数学建模论文关于眼科病床的合理安排问题

1、关于眼科病床的合理安排问题摘要该问题属于数学优化理论。对于眼科病床的合理安排问题，我们既要从医院资源的有效利用方面考虑，又要从病人的情况方面考虑。对于医院的资源，在考虑到手术医生的安排问题下，病床的利用率应越高越好。对病人而言，当然是门诊后等待入院的时间越短越好，但是，对医院来说，这虽然缩短了部分病人的等待时间，从全局看，这并不是最优的，若一个病人门诊后已经入院了，但一直在等待做手术，一直处于手术前的准备状态。所以这无形中增大了其他病人的等待入院时间。基于此问题，医院应该在病人排队入院这个问题上确定哪些病人入院才能使病人的病人的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）达到最短。由于白内障、视网膜疾

2、病、青光眼和外伤四类眼科的手术条件各有不同，于是我们可以设置一系列限制条件来安排病人的入院时间，从而缩短病人的平均逗留时间（含等待入院及住院时间），以及对医院资源的有效利用。为了使病人入院后能够尽快的进行手术，我们可以把入院时间安排到刚好符合所有条件，同时又离手术时间最短的那天，相当于病人的最短逗留时间，此时间由三年部分组成，即：最短逗留时间=最短排队入院时间+最短入院后未手术时间+手术时间。要使病人的逗留时间尽量缩短，必须缩短排队入院时间和入院后未手术时间，对病人的手术时间什么要求，因为对同一类病人，他们的手术时间变化波动不大，可看成是一个定值。因此，只要缩短排队入院时间和入院后未手术时间，

3、就缩短了平均逗留时间（含等待入院及住院时间）。对眼科病床的安排，我们做出了三种模型，模型一：根据病人类型和门诊日期，判断病人是入院还是继续等待已达到等待日期最少便可以手术。模型二：其他条件跟模型一相同，只是考虑星期六和星期天手术医生不上班，这相当于对模型一的灵敏度分析。模型三：是从考虑方便管理的角度出发建立模型的，相当于是对模型一的改进。通过统计计算，fcfs规则得出的平均逗留时间为19.713天，模型一的平均逗留时间为14.701天，模型二的平均逗留时间为15.093天，模型三的平均逗留时间为15.083天，由以上数据，模型一最优。模型一与fcfs规则模型相比，缩短了病人等待入院的时间和入院

4、后手术前的时间，相当于缩短了平均逗留时间。模型一与模型二相比，模型二在星期六和星期天不安排手术，相对以来说，有一部分手术会推迟，故比模型一少，但从数据上看，星期六和星期天不安排手术的影响不是很大。模型一与模型三相比，模型三的优点是管理方便，这样必然会是病人平均逗留时间长些关键词：平均逗留时间，平均住院天数，平均等待入院天数问题的叙述与分析(一) 问题的叙述某医院眼科门诊每天开放且住院部有病床79，需要住院并且手术的有：白内障、外伤、青光眼以及视网膜疾病，其中只认为外伤疾病属于急诊。它们符合如下条件： 该院白内障手术只能在每周一、周三做，此类病人只需1、2天的术前准备时间。其中做双眼的病人占到6

5、0%，周一做一只，周三再做另一只。白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。 急诊在有病床有空位的时候就立即安排住院，第二天便能手术。 青光眼和视网膜疾病情况比较复杂，住院2、3天才能手术，术后观察时间较长。周一、周三不安排这两类手术。当前该住院部对全体非急症病人是按照fcfs（first come, first serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排

6、模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。给出的2008年7月13日至2008

7、年9月11日这段时间里各类病人的情况（略）。(二) 问题的分析1.通过对问题的分析，以及相关背景的了解，按照以前的规则，不能使病人得到合理的住院治疗，因此要改变现有的规则。为此，我们认为在现有资源确定的情况下，即眼科医院79张病床不变的情况下，我们要达到四个目的：a) 提高病床的利用率。b) 缩短病人的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）。c) 使得病人花更少的钱。d) 提高医院对病人的服务率。2.同时还要考虑看病的优先级。首先对于外伤病人，因为确定外伤为急诊，作为急诊必须是医院有空床就当天立即安排住院，第二天便能进行手术，在一些背景知识的了解后，认定外伤病人应优先考虑。其次针对白内障病人，因

