Hilbert空间中的框架与Riesz基

1、桂林电子工业学院学报jo urnal o f gu il in un ivers ity o f el ectro n ic technolo gy第 25 卷 第 3 期2005 年 6 月v o l. 25, n o. 3j un. 2005h ilb e r t 空间中的框架与r ie sz基丁宣浩, 孙建明, 杨美香(桂林电子工业学院 计算科学与数学系, 广西 桂林 541004)细致地讨论了在h ilbe r t 空间中的框架与r ie sz 基的关系。 设v j 是l 2 (r ) 的一个多分辨分析,摘要: j w j v j = v j + 1 , 母小波 (x ) w 0 使得

2、j k (x ) = 2 2 (2j x - k ) k z是w j 的r ie sz 基。将证明j , k j ,k z是整个空间l 2 (r ) 的r ie sz 基并且存在唯一的对偶小波 使得 与 满足双正交条件。关键词: 框架; r ie sz 基;中图分类号: tn 911多分辨分析; 小波文献标识码: a文章编号: 100127437 (2005) 03279205k z h , 如果存在正常数a 和bck l2 都有使得对一切序列1定义设z 是整数全体, r 是实数全体, l 2 (r ) 为r 上的勒贝格平方可积函数全体。c 为复数全体,t = z : | z | = 1 c为

3、 单位圆周。 在小波分析的理论和应用中, 框架与 r ie sz 基以及多分辨分析起着重要作用。 虽然许多小 波分析的专著都有这些概念1- 7 , 但它们之间的关 系并不是十分清楚。为讨论框架与r ie sz 基的关系以 及 多分辨分析构造 r ie sz 基的作用, 先给出所需的定 义。a c 2k ck k b ck ,22(1)k并且k: k z的线性张成的子空间在 h 中稠密, 则称k : k z是h 的r ie sz 基。定 义 3设 h 为 可 分 的 h ilb e r t 空 间, 向 量 族j j j h , 如果存在正常数a 和b , 使对所有的 f h 成立a f | (

4、f , j ) |222 b f ,j j则称j j j 为h 的一个框架, 称a 和b果两个框架界相等, 则称为紧框架。为框架界。如l 2 (r ) 的闭子空间序列v j 称为一个多定义 1分辨分析, 如果它满足以下条件:定义 4设j j j 为可分h ilb e r t 空间 h 的一个框架, 框架算子 f : h l2 (j ) 定义为f (f ) = (f , j ) | j j , f h .这里j 是一个可列的指标集。(1)(2) v - 1 v 0 v 1 ,闭包c lo s ( v j ) = l 2 (r ) ,j = - (3)(4) ( 5) v j = 0,j = -

5、f (x ) v j f (2x ) v j + 1 ,存在 (x ) l 2 (r ) 使(x -2框架与r ie sz 基k ) : k z 是v 0的一个r ie sz 基,(6) f (x ) v j f (x + 1 ) v j .根据文献 2 ,框架算子有下面的一些性质:引理 1设j j j 为可分h ilb e r t 空间 h 的一个 框架, 其框架界为a 和b , f 是框架算子, 则有:2称 (x ) v 0 为生成l 2 (r ) 的多分辨分析v j 的尺度函数。 所谓r ie sz 基的定义为:f 是h l j ) 的有界线性算子, f 2 b ;2 (1)(2)32

6、(f 的伴随算子 f : l j h)的作用为定义 2设h 是可分的h ilb e r t 空间, 向量族k: 收稿日期: 2005- 02- 19基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 10361003)作者简介: 丁宣浩 ( 19572) , 男, 四川开江人, 桂林电子工业学院计算科学与数学系教授, 主要研究算子理论与小波分析.1 | (f , .f 3 cj =(3) f 3 f 是hcj j , cj l2 (j ) ;| 2j )aj j上的有界可逆线性算子;j j综合上述, 对任意 f h 有( 4) 令 j = (f 3 f ) - 1 j , 则 j j j 也是h的框架,

7、a f 2 | (f , j ) | 2 b f 2,框架界为b - 1 和a - 1 , 称 j j j 为j j j 的对偶框架;j j即j j j 是 h 的一个框架。 且框架界与 r ie sz 界相同。 由 (1) 式知j j j 是 l2 线性无关的。 证明(2) (1) . 设对任意 f h 有设 f 是相对于框架 j j j 的框架算子, f3( 5)是其伴随, 则 f3 f = f 3 f = i 为 h上的恒等算子, 从而任意 f h有两种级数表示:a f | (f , j ) |222 b f .f = (f , j ) j = (f , j ) j.j jj jj j令

