基本不等式及其应用ppt课件

1、高考复习根本不等式及其运用高考复习根本不等式及其运用 要点梳理要点梳理1.1.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 对于正数对于正数a,ba,b，我们把，我们把 称为称为a,ba,b的算术平均的算术平均 数，数， 称为称为a,ba,b的几何平均数的几何平均数. .2.2.根本不等式：根本不等式： 1 1根本不等式成立的条根本不等式成立的条件：件： . . 2 2等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当 时取等号时取等号. . 3 3结论：两个正数结论：两个正数a,ba,b的算术平的算术平均数均数 其其 几何平均数几何平均数. .2baab2baaba0,b0a0,b0a=ba=

2、b不小于不小于3.3.几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR). (1)a2+b22ab(a,bR).4.4.利用根本不等式求最值利用根本不等式求最值 设设x,yx,y都是正数都是正数. . 1 1假设积假设积xyxy是定值是定值P P，那么当，那么当 时，和时，和x+yx+y有有 最小值最小值 . . 2 2假设和假设和x+yx+y是定值是定值S S，那么当，那么当 时积时积xyxy有最有最 大值大值 . . 即即“一正、二定、三相等一正、二定、三相等, ,这三这三 个条件缺一不可个条件缺一不可. .R).,()2()3().,()2(2babaabbabaab同

3、号2 2x=yx=yP2x=yx=y241S根底自测根底自测1.1.知知ab0ab0，a,bRa,bR，那么以下式子中总能成，那么以下式子中总能成立的立的 是是 . . 解析解析 中不能保证中不能保证 为正，中为正，中 未必为负，显然错误未必为负，显然错误. . 2; 2; 2; 2baabbaabbaabbaabba、abba、ab 2.x+3y-2=02.x+3y-2=0，那么，那么3x+27y+13x+27y+1的最小值为的最小值为 . . 解析解析 x+3y-2=0,x+3y=2. x+3y-2=0,x+3y=2. 又又3x+27y+1=3x+33y+13x+27y+1=3x+33y+

4、1 当且仅当当且仅当3x=33y,3x=33y, 即即x=3y=1,x=1,y= x=3y=1,x=1,y= 时取等号时取等号. .7 7. 71321321332233 yxyx313.3.知知 的最小值为的最小值为 . . 解析解析 即即x=10 x=10，y=6y=6时，时，xyxy有最小值有最小值60.60.4.4.设设x,yx,y为正数，那么为正数，那么 的最小值的最小值为为 . . 解析解析 5+2 5+22=92=9当且仅当当且仅当y=2xy=2x时获得最小值时获得最小值9.9.xyyxyx则),0, 0( 1356060,2135.60,152,152351yxxyxyxyyx

5、当且仅当)41)(yxyx9 9)0, 0(45)41)(yxyxxyyxyx【例【例1 1】1 1知知a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,求证：求证： (2) (2)知知x,y,zx,y,z是互不相等的正数，且是互不相等的正数，且x+y+z=1,x+y+z=1, 求证：求证： 证明证明 1 1a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1, 所以原不等式成立所以原不等式成立. . 2 2xx、y y、z z是互不相等的正数，且是互不相等的正数，且x+y+z=1, x+y+z=1, . 411ba. 8) 11)(11)(11(zyx. 411. 422211babaabbaabb

6、baababa.2111xyxyxxxzz将三式相乘，得将三式相乘，得. 11, 11. 111，0.211.211yxxyxyxyxyyxzzzzzz同理又. 8) 11)(11)(11(zyx跟踪练习跟踪练习1 1 1 1知知x0,y0,z0.x0,y0,z0. 求证：求证： (2) (2)求证：求证：a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). 证明证明 1 1x0,y0,z0,x0,y0,z0, 当且仅当当且仅当x=y=zx=y=z时等号成立时等号成立 . 8)()(zzzzyxyyxxxy, 02

7、. 02, 02zzzzzzzxyyxyxyyxxyxxy. 88)()(zzzzzzzxyxyxyyxyyxxxy2 2a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+

8、a2b22a2bc,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),即即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bca2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).=abc(a+b+c).a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).【例【例2 2】 1 1知知x0,y0 x0,y0，且，且 求求x+y x+y 的最小值；的最小值； 2 2知知x

9、 ,x ,求函数求函数 的最的最 大值；大值； 3 3假设假设x,y(0,+)x,y(0,+)且且2x+8y-xy=02x+8y-xy=0，求，求x+yx+y的的最最 小值小值. . 1 1留意条件中留意条件中“1“1的代换，也可用三的代换，也可用三 角代换角代换. . 2 2由于由于4x-504x-50,y0, x0,y0, , 191yx3)45145(54124, 045,45)2(.16,12, 4, 191,9.16106109)91)(xxxxyxxyxyxyxyxxyyxxyyxyxyx取得最小值时又上式等号成立时当且仅当即即x=1x=1时，上式等号成立，时，上式等号成立，故当故

