总结拉格朗日中值定理的应用

1、总结拉格朗日中值定理的应用总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个 微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的 定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。 中值定理的主要作用在 于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等 项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之， 微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断 函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下 的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高

2、等数学的学习有着极大的意 义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面： 利用拉格朗日中值定理证明 （不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问 题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成x,变形后观察法 凑成f（x）,由此求出辅助函数f（x） .如例1.例i.设函数/q）在吐上连续，在内可 导，证明：存在使得2打/-/卜村一心（ 分析：结论变形为*即可凑成fa）l7 = o.将换成/ ,结论变形为况/-（丛-）/（工）=0, 即任?

3、/9）-/（到”w -，）/卜 0 从而可设辅助函数为工人，/1/1即 有户口）=尸（6）.本题得征证明：令/工正/）-/（助-0一，）/（工），则f g）在明村上连续，在内可导*且fq）ufl）. 由罗尔定理知,至少存在一点使得f（g = 2夕/一/卜小-/）/=0常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分作为k,即使常数部分分离出来并令其为 k,恒等变形使等式一端为a与f（a）构 成的代数式，另一端为b与. f（b）构成的代数式，将所证式中的端点值（a或b） 改为变量x移项即为辅助函数f（x）,再用中值

4、定理或待定系数法等方法确定 k, 一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考 虑用泰勒公式.如例3.例3.设/u）在6上连续，在（也占）内可导，。（ 试证存在一点 4（ . 6）,使等式八6）寸（。）=in红炉（c成立.分析：将结论变形为掾暗始（力,左边为常数,因此可令k=4立q则有/ (6)-kin*才(a) ino-ina-kina,令6=力，可得辅助函数fg）引#）-klnx.证法1：设 丝寸1）inx ,则可验证f ino -inag）在36上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理得证.证法2：将所求证等式的右端恒等变形为小）。）=）inblna 十函数则函数人4）.

5、双#）在闭区间a, 6上满足柯西中值定理的全部条件,所 以存在使得隼耳经半，即/u）?（。）巧气，）旧之.倒推法：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已 知的条件和结论.如例4例4. 设在s,b006）上连续，在（跖6）内可导且近口）=6./16 ）=证明:在（u,b）内至少存在一点& 使f（f）= 处） *分析：所要证的结论可变形为梦（幻/力=0 .即 证产0 也即疗（#）x.作辅助函数 f（工）=/与）在区间卬包上使用罗尔定理证明：令网工）=4（*），由题设刻产g）在5勾上 连续，在（。,6）内可导，又 f（a）=。yabbjlb ）=f（6 ）,由罗尔定理,存在 （凡6）

6、,使尸 f）=0.即,（，）=一乘积因子法：对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关 系的证明，直接构造函数往往比较困难.将所证结论的两端都乘以或除以一个 恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，产（a为常数）是常用的乘积凶 子.如例5.例5. 若/（工）在口，6上连续,在（.6）内可导，目寸（6 ）=0.证明：v a e 3 ）=a/u）是个恒治正的因子，所证明等式或不等式的两端都可以或除以这样的一个因子，等式或 不等式仍然成立，于是想到山是个理想的乘积因子证明：引入辅助函数广（4由题设知产（a）=f（6）=0/（“）在匕,用上连续.在（a,b）内可导. 满足罗尔定理条件故存在

7、右（。/）.使尸（q=0,bp 2-”o,即lim鼠#）一0）0 .由极限的 上*m-a性所知三方10.使得当x e（ a）时，g（.cjhd g（0）不是有界闭区间*b上的连续函数艮力） 的最大值. 同理.由sb）o ,使得当re u（ 6 ）时，有s（力）g（。,即g（b ）也不是唐（r ）在3 b上的最大值,但必在1-打上达到其最大值.故 必存在%使有 g（o）三g（）.又含（文）在到处可导.由fermat定理法（%=0 .即/ （不）=力 由 1? w （广（a） /（ 6 ）（或 tj e （尸（b ） /（a） 的任意性，命即得证.一拉格朗日中值定理证明（不）等式 在不等式的证明中

