,x2 -110 x1 1,-1 x2 1,x2 23设随机过程 x (t ),- t 0)其中 x 是具有分布密度 f(x)的随机变量。试求

4、x(t)的一维分布密度。 解：对于任意 t0 因为fx (x, t) = p(x(t) x) 当 x0 时- xtln x fx (x, t) = pe x= p- xt ln x= px -t ln x - ln x= 1 - px 0tttrx (t1 , t2 ) = ex (t1 ) x (t2 )= ee- xt1 e- xt2 = ee- x (t1 +t2 ) = 0t e -x(t1 +t2 ) f x(x)dx =1(1 - e -t (t1 +t2 ) )t (t1 + t2 )6设随机过程 x (t),- t +在每一时刻 t 的状态只能取 0 或 1 的数值，而在不同时

5、刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的 t 有px (t) = 1= ppx (t) = 0= 1 - p其中 0p1。试求 x(t)的一维和二维分布，并求 x(t)的数学期望和自相关函数解：一维分布px(t) = 1= ppx(t) = 0= 1 - p二维分布：px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 1= p 2px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 0= p(1 - p) px (t1 ) = 0, x (t2 ) = 1= (1 - p) p px (t1 ) = 0, x (t2 ) = 0= (1 - p)2x(t)的数字期望4mx (t) = ex (t) = 1

6、 px (t) = 1+ 0 px (t) = 0= p随机过程 x (t)的自相关函数为rx (t1 , t2 ) = ex (t1 ) x (t2 )= 1 px (t1 ) = 1, x (t2 ) = 1+0 px (t1 ) = 1且 x (t2 ) = 0 ； x (t1 ) = 0 且 x (t2 ) = 1 ； x (t1 ) = 0 且 x (t2 ) = 0= px (t1 ) = 1 px (t2 ) = 1= p 27设 x n , n 1是独立同分布的随机序列，其中 x j 的分布列为xj1-1j=1，2，1-1p22n定义yn = x j 。试对随机序列yn , n

7、 1求j =1（1）y1 的概率分布列；（2）y2 的概率分布列；（3）yn 的数字期望；（4）yn 的相关函数 ry（n, m）。解：（1） y1=x1故概率分布则为 py = 1=1py = -1=11212（2） y2 = x 1 + x 2y2 可能的取值为 0 或 2，-2py2 = 0= px1 + x 2 = 0= px1 = 1, x 2 = -1+ px1 = -1, x 2 = 1= px1 = 1px 2 = -1+ px1 = -1px 2 = 1=1+1=1442py = 2= px+ x= 2= px= 1, x= 1=1212214py = -2= px+ x= -2= px= -1, x= -1=1212214n（3）yn = x j的数字期望为j =1eyn（4）自样关函数n= e x j =1ry (m, n)n= ex jj j =1= ey (m)y (n11=