新课程背景下对几何教学的案例研究

1、新课程背景下对几何教学的案例研究 勾股定理是初中几何教学中的重要内容.因为作为反映自然界基本规律的一条结论，它在现实世界中也有着广泛的应用. 同时，勾股定理在数学发展史中亦占有重要的地位，勾股定理的发现、验证和应用都蕴涵着丰富的文化价值. 在数学课程改革中，基于对数学课程标准基本理念的理解，我从多个方面、不同的角度将课改前后勾股定理的教学进行了对比与研究，以求从中明晰在今后的教学中亟待解决的问题，更加靠近课程改革的具体目标. 一、课程改革前对勾股定理的教学 （一）教学目标 1. 使学生掌握勾股定理. 2. 使学生能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长. （二）教学内

2、容 1. 关于勾股定理的数学史：周髀算经中出现的“勾广三，股修四，径隅五”. 2. 给出勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2 + b2 = c2. 3. 用拼图法推证勾股定理. 4. 勾股定理的应用：解决几何计算、作图及实际生产、生活的问题. 二、课程改革后对勾股定理的教学 （一）教学目标 1. 认知目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示.通过数格子及割补等办法探索勾股定理的形成过程，使学生体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程. 2. 能力目标：发展学生的合情推理能力，主动合作、探究的学习精神，感受数学思考过程的条理性，让学生经历“

3、观察猜想归纳验证”的数学思想，并感受数形结合和由特殊到一般的思想方法. 3. 情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感，使学生在经历定理探索的过程中，感受数学之美、探究之趣. （二）教学内容 1. 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理（或设计其他的探索情境）. 2. 由学生通过观察、归纳、猜想确认勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 3. 勾股世界：介绍勾股定理的悠久历史、重大意义及古代人民的聪明才智. 4. 探讨利用拼图法验证勾股定理. 5. 勾股定理的实际应

4、用. 三、两种课堂教学的对比 （一）教学理念和教学内容的不同 课改前传统的勾股定理的教学，重在掌握定理和应用定理.这种教学过分突出了勾股定理这一现成几何知识结论的传递和接受，忽略了定理的发现过程、发现方法，导致学生的学习过程被异化为被动接受和单纯的记忆定理、被动认知和机械训练变形及运算技能的过程.这种教学思想的弊病是“重结论而轻过程”，“厚知识运用而薄思想方法”. 课改后勾股定理的教学从以下几方面进行： 1. 创设探索性的问题情境学生归纳出直角三角形三边之间的一般规律. 2. 拼图验证定理用数形结合的方法支持定理的认识. 3. 构建数学模型学生体验由特例归纳猜想、由特例检验猜想. 4. 解决实

5、际问题熟练掌握定理，并形成运用定理的技能. 5. 勾股定理数学史激发学生的民族自豪感，点燃热爱数学的热情. 站在理论的角度，在这种设计中，使学生对知识的实际背景和对知识的直观感知以及学生对收集、整理、分析数学信息的能力等方面得以加强.这充分反映了以未来社会对公民所需的数学思想方法为主线选择和安排教学内容，并以与学生年龄特征相适应的大众化、生活化的方式呈现教学内容.不过，通过实际教学，要想真正的做到“以学生为本”，在短短的两课时内既要重点突出，又能不留死角地圆满完成以上五个层面的学习，也确属不易. （二）教师备课内容的不同 教改前对勾股定理的备课，在把握教材内容的同时，可在勾股定理的数学史和定理

6、应用两方面加以调整.例如，增强民族自豪感：中国古代的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差，以治理洪水；激发学习兴趣：勾股定理的证明方法已有400多种，给出这些证明方法的不但有数学家、物理学家，还不乏政界要人，像美国第20任总统加菲尔德、印度国王帕斯卡拉二世，都通过构造图形的方法给出了勾股定理的别致证法. 定理应用这一课时，教材从纯几何问题、生活问题、生产问题等几方面均有涉及，从提高学生兴趣方面可灵活补充一道11世纪阿拉伯数学家给出的一道趣味题：小溪边长着两棵树，隔岸相望.一棵树高30肘尺（古代长度单位），另一棵高20肘尺，两树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟，两只鸟同时看见

7、树间水面上游出的一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到到目标.问：这条鱼出现的地方离较高的树的树根有多远？ 在实际教学中根据学生的理解情况及实际水平，在训练的形式、数量上与教材也有所区分：增加了一个随堂检测，以巩固所学. 由于当时所教班级为数学班，学生整体接受能力较强，就设计了一个请学生自编有关勾股定理应用的题目，效果不错. 教改后的备课，除了在上述两方面有所选择之外，重点放在了探索情境的设置上：利用下面图中的任何一个或几个都可从3个正方形的面积关系中得出直角三角形三边关系，不同的班级可由学生不同的认知水平来设计认识层次. 为了保证教学重点，把利用拼图验证勾股定理的主要探讨放在专门的课题学习中进

