抛物线的对称与对称变换

1、探究抛物线的对称 南昌市育新学校 骆文娟大家都知道抛物线是轴对称图形，其对称轴是抛物线的增减性的分界线，即当（）时，左侧随的增大而减小（增大），右侧随的增大而增大（减小），特别应注意的是抛物线与轴的两个交点是关于抛物线的对称轴对称；若将抛物线以轴、或轴、或原点进行对称变换那更是妙趣横生，给我们解决有关的抛物线问题带来明朗思路和简捷的方法.下面笔者将例举说明，供大家学习时参考.一、当抛物线与轴的两交点为a（m，0）、b（n，0），对称轴为=时，由对称性可得m-h=h-n（mn）或n-h=h-m（nm），即.例1（a）（2007年江西）已知二次函数的部分图象如图1所示，则关于的一元二次方程的解为

2、解析：图中只画出抛物线的一部分，但抛物线的对称轴直线=1已给出，故我们可以根据抛物线的对称性得到点（3，0）关于直线=1对称的点的坐标为（-1，0），所以此题应填，.点评：本题在理解二次函数的图象与轴的两交点的横坐标就是方程两根的前提下，已知一交点的坐标时，应充分利用抛物线的对称性找出另一个交点的坐标.（b）（2008年福建省厦门）已知：抛物线经过点（1）求的值；（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考）解析：（1）由于点p在抛物线上，将点p的坐标代入解析式便可得：，（2）略，（3）当b3

3、时，抛物线对称轴， 对称轴在点p的左侧（如图2所示），p点的坐标为（-1，-2b） pa=1，又bp=2pa，pb=2. 则b点的横坐标为-3，即b（-3，2b），因为抛物线是轴对称图形， 此时抛物线的对称轴为，b=5，又b+c=-2， c=-7，这条抛物线对应的二次函数关系式是点评：本题是（a）的拓展，p、b两点仍关于抛物线的对称轴对称，对于这一点能否理解，是解决本题的关键所在.变式1：已知抛物线y=a(x-2)2+c的图象如图3所示，该抛物线与x轴交于a、b两点，b点的坐标为（，0）,试求方程a(x-2)2+c=0的两根.（答案：方程两根为x1=, x2=4-）二、两条抛物线关于轴或轴对称

4、，则两抛物线对应两点的坐标为（a，b）与（-a，b）或（a，b）与（a，-b）.例2（2008年烟台有改动）如图4，抛物线e：交x轴于a，b两点，交y轴于m点，抛物线e关于y轴对称的抛物线f交x轴于c、d两点.（1）求抛物线f对应的函数表达式；（2）抛物线e或f在x轴上方的部分是否存在点n，使以a，c，m，n为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点n的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点p是抛物线e上的一个动点（p不与点a，b重合），那么点p关于原点的对称点q是否在抛物线f上，请说明理由解析：（1）因为e、f两条抛物线关于轴对称，所以当解析式中的横坐标互为相反数时，纵坐标不变，即，所以抛物线

5、f的解析式为.（2）当四边形acnm是平行四边形时，mnac，mn=ac，而m（0，3），ac=2，则抛物线e的轴上方有点n（-2，3）满足条件，由于e、f两条抛物线关于轴对称，此时n（2，3）点也满足条件，故存在满足条件的点n的坐标为（-2，3）或（2，3）.（3）设是e上任意一点，则点关于原点的对称点，且，将点的横坐标代入f，得，点不在抛物线f上变式2：如图5，抛物线e：yx24x3交x轴于a、b两点，交y轴于m点，抛物线e关于y轴对称的抛物线f交x轴于c、d两点.（1）求抛物线f的解析式； （2）若将抛物线f进行关于x轴对称的图形变换得到抛物线g，求抛物线g的顶点坐标；（3）若点p是抛物

6、线e上的一个动点（p不与点a，b重合），那么点p关于原点的对称点q是否在抛物线g上，请说明理由答案,（1）.抛物线，（2）（2，1）,（3）点q在抛物线g上，因为抛物线e与抛物线g关于原点对称.点评：当两抛物线图象关于轴对称时，两图象上各对应点也关于轴对称，把原题中的（，）用（-，）代入，即可得结论.三、两条抛物线关于原点对称，则两条抛物线上对应两点的坐标为（a，b）与（-a，-b）例3（2008年江西有改动）已知：如图6所示的两条抛物线的解析式分别是，（其中为常数，且）（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由.解析：第（1）问可从两抛物线的形状、开口方向、对称轴、与坐标轴的交点和两抛物线关于原点成中心对称图形等方面来找结论;.在（2）中由于点m、n、e、f都在轴上，所以它们的纵坐标都为0，而抛物线、关于原点成中心对称，m与f，e与n是对称点，所以与，与互为相反数，即，或.点评：要寻找出题中抛物线不类型的正确结论，一是要从两抛物线各自的特点进行分析;二是要关注两抛物线之间的相互位置关系.变式3：已知抛物线的顶点为p，且与轴交于a、b两点，现将这条抛物线绕原点旋转180，得到抛物线且与轴交于