8、算子f h l2 (j ) , f h , f (f ) = (f , j ) j j ,容易看到f 是线性有界且下方有界算子, 因此f 有闭 值域且f 2b . f 的伴随算子下面的定理 1 在文献 3中以不同的形式出现, 而且证明不完整, 这里给出完整的证明。定理 1设j j j 是可分h ilb e r t 空间 h列向量, 则下述命题等价:中的一f l j h , cj l2 (j ) , f 3 cj = cj j.32 ()(1)j j j 是h 的r ie sz 基;j j(2) j j j 是h 的框架, 且j j j 是l2 (j ) 线性无关的, 即对任意cj j j l2

9、 (j ) ,cj = f 3l2若cj = 0, 由 的线性无关性推知所jjj j有的 c = 0 .j即算子 f 3 的零空间cj j = 0,如果则k e rf 3 = 0 ranf = ranf =j jcj = 0, j j .3 ) 2 (k e rf =)l j .- 1因此 f 存在有界逆算子 f且容易得到证明( 1) 在正常数a 和b( 2).j j j 是 h的 r ie sz 基, 则存f - 1 2 1 ,使对任意cj j j a这样 f 3 - 1 h l2 (j ) 是有界线性的, 对cj l2 (j ) ,l2 (j )a cj 2 cj j 2 b cj 2(1

10、)有j j定义算子f 3 - 1 (cj j ) = cj j j s : l2 (j ) h , cj j j l2 (j ) ,j j3 - 1 2cj fcj j 22s cj j j = cj j ,j jj j则s 是有界线性算子且 是下方有界的, s 2 b1 且scj j 2 .a有闭值域, 即 rans = rans h . 但是j j j 的线性张成 空 间 sp an j : j j rans , 由 r ie sz 基 的 定 义,j j2 (对c lj ) 成立。ja cj cj j =22sp an j j j = h , 因此 rans = h . 这样 s是有界可

11、逆j j线性算子。由逆算子定理, s - 1 是h 到 l2 (j ) 上的有界f 3 c 22j b cj .线性算子, 且容易看到s - 12 1 . 又 s对任意 f h , 由引理 1 知,的伴随算子af = (f , j ) j ,s 3 : h l2 (j ) 满足j js 3 f (f , j ) j j l2 (j ) , f=h故 j j j 的线性张成在 h 中稠密, 因此 j j j 是 h| (f , j ) | 2 =的r ie sz 基。 证毕。推论 1如果 j j j 是可分 h ilb e r t 空 间 h 的r ie sz 基, 则任意 f h , 存在唯一

12、的j js 3 f 2 b f 2.而s 3 - 1 l2 (j ) h , f h , s 3 - 1 (f , j ) =cj j j l2 (j ) , 使得 f = cj j.f ,j j若j j j 是h ilb e r t 空间h 的 r ie sz 基,s 3 - 1 (f , j ) 2 推论 2f 2 =于是s 3 - 1 2 (f , j ) 2 j j j 是 j j j 的 对 偶 框 架, 则 j j j 也 是 h 的r ie sz 基。定理2闭子空间,取所有的 cj = 0, 便有a d j 2 cj j 2 b d j 2 .设v 1 , v 0 ,w 0 都是

13、可分h ilb e r t 空间h的j又对 任 意 g w 0 v 1 , 由 于 j , j j z 是 v 1 的r ie sz 基, 因而存在序列cj , d j l2 使得v 1 = v 0 w 0 ,若j j j 是v 0 的r ie sz 基, 则j j j 是w 0 的r ie sz 基 的充分必要条件是j , j j j 是v 1 的r ie sz 基。cj j + d j j ,g =jj从而证明(1)先证必要性。f v 1 , 可唯一分解为f = f 0 + g 0 ,g - d j j = cj j w 0 v 0 = 0.jj其中f 0 v 0 , g 0 w 0.这样

14、 g = d j j , j j z 的线性张成在w 0 中稠cj = j , g 0 =这样存在 l2 中的序列cj , d j 使 f 0 =j密。 因此j j z在w 0 的r ie sz 基。 证毕。设尺度函数 (x ) 生成l 2 (r ) 的多分辨分析v j ,jd j j , 从而jj 2则(x - k ) k z是v 0 的r ie sz 基。令 j k (x ) = 2f = cj j + d j j , j , j j j jj(2j x - k ) , 则j , k k z是v j 的 r ie sz 基, 且j , k k z 的 r ie sz 界与 (x - k )