8、为他们的约束条件比较多，我们把白内障病人分成做白内障单眼手术和做白内障双眼手术，根据他们的手术约束和所占总白内障病人数的病人比例，将白内障双眼病人在尽量短的时间内安排在星期一进行手术，而白内障单眼病人在已经满足了白内障双眼病人的情况后再考虑住院，因此将白内障双眼病人作为看病的第二优先级，白内障单眼病人作为第三优先级。3.当病人来到医院就诊时，判断病人所患得病的类型，从各种类型病人中，确定有哪些病人应该先入院，有三种情况：当病人来到医院就诊时，判断病人所患得病的类型，从各种类型病人中，确定有哪些病人应该先入院，有三种情况：一、 当判断为外伤病人时，第一天就可以会诊，第二天就可以安排手术。二、 当

9、白内障病人在星期五和星期天来医院眼科门诊时，根据之前的已知条件，在医院有空闲病床时，病人住院后等待两天就可以进行手术。在会诊结束后的其他时间来医院入住，会使病人得不到合理的安排。尤其是双眼都患有白内障的人，他们只能在星期一做手术。假如有一人双眼都患有白内障在星期六住院，经过两天的准备及观察，已经到了下个星期的周二，这样，就不能进行手术，要等到之后的星期一。这样，不仅病人要花费更多的钱，同时，医院也服务不到更多的人。三、 根据已知条件，将青光眼病人和视网膜病人划为一类，青光眼病人和视网膜病人入院三天就可以手术，若他们在星期一、星期二、星期三、星期五、星期天这五天之中的任意一天来就诊，三天后就刚好

10、可以安排手术；若他们在星期四和星期六来就诊，同样，他们要术前准备三天，这样就与其他类型的病人的手术冲突。例如,青光眼病人或视网膜疾病病人在星期四来就诊，经过三天的等待，本来是可以手术的，但在星期一与其他类型的病人的手术冲突，只能是推迟到星期二，他们若在星期六来就诊，又与星期三的其他类型病人的手术相冲突，这也是医院的原始问题。可见，在有空闲病床的情况下，青光眼病人和视网膜病人在星期一、星期二、星期三、星期五、星期天这五天之中的任意一天来就诊，都可以很快的安排手术，为病人节省住院时间，也节省了住院费用，不仅如此，还使得医院的病床利用率提高了。因此，我们需要建立出对医院制度合适并且合理的数学模型。模

11、型的假设（一）、模型假设假设一：白内障类型病人的术前准备时间为2天。假设二：青光眼和视网膜疾病类型病人的术前准备时间为3天。（二）、符号说明t1：模型一的平均逗留时间。t2：模型二的平均逗留时间。t3：模型三的平均逗留时间。：所有病人的平均住院天数。：所有病人的平均等待入院天数。：所有病人的平均术后观察天数。模型的建立、求解、分析与评价依据给出的五个问题，需要建立三个模型模型一（一）、模型建立：通过对问题的分析，要提高医院资源的利用率，就得缩短病人的平均逗留时间，而平均逗留时间又由病人的排队入院时间和在医院（住院未手术时间和手术时间）的时间决定。即：=+对上述表达式，对同一种病人，手术时间一般

12、是波动不大的。因此，要缩短平均逗留时间，只有缩短病人的排队入院时间和住院未手术时间。要缩短这两种时间，即解决如何安排病人入院的问题。若来门诊的是外伤病人，医院有空位就立即入住，若是白内障和白内障（双眼），对白内障病人来说，考虑他们入院后准备2天后是不是星期一或星期三，若是，则考虑入住，若不是，则让其继续等待，第二天在同样的条件判断，一直重复下去，直到该病人入住为止。对白内障（双眼）病人来说，由于他们只在星期一做手术，所以应先考虑他们入院后准备2天后是不是星期一，后面的判断入住情况与白内障病人一样。因为白内障（双眼）占60，再加上他们只能在星期一做手术，而白内障可在星期一或星期三做手术，所以星期

