全国高考理科数学(全国一卷)试题及答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分150分。考试用时120分钟。、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 a x|x 1 , b x|3x 1,则2.3.a. ap|b x|x 0 b . ajbc.如图，正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图色部分关于正方形的中心成中心对称概率是a. 14b. - c设有下面四个命题pi :若复数z满足1 r ,zp3：若复数乙:2满足pz2a b x|x 1.正方形内切圆中的黑.在正方形内随机取一点，则此点取自d.4r;p2 :2-若复数z满足z r ,则z2 ；

2、p4 :若复数d. ap b色部分和白黑色部分的r.其中的真命题为4.5.ap1, p3记sn为等差数列a. 1函数f (x)在(a. 2,2b. pl, p4an的前n项和.若a4b. 2c. p2, p3d.p2, p4a5c.)单调递减，且为奇函数.b-1,124，s6f(1)c. 0,448,则an的公差为d. 81 ,则满足 1 f (xd. 1,32) 1的x的取值范围是6.1(1 )(1 x)6展开式中x2的系数为 xa. 15b. 20c.30d. 357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形 形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各

3、个面中有若干个是梯形, 面积之和为a. 10 b . 12 c . 14 d . 168.右面程序框图是为了求出满足3n2n1000的最/、偶数那么在vx和u两个空白框中，可以分别填入a. a1000和i000和n nc. a1000和i000和n n/输/i加/9.已知曲线ci： ycosx,c2sin(2x),则下面结论正确的是a.把ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,6得到曲线c2b.把ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,i2得到曲线c2c.把ci上各点的横坐标缩短到原来的i一倍，纵坐标不变,2再

4、把得到的曲线向右平移个单位长度,6得到曲线c2三个单位长度，得到曲线 i2d.把ci上各点的横坐标缩短到原来的i 一，一1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2c2i0.已知f为抛物线c: y2 4x的焦点,过f作两条互相垂直的直线li,l2 ,直线li与c交于a b两点，直线12与| ab+| de的最小值为a. i6b. i4c. i2d. i0ii .设xyz为正数，且2x3y 5z,则a. 2x 3y 5zb. 5z 2x 3y c . 3y 5z 2xd. 3y 2x 5z12 .几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题i,

5、 i, 2, i, 2, 4, i, 2, 4,获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列00 i0 i 28, i, 2, 4, 8, i6,，其中第一项是 2 ,接下来的两项是2 ,2 ,再接下来的三项是 2 ,2 ,2 ,依此类推。求满足如下条件的最小整数 n : n i00且该数列的前n项和为2的整数哥。那么该款软件的激活码是 本、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。a. 440b. 330c. 220d. ii013 .已知向量 a, b 的夹角为 60 , |a|=2, | b|=1，则 | a +2 b |= x 2y 114 .设x,y满足

6、约束条件 2x y 1,则z 3x 2 y的最小值为 x y 022x y15 .已知双曲线 c:-y 1（a 0,b 0）的右顶点为a,以a为圆心，b为半径做圆a,圆a与双曲线c的一条 a b渐近线交于 m n两点。若 man 60；,则c的离心率为 。16 .如图，圆形纸片的圆心为q半彳仝为5 cm,该纸片上的等边三角形 abc勺中心为 q dx e、f为圆o上的点， dbc eca fab分别是以bc ca ab为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 bc ca ab为折痕 折起 dbc aec/a afae5使得d e、f重合，得到三棱锥。当 abcw边长变化时，所得三棱锥体积（单位

7、： cm3）的最大值为。三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。2a17 . (12分) abc勺内角a, b, c的对边分别为a, b, c,已知 abc勺面积为 a一 3sin a(1)求 sin bsinc ;(2)若 6cos bcosc 1,a 3 ,求 abc勺周长.18 . (12 分)如图，在四棱锥p-abcm, ab/cd,且 bap cdp 90：.(1)证明：平面 pabl平面pad(2)若 pa=pd=ab=d(c apd 90；,

8、求二面角 a-pbc的余弦值.19. (12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布n( , 2).(1)假设生产状态正常，记x表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数，求p(x 1)及x的数学期望;(2) 一天内抽检零件中， 如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取

9、的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 16经计算得x 16 i 1xi9.97, s1 16116(xi x)2_( xi2 16x2)2 0.212,其中 x 为抽取的第 i 个16 i 1, 16 i 1零件的尺寸，i 1,2, ,16.用样本平均数x作为 的估计值？，用样本标准差s作为的估计值?,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？ 3?, ? 3?)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01 ) .附：若随机变量z服从正态分布n( ,

10、2),则p( 3 z)0.997 4 ,0.997 4160.959 2 , j0.008 0.09 .20. (12 分)已知椭圆c:24=1 (ab0),四点 r (1,1 b),p2 (0,1 ), r (- 1y ), p4 (1,当中恰有三点在椭圆c上.(1)求c的方程;(2)设直线l不经过f2点且与c相交于a, b两点。若直线f2a与直线p2b的斜率的和为-1,证明：l过定点.21. (12 分)已知函数 f (x) ae2x (a 2)ex x(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果