8、，关键是选取适当的辅助函数f （x）和区间（a, b）, 通过己的范围，根据导函数确定f （o和分式的范围，得证。如例题7。 例7.v in 二 u v v 1xv v1证明：由于为三=口珏而发.所以要证原不等式可变形为4 3j 2 所以，l v f9 = =“工w一和l l l 徨 h例8:bn试证不等式上亡其中n为日然数。（n+lf jnk ir1证明:令（uf（kl）,对h、）在ml|上应用拉氏中值定理*则在m j j in+1）内存在导使血+1卜fse即k1 k-k-皆-,因为k1. i iiink*,所以有-5一二考虑到函数工k在a上是单调递*ink gx/1 a1_工 a +1 4

9、1 h *h . 0 ft+1 , fl的.又因105+1,故有上惇式上.所以上一之与（n+1f 相 （n+1f ink n1例9:设 ova p vjl,求证： 2昼 10tvtan0 - tana v b -， ccnicosp证明：在区间口 ,p 上对函数使用中值定理，可知存 在& （a=3使得tail r-tantx= 口 - a）ctanx）二 :*由于在0,工卜）上心是严格递减的函数，从而rh oca o所以足tana v 巨 普一 o cftsocosp二利用拉格朗日中值定理求极限求极限的方法有很多，常见的有利用洛必达法则，利用重要极限等，而对于一些极限也可用拉格朗日中值定理或者

10、只能用这种方法来求解，如例10,11.例10：求翩岫机血kb-inarm网分析：因为要求的极限为b.0型，所以我们可先用洛必达法则求 解,但是通过计算,发现利用这个方法很哥求解，仔细观察曲日后不睢 看出极限中的ina n: tan取 u - ina remix实际上为困数f电=lnar- ctant在区间风x+1止的两个端点的函数值的差.所以我们可先用拉 格朗日中值定理将极限的形式相匕然后再求解解工段函数f e = liiarctant.在r. 乂+l匕对f心运用拉格斯口 中值定理得inarctan 6c+d - inarctanx-, 基中4二片 x+l.arccang1 1+f用为xv小x

11、+l* 所以。 2 a 9 w aif % ) q七1 + x2l +e 1+ (x+1) 3又因为时旁也一+x , 耐细2受=啊?-；尸 *工 t 1 1 + x2 11 + 。分析e 所要求的极限为8 -8 型 类似上 码,我f门可先将分母 通分后.然后用洛必达法则求解通过计算不限发现要两次用到洛必达 法则，而且计算号:非常大.现在我们用另一种方法求解，所求极限为: 无函数f k 少 =,? ”在区n匕的两个端点的函数值的空.闪 此可利用拉洛助u中值定理光枸慑限m化解，令函数f / y = y v 在el, 口止对空里y运用拉格朗口 1 . n3r中值定理得ih5=tm- 】二/其中 专三

12、1- x i - x*xt)j毛所 以.原极硬 = &a % i 一左纪f1- x 1 - x( 1 - x士产 mn一g可以看到，虽燃这种方法中也用到洛必达法则，但先用拉格朗口 中值定理将极限转化为较简单的形式可使计算量小许我因此.对于类 似上面的两种类型的未定式的极限极限的表达式中出现拉格朗日 中值定理中的组立或b - f 的形式的时候.先用拉格朗口 中值定理将极限转化然后再求解,常可以达到阳其不意的效果,这就 要求我们平时做同时要善于观察题目的特征、总结解题方法同时，例 2也告诉我们对于多元函数我们也可以对其中的一个变量运用拉格朗n 中值定理.此时只需将其它的变星看作常数即可口三研究函数

13、在区间上的性质因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系， 很多时候。我们可以借助其 导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定 理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要 的方法。如例12:肺脑脆岫姗搠前脚（耐岫冲/谶证明:设当、时，|门中|应、i,对于国金皿卜在以期工为端点 的区间上由拉氏中值定理.有坐必lf悠喈在“土之间，那么有|烟|xr xi对于w 0.取除则当.且划i邙t就有|口力卜父）| *|他|肉在&之间）由一致连续定义可知然卦花岫讷致连续四估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二阶以上的导函数估值时。但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。例6设r凶在区用上连续，且tummu.试证：|口口|也宴ittn |wu|击石事证明：若fh）三仇不等式显然成立,若儆不恒等于0,小e|aj”t使max僮对=般卜农四