13、一尽量考虑白内障（双眼）。对于青光眼和视网膜疾病的病人考虑入住的情况跟白内障和白内障（双眼）一样，只是他们不能在星期一和星期三手术，且手术前准备需要3天。对于每一种类型的病人哪一天是否合适入院，我们可以建立一个表格来描述：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日外伤1111111青光眼1110101视网膜1110101白单0000101白双0000100其中1表示适合当天入院，0表示不适合。（二）、模型求解：令表示每个病人出院的时间，表示每个病人入院的时间, 表示每个病人入诊的时间，表示每个病人手术的时间，则：则所有病人平均住院时间：=；所有病人平均等待入院时间：=；所有病人平均术后观察时间

14、： =；根据医院给出的2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况，可以根据上面的公式统计出：白内障白内障双眼青视疾病外伤平均等待时间13.5913.5113.469.47平均术前时间3.344.63.341平均术后时间2.94.969.597.07利用上面表的数据可以画出下图：利用matlab可以设计一个程序（程序见附录一）来确定病人的入院时间，从而算出病人的平均逗留时间。(三)、模型结果分析：根据医院的入诊情况统计，如果按照fcfs（first come, first serve）规则安排住院，则所有病人的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）：t=19.713天，如果

15、按照模型的算法，运行程序可以求出病人的平均逗留时间t1=平均等待时间+平均住院时间=6.951+7.75=14.701天。从上图比较可以看出，按照模型的算法极大地缩短了病人的平均逗留时间，同时也提高对医院资源的有效利用。（四）、模型评价：1.模型一比较充分地利用了医院有效资源。2.模型一的平均逗留时间非常短，要远优于fcfs规则。模型二（一）、模型建立：若住院部周六、周日不安排手术，则相应的修改下适合入院表，得到一个新的表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日外伤1111001青光眼1000101视网膜1000101白单0000101白双0000100其中1表示适合入院，0表示不适合入院

16、。模型二的思想与模型一基本一致，只是适当地修改一点条件。对模型一算法设计出来的程序做适当的修改，得出模型二的程序（程序见附录二）。（二）、模型的结果与分析：运行程序可以求出，病人的平均逗留时间t2=平均等待时间+平均住院时间=7.3431+7.75=15.093天。与模型一的结果14.701天相比，模型二的安排差了一点，但还是比fcfs规则好的多。（三）、模型评价：1.模型二比较有利于医院的工作人员，使得他们有双休日休息。2.模型二的平均逗留时间比fcfs规则要少，优于fcfs规则。3.模型二没有充分的利用医院有效资源。模型三（一）、模型建立问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，

17、医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。既然要从便于管理的角度做这个模型，就有必要将病人的类型分为四类；第一类：外伤疾病第二类：青光眼和视网膜疾病第三类：单眼患有白内障第四类：双眼患有白内障我们认定共有3个评价指标来评价病床分配比例的优劣。 入住适合度 平均每种病占用病床时间的长短 平均就诊人数比例其中这三个评价指标越高，越能说明病床分配的合理。1) 通过下表，可以确定出七天中四类病人的入住适合度：外伤病人一周7天都可以住院手术，比例为100。青光眼或视网膜疾病一周有5天合适住院

18、，比例为：71.4。白内障单眼病人一周有2天合适住院，比例为：28.6。白内障双眼一周只有1天合适住院，比例为：14.3星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日外伤1111111青或视1110101白单0000101白双00001002) 可通过公式=（其中，i(i=1,2,54)表示从2008.7.132008.9.4共54天，j =1,2,3,4分别表示四类病（1:外伤。2:青、视疾病。3:白内障。4:白内障（双眼）。表示第i天第j类病出院的时间。表示第i天第j类病入院的时间。表示第i天第j类病人的入院数。从而可求出各种类型的病床的使用频率=(j=1,2,3,4)以及通过他们的频率可求得