11、多做，则按所做的第一题计分。22. 选彳4-4:坐标系与参数方程(10分) x 3cos .x a 4t.在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为,( 0为参数)，直线l的参数方程为t为参数)y sin ,y 1 t,(1)若a=-1,求c与l的交点坐标；(2)若c上的点到l的距离的最大值为，求a.23.选彳4-5：不等式选讲(10分)2已知函数 f(x) x ax 4, g(x) | x 1| | x 1|(1)当a 1时，求不等式f (x) g (x)的解集；(2)若不等式f (x) g (x)的解集包含-1, 1,求a的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案、选

12、择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1a , 2b, 3b, 4c, 5d, 6c, 7b,.、填空题：本题共 4小题，每小题13 . 2乖14. -515.8d, 9d, 10a,5分，共20分。11d,12a.2.3316. 4v?5cm3三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。2a17. (12分)abc勺内角 a b, c的对边分别为 a, b, c,已知 abc勺面积为 3sin a(

13、1)求 sin bsin c；(2)若 6cosbcosc=1, a=3,求 abc勺周长.1斛：（1）由题设得 一acsin b23sin aa3sin a由正弦定理得 1sin c sin b sin a ,故 sin bsin c o23sin a31 一(2)由题设及(1)得 cosbcosc sin bsinc ,即 cos(b c)2. 1所以b c ，故a .由题设得一bcsin a3322，即 bc 83sin a由余弦定理得b22c bc 9,即(b c)2 3bc故abc的周长为3底18. （12 分）解：（1）由已知 bap cdp 90：,得 ab ap ,由于ab/c

14、d，故ab pd ,从而ab 平面pad又ab 平面pab ,所以平面pab 平面pad（2）在平面pad内作pf ad ,垂足为f .由（1）可知，abcd pd平面pad ,故 ab pf ,可得pf平面abcd.以f为坐标原点,fa的方向为x轴正方向,|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系f xyz .由（1）及已知可得 a（-22,0,0）, p（0,0,-j2）,b（-2,i,0）,c（弓，1,0）.所以pc ( ,1, ”(屹。,0),(0,1,0)（x,y, z）是平面pcb的法向量，则 0,即 /x y z 0,可取 ncb 0 y 0(0, 1,、2)（x, y,z）是平面

15、pab的法向量，则0, 02可取m(1,0,1)则cosn, mn m|n|m|.所以二面角3a pb c的余弦值为19. (12 分)解：（1）抽取的一个零件的尺寸在（3 ,3 ）之内的概率为0.9974 ,从而零件的尺寸在（3 ）之外的概率为0.0026 ,故 x b(16,0.0026),因此_16p(x 1) 1 p(x 0) 1 0.99740.0408x的数学期望为ex 16 0.0026 0.0416（2） （i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（3 ,3 ）之外的概率只有0.0026 , 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（3 ,3 ）之外的零件的概率只有0.0408,发生的

16、概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。（ii ）由x 9.97, s 0.212,得 的估计值为？ 9.97,的估计值为？ 0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（？ 3?, ? 3?）之外，因此需对当天的生产过程进行检查。剔除（？ 3 ?, ? 3?）之外的数据9.22 ,剩下数据的平均数为1 （16 9.97 9.22） 10.02，因此的估计值为 10.02.1516xi2 16 0.2122 16 9.97 2 1591.134i 1剔除（？ 3 ?, ? 3

17、?）之外的数据9.22 ,剩下数据的样本方差为122（1591.134 9.2215 10.02 ） 0.008 .15因此的估计值为，0.008 0.09.20. (12 分)解:(1)由于p3,p两点关于y轴对称，故由题设知 c经过p3,r两点.1b2c不经过点pi,所以点p2在c上1 因此b1 a1,34b22解得a1 b22故c的方程为上 y2 1.4(2)设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1,k2，一 ,，一，一，.八一 _ 一 .4 t24 t2如果l与x轴垂直，设l : x t,由题设知t 0,且|t| 2,可彳#a,b的坐标分别为(t,-一-),(t, -)224 t2 2

18、4 t2 22t2t1 ,得t 2 ,不符合题设.从而可设l :ykx m(m 1),将 y2kx m代入土 y2 1得4由题设可知(4k21)x28kmx4m2 4 0.16(4 k21)设 a(x1, y1), b(x2, y2),则 x1x28km4k2 1,x1x224m 44k2 1k1k2y11y2xx2kx1m 1 kx2由题设kk21 ,故(2 k 1)x1 x2x1x22kxix2 (m 1)(x1 x2)xx2(m 1)(x1x2)0,8 km(m船访0.解得k当且仅当m 1时,0,于l过定点(2, 1)21. (12 分)解：(1) f(x)的定义域为(,),f (x)

19、2ae2x (a 2)ex 1 (aex 1)(2ex 1)若a 0,则f(x) 0,所以f(x)在(，)单调递减(ii )若 a 0 ,则由 f (x) 0 的 x in a .当x (, ina)时，f (x) 0;当 x ( ina,)时，f (x) 0所以f(x)在(，ina)单调递减，在(in a,)单调递增。(2)(i)若a 0,由(1)知，f(x)至多有一个零点1(ii )若a 0,由(1)知，当x lna时，f(x)取得最小值，最小值为f( lna) 1 - ln aa当a 1时，由于f( lna) 0,故f(x)只有一个零点；1.当a (1,)时，由于1 lna 0,即( lna) 0,故f(x)没有零点； a1 当 a (0,1)时，1 lna 0,即( lna) 0 又 a又 f ( 2) ae 4 (a 2)e 2 2 2e 2 2 0 ,故 f(x)在(，lna)有一个零点。3设正整