公因数与公倍数基本概念及应用汇总

1、公因数与公倍数基本概念及应用汇总1、公因数：几个数共有的因数，叫这几个数的公因数。最大公因数：公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数。2、公倍数：几个数共有的倍数，叫这几个数的公倍数。最小公倍数：公倍数中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。3、三种关系的数如何求最小公倍数与最大公因数：当两个数是互质数时，它们的最大公因数是 1,最小公倍是它 们的积；当两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数， 较大的数是这两个数的最小公倍数；当两个数是一般关系时，用短除法求这两个数的最大公因数与 最小公倍数。由此可知，最大公因数是公有质因数连乘的积，最小公倍数是公 有和独有因数连成的积。可见，最小公

2、倍数是最大公因数的倍数，最 大公因数是最小公倍数的因数。掌握这一点是解决此类问题的关键。4、最大公因数与最小公倍数实际应用例题。例1、a=2 x3 x5 x7,贝u a因数有（）个。分析：一个合数分解质因数后，其因数是一个或几个质因数连成 的积。因此，数a的因数为;一个质因数构成的，2、3、5、7;两个 质因数构成的6、10、14、15、21、35;三个质因数构成的 30、 42、105、70;四个质因数构成的210;除此之外还有1.共16个。例2、a=2 x2x3 b=2 x3x5则a、b的最大公因数与最小公倍 数分别是()()分析：因为“最大公因数是公有质因数连乘的积”，所以a、b的最大公

3、因数为2x3=6; “最小公倍数是公有和独有因数 连成的积” a、b的最小公倍数为2x3x2x5=60练习已知甲、乙两数的最大公因数是 6,最小公倍数是36, 求甲、乙两数。分析：“最小公倍数是公有和独有因数连成的积，因此最小公倍 数是最大公因数的倍数，”解析36y=6 6即为独有因数的积，6=1 x6或6=2 x3因此甲乙两个数分别为(1 x6=6 6 x6=36 )或(2x6=12 3 x6=18 )两个数最大公因数是12,最小公倍数是180,且大数不是小 数的倍数，求这两个数。解析：180 +12=15 15=3 x5(3x12=36 5 x12=60 )例3、两个数的最大公因数是42,

4、最小公倍数是2940 ,且两个 数的和是714 ,这两个数各是多少？解析：2940刃2=70 ( 70为独有因数连成的积)。“两个数 的和是714”，则两数和是最大公因数的倍数，它是最大公因数与独 有因数和的积，因此714+42=17 , 17是独有因数的和。因此70只 能分解成 10 和 7 的积，70=7 x10 (7x42=294 10 x42=420 )练习已知两个自然数的和为 72,它们的最大公因数是12,求 这两个数。解析：72 +12=6 6=1 +5 （1 x12=12 5 x12=60 ）例4、把长20厘米，宽42厘米的长方形铁片剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁片，并且

5、没有剩余，至少可剪多少块？分析：因为要剪成“面积相等的正方形铁片，并且没有剩余”， 因此，正方的边长既是20的因数，也是42的因数，并且是最大的 公因数；42和20的最大公因数是2,故正方形边长为2厘米。剪得块数即为：（20+2） x （42+2） =210 （块）求54、36、72的最大公因数。练习把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的 正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？提示：求120、18的最大公因数。例5、用长5厘米，宽3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中 间没有空隙），至少要有多少块这种长方形铁片？分析：用这样的长方形摆成正方形，则正方形的边长既是5的倍 数，也是3的

6、倍数。因是至少需几块，所以应该是 5和3的最小公 倍数。5和3的最小公倍数是15。所以需块数为：（15+5） x （15+3） =15 （块）练习排练团体操时，要求队伍变成 10行、15行、18行、24 行时，队形都能成为长方形，最少需要多少人参加团体操的排练？提示：求 10 , 15 , 18,24 的最小公倍数，10 ,15,18, 24=3601例6、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩 2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？分析：小朋友数即为36、54、72的最大公因数。例7现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等， 那么 最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？分析：班数即为42、112、70的最大公因数。每种水果数除以班数即为分得的水果。练习有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米, 要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？例8、练习、有一个自然数，被6除余1 ,被5除余1 ,被4除