10、当x=1x=1时，时，y y获得最大值获得最大值1.1.(3)(3)由由2x+8y-xy=0,2x+8y-xy=0,得得2x+8y=xy, 2x+8y=xy, 又又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,2x+8y-xy=0,x=12,y=6,当当x=12,y=6x=12,y=6时，时，x+yx+y取最小值取最小值18.18.,45145, 132xx当且仅当, 182xy，yxyxxyyxxyyxxyyxxyyxyxyx时取等号即当且仅当2,4,1842210)4(2102810)28)(跟踪练习跟踪练习2 2 20212021徐州模拟解以下问题：徐州模拟解以下问题： 1 1知知a0,b0a

11、0,b0，且，且4a+b=14a+b=1，求，求abab的最大值；的最大值； 2 2知知x2,x2,求求 的最小值的最小值. . 解解1 1a0,b0,4a+b=1,a0,b0,4a+b=1, 1=4a+b2 1=4a+b2 当且仅当当且仅当4a=b= 4a=b= 即即 时，等号成立时，等号成立. . 24xx,44abab ,2121,81ba. 624.,4,242, 6224)2(2224224, 02, 2)2(.161.161,41的最小值为所以等号成立时即当且仅当的最大值为xxxxxxxxxxxxxababab【例【例3 3】 1 1知知x0,y0,lg x+lg y=1x0,y0

12、,lg x+lg y=1，求，求 的最小值的最小值. . 2 2设设x-1x-1，求函数，求函数 的最值的最值. . 由由lg x+lg y=1lg x+lg y=1可得可得xy=10 xy=10为定值为定值. . 可化为可化为 的方式再用根本不等式的方式再用根本不等式. . 1 1解解 方法一方法一 由知条件由知条件lg x+lg y=1,lg x+lg y=1, 可得可得xy=10.xy=10. 那么那么 当且仅当当且仅当2y=5x2y=5x，即，即x=2,y=5x=2,y=5时等号成立时等号成立. .yx521)2)(5(xxxy分析分析bxxaxf)(. 2)52(. 21025252

13、minyxxyxyxyyx方法二方法二 ., 1,141. 954514) 1(, 01, 1. 514) 1(14) 1(5) 1(11071)2)(5()2(.5, 2,22. 2)52(, 22252,10, 1lglg22min无最大值有最小值故即当且仅当时等号成立即当且仅当可得由，yxxxxxyxxxxxxxxxxxxxyyxxxyxxxyxxyyx跟踪练习跟踪练习3 3 函数函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图的图 象恒过点象恒过点A A，假设点，假设点A A在直线在直线mx+ny+1=0mx+ny+1=0上，其中上，其中 mn0

14、 mn0，那么，那么 的最小值为的最小值为 . . 解析解析 A A-2-2，-1-1在直线在直线mx+ny+1=0mx+ny+1=0上，上， -2m-n+1=0, -2m-n+1=0, 即即2m+n=1,mn0,m0,n0.2m+n=1,mn0,m0,n0.nm218 8. 821.21,41,4. 842424224221的最小值为故时等号成立即当且仅当nmnmnmmnnmmnnmmnnnmmnmnm【例【例4 4】1414分某养殖厂需定期购买饲料，知分某养殖厂需定期购买饲料，知 该厂每天需求饲料该厂每天需求饲料200200千克，每千克饲料的价钱千克，每千克饲料的价钱 为为1.81.8元，

15、饲料的保管与其他费用为平均每千克元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天每天0.030.03元，购买饲料每次支付运费元，购买饲料每次支付运费300300元元. . 1 1求该厂多少天购买一次饲料才干使平均每求该厂多少天购买一次饲料才干使平均每 天支付的总费用最少？天支付的总费用最少？ 2 2假设提供饲料的公司规定，当一次购买饲假设提供饲料的公司规定，当一次购买饲料料 不少于不少于5 5吨时其价钱可享用八五折优惠即为原吨时其价钱可享用八五折优惠即为原 价的价的85%85%. .问该厂能否可以思索利用此优惠条问该厂能否可以思索利用此优惠条 件？请阐明理由件？请阐明理由. .解题示范解题示范解解

