研究生入学统一考试数学二试题及解析汇总

1、201 1 年研究生入学统一考试数学二试题及解析精品资料2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当？skip record if.? 时，函数？skip record if.?与？skip re cordif.? 等价无穷小，则(a) ?skip record if.?(b) ?skip record if.?(c)?skiprecord if.?(d) ?skip record if.?【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法

2、则或泰勒公式完 成。【详解】法一:由题设知?skip record if.?skip record if.?skip record if.?从而？skip record if.?,故？skip record if.?。从而应选(c)。法二:？skip record if.?所以？skip record if.?。,从而应选(c)。2、已知？skip record if.?在？skip record if.?处可导，且？skip recordif.?,则？skip record if.?(a) ?skip record if.?( b) ?skip record if.?(c) ?skip re

3、cord if.?(d) ?skip record if.?【分析】本题考查导数的定义。通过适当变形，凑出 ？skip record if.?在?skip record if.?点导数定义形式求解。【详解】?skip record if.?skip record if.?故应选(b)。评注：已知抽象函数在一点可导，求含有该函数的某个极限，一般应利用导数 定义完成。3、函数？skip record if.?的驻点个数(a) 0(b) 1(c) 2(d) 3【分析】本题考查驻点的定义。先求出导函数，进而求出导函数的零点即可。【详解】：？skip record if.?令？skip record i

4、f.?,只需求？skip record if.?,由于？skip record if.?,所以有两解。故应选(c)。4、微分方程？skip record if.? 的特解形式为(a) ?skip record if.?(b) ?skip record if.?(c) ?skip recordif.?(d) ?skip record if.?【分析】考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。首先将方程右端 分解，然后分别写出待定特解。【详解】特征方程为？skip record if.?,解得？skip record if.?所以？skip record if.?的特解为？skip record

5、 if.?、?skip recordif.? 的特解为？skip record if.?。由叠加原理知？skip record if.?的特解形式为？skip record if.?。5、设函数？skip record if.?, ?skip record if.?具有连续二阶连续导数，满足？skip record if.?, ?skip record if.?,且？skip recordif.?,则函数？skip record if.? 在点？skip record if.?处取得极小值的一个充分条件是(a) ?skiprecord if.?,?skiprecordif.?(b) ?skip

6、record if.?,?skiprecordif.?(c) ?skiprecord if.?,?skiprecordif.?(d) ?skiprecord if.?,?skiprecordif.?【分析】本题考查二元函数极值的充分条件.利用二阶连续可偏导二元函数 取极小值的充分条件求解.【详解】 由于？skip record if.?, ?skip record if.?,?skiprecord if.?；?skip record if.?,?skip record if.?。所以在点？skip record if.? 处，？skip record if.?、?skip recordif.?

7、 、?skip record if.?。要使？skip record if.? 在点？skip record if.?处取得极小值，则必有?skip record if.?,从而？skip record if.?, ?skip record if.?,所以?skip record if.?, ?skip record if.?.从而应选(a).6、设？skip record if.?, ?skip record if.?, ?skip record if.?,则？skip record if.?的大小关系是(a) ?skip record if.?(b) ?skip record if.?(c

8、)?skiprecord if.?(d) ?skip record if.?【分析】利用积分的性质直接比较被积函数在积分区间上的大小.【详解】 因为？skip record if.?, ?skip record if.? ，所以？skiprecord if.? 而反常积分？skip record if.?与？skip record if.? 都收敛,利用积分的保号性知：?skip record if.?故应选(b).评注：?skip record if.?与？skip record if.? 都是以？skip recordif.?为瑕点的反常积分，不难证明他们都是收敛的；对于收敛的反常积分，类

9、似于定积分的比较性质也成立.7、设？skip record if.?为三阶矩阵,将？skip record if.?的第二列加到第一列 得矩阵？skip record if.?,再交换？skip record if.?的第二行与第三行得单位矩 阵，记？skip record if.?, ?skip record if.?,贝u?skip record if.?(a) ?skip record if.?(b) ?skip record if.?(c) ?skip recordif.?(d) ?skip record if.?【分析】考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系和逆矩阵的基本知识.【详解】对?