15、 k z 的 r ie sz 界相 同。的线性张成在v 1 中稠密。 又定义j l2 v 1 让 j (cj , d j ) = (cj j +d j j ),j jj (cj , d j ) 2则(cj j + d j j ) 2 3由多分辨分析生成的r ie sz 基jj2 (cj j 2+ d j j 2)设尺度函数 (x ) 生成l 2 (r ) 的一个多分辨分析v j ,w 0 + v 0 = v 1 , 两尺度关系的频域形式为j是有界线性算子。 明显的j (cj , d j ) = 0 cj =jjd j = 0, () = p (z ) ( ) , 2即j是单射。 又f v 1

16、, f = f 0 +取函数 (z ) , 使满足0 m | (z ) | m g 0 ,其中f 0 v 0 , g 0 w 0.且 (-令z ) = - (z ) 对几乎所有的 z t 成立。根据r ie sz 基的性质, 存在唯一的 l2 序列cj , d j 使 (q (z ) = (-z ) p -z ) ,f 0 = cj j , g 0 = d j j , = q z ) ( )jj(则由方程)(于是j (cj , d j ) = f , 故j 是满射。根据逆算子定理, j存在有界的逆算子j - 1. 这样对任意cj , d j l2 ,cj , d j = j - 1j cj ,

17、 d j j - 1 j cj , d j ,2确定的小波 (x ) w 0 且(x - k ) k z是w 0 的r ie sz 基。j , k (x ) = 2j 2 (2j x - k ) ,令w j = sp an j , k ) k z,故j - 1 - 2 cj , d j 2 j cj , d j 2 =则j , k (x k z是w j 的r ie sz 基。很自然的要问,)2 ( (cj j + d j j ) 2 整个集族j , k (x ) j , k z 是l r ) 的 r ie sz 基吗?我们的回答是肯定的。设两尺度序列p n , qn l2 , (x - k )

18、 k z是w 0 的r ie sz 基, 则两尺度矩阵j2 (b 1 + b 2 ) cj , d j 2因此j , j j j 是v 1 的r ie sz 基。(2)充分性。 设j , j j j 是v 1 的 r ie sz 基,p (z )q (z )p (-q (-z )z )则 存在正常数a , b 使得对任意cj , d j l2 l2成立a cj , d j 2 m (z ) =几乎处处可逆,g (z )h (z )g (-z )t ( ) - 1cj j + d j j 2mz =h (- z )jjb cj , d j 2 ,中的元素都属于l 2 (t ) , 令2 (p (

19、z ) = g (z ) , q (z ) =h (z )波, 从而j , k j , k z是lr ) 的r ie sz 基。b (z )b (z )由尺度函数 (x ) 可以构造出小波函数证明0 a 1 b (z ) b 1 ,由于(x ) 使得(x -k ) k z是w 0 的r ie sz 基。 这样就所以p (z ) , q (z ) 也都属于l 2 (t ) ,度函数与对偶小波由此确定的对偶尺可以如引理 2 一样构造 (x ) 与 (x ) , (x ) 生成多分辨分析v j , (x ) 生 成 小 波 空 间 w j , 而 且 v j (w ) = p (z ) ( ) ,

20、w j , 但是w j = w j , 因此v j w j , 这样便有2l 2 (r ) = w - 1 w 0 w 1 (w ) = q (z ) ( )由于j , k k z是w j 的r ie sz 基, 所以2中定理4. 3 在假定两尺度(j , k , l, m ) = 0,都属于v 1 l 2 (r ) , 文献2对 j l 成立, 即 是半正交小波。又根据(x - k ) k z 是w 0 的 r ie sz 基容易序列p n , qn l2 的情况下仍然成立, 即有引理 2如果(x - k ) k z 是w 0 的 r ie sz推出j , k k z是w j 的具有同样 r

21、 ie sz 界的 r ie sz基, 则如上定义的函数 (x ) 与 (x ) 满足, l2 有基, 即存在正常数a , b , 使得对一切cj k(0, n , 0, m ) = n , m , (0, n , 0, m ) = n, m ,22a| cj , k | cj , k j , k (0, n , 0, m ) = 0, (0, n , 0, m ) = n , m z.0,k = - k = - 正如文献 2所指出的, 记 | cj , k |2 j ,b (2j x -j , k (x ) =k ) ,2k = - j j , k (x ) =2 2 (2j x -k ),