16、1 1设该厂应隔设该厂应隔x(xN+)x(xN+)天购买一次饲天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为料，平均每天支付的总费用为y1.y1.饲料的保管与其他费用每天比前一天少饲料的保管与其他费用每天比前一天少2002000.03=6(0.03=6(元元),),xx天饲料的保管与其他费用共是天饲料的保管与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(元元). ). 2 2分分从而有从而有y1= (3x2-3x+300)+200y1= (3x2-3x+300)+2001.81.8= +3x+357417. = +3x+357417. 4 4分

17、分当且仅当当且仅当 =3x =3x，即，即x=10 x=10时，时，y1y1有最小值有最小值. .即每隔即每隔1010天购买一次饲料才干使平均每天支付天购买一次饲料才干使平均每天支付的总费用最少的总费用最少. . 6 6分分x1x300 x3002 2假设厂家利用此优惠条件，那么至少假设厂家利用此优惠条件，那么至少2525天购天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x x天天x25x25购买一次饲料，平均每天支付的总费用购买一次饲料，平均每天支付的总费用为为y2y2，那么，那么y2= (3x2-3x+300)+200y2= (3x2-3x+300)+20

18、01.81.80.850.85= +3x+303(x25). = +3x+303(x25). 1010分分y2=- +3,y2=- +3,当当x25x25时，时，y20y20，即函数，即函数y2y2在在25,+25,+上上是增函数，是增函数，当当x=25x=25时，时，y2y2获得最小值为获得最小值为390.390.而而390417.3900)(x0)，知羊皮手，知羊皮手 套的固定投入为套的固定投入为3 3万元，每消费万元，每消费1 1万双羊皮手套万双羊皮手套 仍需再投入仍需再投入1616万元万元. .年销售收入年销售收入= =年消费本钱年消费本钱 的的 1 5 0 % +1 5 0 % +

19、年 广 告 费 的年 广 告 费 的 5 0 %5 0 % . . 1 1试将羊皮手套的利润试将羊皮手套的利润L L万元表示为年广万元表示为年广 告费告费x(x(万元万元) )的函数；的函数； 2 2当年广告费投入为多少万元时，此公司的当年广告费投入为多少万元时，此公司的 年利润最大，最大利润为多少？年利润年利润最大，最大利润为多少？年利润= =年销年销 售收入售收入- -年广告费年广告费. .xS13解解 1 1由题意知，羊皮手套的年本钱为由题意知，羊皮手套的年本钱为16S+316S+3万元，万元，年销售收入为年销售收入为16S+316S+3150%+x50%150%+x50%，年利润年利润

20、L=L=16S+316S+3150%+x50%-150%+x50%-16S+316S+3-x-x，即即L= L= 16S+3-x16S+3-x，得，得 因此，当年广告费投入因此，当年广告费投入4 4万元时，此公司的年利润万元时，此公司的年利润最大，最大利润为最大，最大利润为21.521.5万元万元. .21, 5 .214,82. 5 .21822251)82(25121651)2().0(2165122有最大值时即当且仅当由，LxxxxxxxxxxLxxxxL思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望从近几年的高考试题看，根本不等式从近几年的高考试题看，根本不等式的运用不断是

21、高考命题的热点，在填的运用不断是高考命题的热点，在填空题、解答题中都有能够出现，一是空题、解答题中都有能够出现，一是运用根本不等式证明不等式；二是利运用根本不等式证明不等式；二是利用根本不等式求函数的最值或值用根本不等式求函数的最值或值域域. .今后高考命题仍会调查根本不今后高考命题仍会调查根本不等式的运用，且以调查求函数的最值等式的运用，且以调查求函数的最值为主要命题方向为主要命题方向. .根本不等式是不等根本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点式中的重要内容，也是历年高考重点调查的知识点之一，它的运用范围涉调查的知识点之一，它的运用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，及高中数学

22、的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判别、但是它在高考中却不外乎大小判别、求最值、求取值范围等求最值、求取值范围等. .2baab方法规律总结方法规律总结1.a2+b22ab1.a2+b22ab成立的条件是成立的条件是a,bRa,bR，而，而 成立，那么要求成立，那么要求a0a0且且b0.b0.运用时，要明运用时，要明确定理确定理 成立的前提条件成立的前提条件. .2.2.在运用重要不等式时，要特别留意在运用重要不等式时，要特别留意“拆、拼、拆、拼、 凑等技巧，使其满足重要不等式中凑等技巧，使其满足重要不等式中“正正 即条件中要求字母为正数、即条件中要求字母为正数、“定不定不等式