19、他们的权重=（j=1,2,3,4），如下表：外伤青、视疾病白内障白内障（双眼）（人/天）8.0612.936.249.560.1240.0770.1610.1040.2660.1650.3450.2243) 通过原始数据可求出来就诊的各类病人的比例，如下表：外伤青、视疾病白内障白内障（双眼）总就诊人数（人）349各种病人数（人）551407282比例16402123最后，通过以上求出的个数据可确定病床如何分配,见下表：外伤青、视疾病白内障白内障（双眼）入住适合度10.7140.2860.143平均住院频率比例0.2660.1650.3450.224平均门诊人数比例0.160.40.210.23

20、指标权重总和1.4261.2790.8410.579指标权重总比例0.3440.3090.2030.144分配的病床数27251613通过计算可以得出应分配给外伤病人27张床，分给青光眼和视网膜疾病的病人25张床，分给单眼患有白内障的病人16张床，分给双眼都患有白内障的病人13张床。（二）、模型的结果与分析运行程序可以求出，病人的平均逗留时间t3=平均等待时间+平均住院时间=7.3333+7.75=15.083天。模型三得出的结果和模型二几乎一样，但考虑到模型三有利于管理，所以总体上来说模型三要优于模型二。但与模型一相比，还是差了不少。（三）、模型评价：1模型三非常方便医院管理。2模型三的平均

21、逗留时间和模型二差不多，要优于fcfs规则。3仍然没有充分的利用医院有效资源。参考文献1王建卫等，matlab7.x程序设计.北京：中国水利水电出版社，20072林亮等，统计实验.北京：国防工业出版社，2006附录附录一模型一的matlab程序：设8月30号到9月11号医院入诊病人编号a102。每个病人的病型：1为白内障单眼，2为白内障双眼，3为青光眼或视网膜，4为外伤；每一个病人是星期几入诊的：t=6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

22、4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4;a=2,3,3,3,3,2,1,3,2,3,3,3,3,1,3,3,3,2,2,2,3,1,3,3,1,1,2,1,3,3,3,2,1,3,1,3,3,2,1,3,3,3,3,3,2,2,3,3,3,3,2,2,2,3,2,3,2,1,2,2,2,3,3,2,3,2,3,1,3,3,1,2,1,3,1,3,3,3,1,1,3,1,2,1,1,2,1,3,2,3,3,3,2,2,3,2,

23、4,2,3,1,3,3;b=14,2,6,2,5,9,13,17,10,4,5,13,7; %初始化每天的出院人数b102for i=14:102b(i)=0;endfor i=1:102 %总共有102个病人入诊for j=1:100 %入诊后的第j天 if a(i)=4&b(j)0 k(i)=j; %k(i)表示第i个病人的等待入院时间b(j)=b(j)-1; b(j+8)=b(j+8)+1; break; elseif mod(t(i)+j),7)=5 & b(j)0 & a(i)=2k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+10)=b(j+10)+1;reak;elseif (mo

24、d(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=7) & b(j)0 & a(i)=1k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+6)=b(j+6)+1;break;elseif (mod(t(i)+j),7)=4 | mod(t(i)+j),7)=6) & b(j)0 & a(i)=3k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+13)=b(j+13)+1;break;elsecontinue;endendendn=0;for i=1:102n=n+k(i);endt=n/102; %t为所有病人的平均等待时间8月30号到9月11号之间每个入诊病人的入院等待时间：k = c