22、j , k j , k cl, k l, k , j l,由于c定义k = - k = - 这样根据勾股定理就得到vj= clo sl 2 (r ) ( j , k k z) ,wj= clo sl 2 (r ) (j , k k z) ,这时, v j 也形成l 2 (r ) 的一个多分辨分析, 并且v j + 1 = v j + w j ,由引理 3 可得 | cj , k | 2 aj = - k = - cj , k j , k 2 =j = - k = - v j wj , v w j , j z, cj , k j , k 2 j, 以及 , 满足双正交的条件:j = - k =

23、- (j , k , l, , m ) = (j , k , l, , m ) =b | cj , k | 2 .j , l r k , m,j = - k = - j , l r k , m .j , k j , k z的线性张成在l 2 (r ) 中的稠密性是清一般认为, v j 与v j 是不一样的多分辨分析, 但笔 者认为v j 与v j 是一样的多分辨分析, 即有如下的 结果。引理 4给定两尺度序列p k , qk l2 , (x -2 ()楚的, 所以j , k j , k z是l r 的r ie sz 基。证毕。一般说来, r - 函数不一定是 r - 小波, 但定理 3 肯定了

24、, 由多分辨分析产生的母小波 是半正交小 波, 当然也是r - 小波。的对偶就是依据引理2 定义 的 , 它们满足双正交的条件(j , k , l, m ) = j , l k , m从而每一个 f l 2 (r ) 有两个小波级数表示:k ) k z是w 0 的r ie sz 基, 设 (x ) 与 (x ) 如引理 2中所定义, 则 (x ) v 0 , (x ) w 0 ,而且 (x - k ) k z是v 0 的r ie sz 基, (x - k ) (f , j , k ) j , k (x ) =f (x ) =k z是w 0 的 r ie sz 基, 从而v j = v j 及w

25、 j = w j , jj , k(f , j , k ) j , k (x ).z, 与 生成同样的多分辨分析。j , k由于由一个尺度函数可以生成许多的母小波, 因此构造对偶小波的方法不是唯一的。但是一个已知的母小 波的对偶小波却是唯一的。任 意 给 定 l 2 (r ) 的 一 个 多 分 辨 分 析定 理 3v j , 设w j v j = v j + 1 , 则必然有w j v j , 从而l 2 (r )有正交和分解:l 2 (r ) = w - 1 w 0 w 1 由l 2 (r ) 的多分辨分析产生的小波 必定理 4然有一个唯一的对偶 , 使得j , k j , k z与j ,

26、 k 而且由尺度函数 (x ) 生成的母小波 (x ) 是半正交小由 f 的任意性, 得出 = 3 . 证毕。j , k z都是l 2 (r ) 的r ie sz 基, 且满足双正交条件:(j , k , l, m ) = j , l k , m证明: 只需证明对偶的唯一性。事实上, 对每一个f l 2 (r ) 都有两个小波级数表示:参考文献:1y. m eye r 著. 尤众译. 小波与算子 m .司, 1992.北京: 世界图书出版公f (x ) = (f , j , k ) j , k (x ) =2程正兴. 小波分析算法与应用 m . 西安: 西安交通大学出版社,1998.崔锦泰著,

27、 程正兴译. 小波分析导论 m . 西安: 西安交通大学出 版社, 1995.j , k (f , j , k ) j , k (x ) .3j , k假设 3 也是 的对偶, 那么每一个 f l 2 (r ) 也有小 波级数表示:4冯象初, 甘小冰, 宋国香. 数值泛函与小波理论 m .电子科技大学出版社, 2003.西安: 西安f (x ) = (f , 3 k ) j , k (x ) =j ,5m a lla t s. a w ave le t t o u r o f s igna l p ro ce ssing m . a cadem icp re ss, n ew yo rk , 1999.bo gge ss a , n a rcow ich f j. a f ir st co ue se in w ave le t s w ithfo u r ie r a na ly sis m . a cadem ic p re ss, n ew yo rk , 2001.d aubech ie s i. t en l ec tu re s o n w ave le t s m . p h ilade lp h ia: s iam p ub l, 1992.j , k (f , j , k ) 3 k (x ) .j