23、等式 的另一边必需为一定值、的另一边必需为一定值、“等等号获等等号获得得 的条件的条件的条件的条件. .3.3.留意掌握重要不等式的逆用，变化方式的特留意掌握重要不等式的逆用，变化方式的特点点. .4.4.不等式知识在数列、向量、解析几何、三角不等式知识在数列、向量、解析几何、三角函函 数都有所表达，主要有解证不等式，求数都有所表达，主要有解证不等式，求最最 值问题值问题. .abba2定时检测定时检测一、填空题一、填空题1.1.20212021山西阳泉期末函数山西阳泉期末函数y=log2x+logx(2x)y=log2x+logx(2x) x1x1的值域的值域是是 . . 解析解析 y=lo

24、g2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2),y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2), 假设假设x1x1，那么，那么log2x+logx22log2x+logx22， 假设假设0 x10 x1，那么，那么log2x+logx2-2log2x+logx2-2， 函数的值域为函数的值域为-,-1-,-13,+).3,+).-,-1-,-13,+)3,+)2.2.20212021大连一模知大连一模知0 x10 x1，那么，那么x(3-3x)x(3-3x)取取 得最大值时得最大值时x x的值为的值为 . . 解析解析 0 x1,x(3-3x)=3x(1-x) 0

25、x0,y0,x,a,b,yx0,y0,x,a,b,y 成等差数列，成等差数列，x,c,d,yx,c,d,y成等比数列，那么成等比数列，那么 的最小值是的最小值是 . . 解析解析 由由x x、a a、b b、y y成等差数列知成等差数列知a+b=x+y a+b=x+y 由由x x、c c、d d、y y成等比数列知成等比数列知cd=xy cd=xy 把代入把代入 得得 的最小值为的最小值为4.4.cdba2)( 4 4cdba2)( cdba2)( . 422)()(2222yxxyxyxyyxxyyxcdba4.4.20212021南通模拟设南通模拟设 那么函数那么函数 的 最 小 值 为的

26、 最 小 值 为 . . 解析解析),2, 0(xxxy2sin1sin223. 3”“33tan, 3tan21tan232tan21tan23, 0tan),2, 0(.tan21tan23cossin2cossinsin22sin1sin22222故最小值为成立时当且仅当，xxxxxxxxxxxxxxxxy5.5.20212021江苏南通一模某汽车运江苏南通一模某汽车运 输公司购买了一批奢华大客车，投输公司购买了一批奢华大客车，投 放市场客运放市场客运. .据市场分析，每辆客据市场分析，每辆客 车营运的总利润车营运的总利润y(y(单位：单位：1010万元万元) )与与 营运年数营运年数x

27、(xN+)x(xN+)为二次函数关系，为二次函数关系， 如图，那么每辆客车营运如图，那么每辆客车营运 年，其营运年平年，其营运年平均均 利润最大利润最大. . 解析解析 求得函数式为求得函数式为y=-(x-6)2+11, y=-(x-6)2+11, 那么营运那么营运的年的年 平均利润平均利润5 5. 5,25, 225212)25(1211)6(2xxxxxxxxy解得此时6.6.20212021徐州调研假设实数徐州调研假设实数a,ba,b满足满足ab-4a-ab-4a- b+1=0 (a1), b+1=0 (a1),那么那么a+1a+1(b+2)(b+2)的最小值为的最小值为 . . 解析解

28、析 ab-4a-b+1=0, ab-4a-b+1=0, a1,b0. ab=4a+b-1, a1,b0. ab=4a+b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 =6a+ 2+1 =6a+ 2+1 当且仅当当且仅当(a-1)2=1,(a-1)2=1,即即a=2a=2时成立时成立. . 最小值为最小值为27.27.2727.114aab114aa,27156621516) 1(6, 01.1516) 1(6116861123) 1(46aaaaaaaaaa原式7.7.20212021长春模拟在满足面积与周长的数值长

29、春模拟在满足面积与周长的数值 相等的一切直角三角形中，面积的最小值是相等的一切直角三角形中，面积的最小值是 . . 解析解析 设直角三角形的两直角边分别为设直角三角形的两直角边分别为a,ba,b，那，那么么 斜边为斜边为).223(4) 12(421,)22(4,2122,22,21,22222222abSababababababbabaabbababa又由题意得)223(48.8.20212021南京调研知南京调研知a0,b0a0,b0，a a、b b的等差的等差 中项是中项是 的最小值是的最小值是 . . 解析解析 由条件由条件a+b=1a+b=1，又，又a+b ,a+b , ab ( ab (当当a=b= a=b= 时取等号时取等号). ). 则有,1,1,21bbaa5 54121. 5411111abbabaab29 .9 . 2 0 2 1 2 0 2 1 常 州 模 拟 知 关 于常 州 模 拟 知 关 于 x x 的 不 等 式的 不 等 式 在在x(a,+)x(a,+)