25、olumns 1 through 11 6 1 1 1 1 6 5 1 5 1 1 columns 12 through 22 1 1 5 1 1 1 4 4 11 1 11 columns 23 through 33 1 2 3 3 3 3 2 3 3 9 9 columns 34 through 44 5 9 5 6 8 8 6 6 6 6 6 columns 45 through 55 8 8 6 7 7 7 7 7 7 7 7 columns 56 through 66 7 7 7 7 7 13 8 8 13 8 12 columns 67 through 77 8 11 8 8 11

26、 11 11 8 11 8 8 columns 78 through 88 8 10 10 8 9 9 9 9 9 9 8 columns 89 through 99 9 8 8 8 8 15 10 15 10 15 10 columns 100 through 102 15 10 10附录二模型二的matlab程序：设8月30号到9月11号医院入诊病人编号a102。每个病人的病型：1为白内障单眼，2为白内障双眼，3为青光眼或视网膜，4为外伤；每一个病人是星期几入诊的：t=6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3

27、,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4;a=2,3,3,3,3,2,1,3,2,3,3,3,3,1,3,3,3,2,2,2,3,1,3,3,1,1,2,1,3,3,3,2,1,3,1,3,3,2,1,3,3,3,3,3,2,2,3,3,3,3,2,2,2,3,2,3,2,1,2,2,2,3,3,2,3,2,3,1,3,3,1,2,1,3,1,3,3,3

28、,1,1,3,1,2,1,1,2,1,3,2,3,3,3,2,2,3,2,4,2,3,1,3,3;b=14,2,6,2,5,9,13,17,10,4,5,13,7; %初始化每天的出院人数b102for i=14:102b(i)=0;endfor i=1:102 %总共有102个病人入诊for j=1:100 %入诊后的第j天 if (mod(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=6)&a(i)=4 &b(j)0 k(i)=j; b(j)=b(j)-1; b(j+7)=b(j+7)+1; break; elseif mod(t(i)+j),7)=5 & b(j)0 & a

29、(i)=2k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+7)=b(j+7)+1;break;elseif (mod(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=7) & b(j)0 & a(i)=1k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+5)=b(j+5)+1;break;elseif (mod(t(i)+j),7)=1 | mod(t(i)+j),7)=5 | mod(t(i)+j),7)=7) & b(j)0 & a(i)=3k(i)=j;b(j)=b(j)-1;b(j+12)=b(j+12)+1;break;elsecontinue;endendendn=0;for

30、 i=1:102n=n+k(i);endt=n/102; %t为所有病人的平均等待时间k = columns 1 through 11 6 2 2 6 6 6 5 1 5 1 1 columns 12 through 22 1 1 5 4 4 7 11 11 11 7 11 columns 23 through 33 7 7 3 3 3 3 3 5 5 9 9 columns 34 through 44 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 columns 45 through 55 1 1 8 8 8 8 7 7 7 3 7 columns 56 through 66 7 7 7 7

31、7 6 6 6 6 8 12 columns 67 through 77 8 11 14 14 18 18 18 14 18 6 6 columns 78 through 88 10 10 10 9 9 9 9 16 16 16 12 columns 89 through 99 16 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 columns 100 through 102 8 8 8附录三模型三的matlab程序：8月30号到9月11号医院入诊病人编号a102；每个病人的病型：1为白内障单眼，2为白内障双眼，3为青光眼或视网膜，4为外伤；每一个病人是星期几入诊的：t=6,6,6,6,6,6,7,

32、7,7,7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4;a=2,3,3,3,3,2,1,3,2,3,3,3,3,1,3,3,3,2,2,2,3,1,3,3,1,1,2,1,3,3,3,2,1,3,1,3,3,2,1,3,3,3,3,3,2,2,3,3,3,3,2,2,2,3,2,3,2,1,2,2,2,3,3,2,3,2,3,1,3,3,1,2,1,3,1,3,3,3,1,1,3,1,2,1,1,2,1,3,2,3,3,3,2,2,3,2,4,2,3,1,3,3;b1=0,0,0,0,0,5,2,1,0,0,0,5,4;b2=12,1,0,0,0,0,3,10,6,0,0,0,0;b3=2,1,4,2,2,3,8,4,4