8、行. （三）学生学习方式的不同 对于课改前勾股定理的学习，学生沿袭着“接受定理强化训练回味体会”的方式.这在一定程度上增强了学生对定理的熟悉程度，并在定理应用上感到运用自如.但这种熟练仅仅是一种强化训练后的暂时现象，知识的本身及其迁移只保持在较短的时间内，不会给学习者留下长久的甚至是终生的印象. 很明显，课改后勾股定理的学习是从实际问题到数学问题，再回到实际问题的处理过程，学生眼中的勾股定理来源于熟悉的背景正方形面积，又用于指导生产、生活.经常用数学的眼光来审视生活，从生活中发现数学，学生才会逐步具有“数学建模”的能力，才能逐步感悟生活的数学性.这不仅是社会发展的需要，同时也是促进学生自身发展

9、的需要.学生学习过程中对定理的探求、现代信息技术的发现及验证过程无时不表现着其学习的主动性，定理的归纳、结论的自我认同又包含着合作与自由发展的和谐共鸣.利用课堂教学、利用教材培养学生良好的学习方式，便塑造了其良好的思维方式，促进了学生和谐、自由、全面、充分的发展. （四）教学效果的不同（见下表） 四、两种教学对比研究的结论 （一）新课程前后的教学各有优势与不足（见下表） （二）新课程中几何教学需要注意的几个方面 1. 探究学习不是简单地布置学生去探究、去学习，教师要发挥主导作用，要让学生明确去探究什么，如何探究，要让学生的探究活动是有效的、有意义的.新教材中的很大一部分可采用勾股定理的探究方式

10、：向学生提供探索情境，提出能提供必需信息的问题学生采用多种方式寻求问题的答案，获取信息整理、归纳结论设法验证或解释. 2. 学生学习过程中的主动参与要在教师指导督促中形成，不能过高估计学生的意志、兴趣.例如，营造一种和谐、民主的课堂气氛来提高全体学生的参与兴趣；帮助学生制订分段式的小目标来增强其成就感，强化其参与意识. 3. 避免合作学习流于形式.（1）坚持“组间同质，组内异质”的分组方式，以保证人人有所发展.（2）教师要加强合作技能的指导，指导学生进行小组分工，要求明确各自在完成共同的任务中个人承担的责任.（3）及时协调组内成员间的关系，有效解决组内出现的不利问题.（4）正确评价组内成员的成

11、绩，寻求个人和小集体共同提高的途径. 4. 要注重教学活动目标的整体实现.新课程中注重对学生学习兴趣的培养、能力的提升，注重知识形成过程的教学，但对一些基本的训练有些淡化，导致整体教学目标不够均衡.为此，在勾股定理的教学中，不但要重过程、方法、能力，还要重视相关的计算和推理，并在计算和推理中学会数学思考，这样才能把“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”多方面教学目标有机结合，达到整体实现教学目标. 5. 不能忽视双基的教学，要注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握.基础知识不但是学生发展的基础性目标，还是落实数学思想、方法、能力目标的载体.数学知识的教学，要注重知识的“生长点

12、”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系. 6. 重视合情推理及演绎推理的教学和训练.推理教学要转变并贯穿于数学教学的始终.教学中，教师要设计适当的学习活动，引导学生通过观察、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜想某些结论，发展合情推理能力.对于几何的教学要加强演绎推理的教学训练，通过实例让学生认识到，结论的正确与否需要演绎推理的证明.当然，不同年级可提出不同的要求，但要慢慢加强，训练不断提高要求，最后形成较高的演绎推理能力. 7. 现代信息技术与传统的教学手段要强强联合.课改中，对现代信息技术的应用得到了足够的重视，但并不是说传统的教学手段就落伍了，它们互有所长，相互补充.对现代信息技术的运用要合理，如计算器要用在繁琐的计算上，不能让简单的计算也要用到，否则反而削弱了学生的计算能力，课改中学生的计算能力的下降与此有直接关系.对于计算机的应用，好钢要用在关键的地方，在几何及函数中的数、形的变化关系中，计算机有其他教学手段无法比拟的优势，对于一节课的相关概念及重要法则、公式、定理等还是要发挥板书的优势，一节课都体现在黑板中，学生抬