10、skip record if.?阶矩阵做一次初等行(列)变换，相当于用一个相应的?skip record if.?阶(?skip record if.?阶)初等矩阵左(右)乘矩阵ao由题设？skip record if.?,而？skip record if.?,因此？skip record if.?,所以？skip record if.?。故应选(d)8、设？skip record if.?是 4 阶矩阵,?skip record if.?是?skip record if.?的伴 随矩阵，若？skip record if.?是方程组？skip record if.?的一个基础解系，则 ?ski

11、p record if.?的一个基础解系为(a) ?skip record if.?(b) ?skip record if.?(c) ?skip recordif.?(d) ?skip record if.?【分析】本题考查伴随矩阵和向量组相关性及方程组基础解系的有关知识.【详解】 显然？skip record if.?,所以?skip record if.?,从而?skip recordif.?的基础解系中含3个线性无关的解向量。因为？skip record if.?,所以？skip record if.?都是方程组？skip record if.?的 解，又因为?skip record i

12、f.?是方程组？skip record if.?的一个基础解系,所以 ?skip record if.?线性相关,因此?skip record if.侬性无关。故?skip record if.?是？skip record if.?的基础解系。评注：涉及伴随矩阵的问题，常常用到下列结论：？skip record if.?;?skip record if.?； (3) ?skip record if.?；?skip record if.?；?skip record if.?； (6) ?skip record if.?;若？skip record if.?可逆,则?skip record if.

13、?, ?skip record if.?, ?skip record if.?。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7精品资料二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置 上.9、？skip record if.?。【分析】考查？skip record if.?未定式.可以利用重要极限、罗必达法则及常 用求此类极限的方法求出。【详解】法一 :？skip record if.?法二：？skip record if.?其中？skip record if.?。因止匕？skip record if.?法三：？skip record if.?评注：求？skip re

14、cord if.? 常用方法：设？skip record if.?, ?skiprecord if.?,则?skip record if.?10、微分方程？skip record if.?满足条件？skip record if.? 的解为？skiprecord if.? o【分析】考查一阶线性微分方程求特解的方法，可利用公式直接计算。【详解】？skip record if.?因为？skip record if.?,所以？skip record if.?。故所求特解为?skiprecord if.?。11、曲线？skip record if.?skip record if.? 的弧长？skip

15、recordif.? 。【分析】直接利用直角坐标系下求弧长公式计算。12、若函数？skip record if.?, ?skip record if.?,贝u ?skip recordif.? 【分析】考查分段函数的反常积分。【详解】?skip record if.?skip record if.?。13、设平面区域？skip record if.?由直线？skip record if.? 圆？skiprecord if.?及？skip record if.?轴所组成，则二重积分？skip recordif.? 【分析】考查初等函数二重积分的计算。由于积分域是圆的一部分，故选择极坐标计算。【详

16、解】？skip record if.?skip record if.?14k 二次型？skip record if.?,则？skip record if.?的正惯性指数为【分析】考查二次型的有关知识。求正惯性指数，只要求出二次型矩阵的特征根，判断特征根的符号即可，或化为标准型来确定。【详解】法一：二次型矩阵为？skip record if.?,而?skip record if.?所以矩阵？skip record if.?特征值为？skip record if.?,因止匕?skiprecord if.?的正惯性指数为2。法二：二次型？skip record if.?通过配方法化为？skip re

17、cord if.?,从而正惯性指数为2.三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9精品资料已知函数？skip record if.?,设？skip record if.?, ?skip recordif.?,试求？skip record if.?的取值范围【分析】考查极限逆问题、未定式的极限、变上限函数求导。【详解】 因为？skip record if.? ，所以？skip record if.?;?skip record if.?skip record

18、if.?要使？skip record if.? 则必有？skip record if.?,所以?skiprecord if.?；因为？skip record if.?要使？skip record if.?,必有？skip record if.?,所以?skiprecord if.?。综上可得？skip record if.?。16、（本题满分11分）设函数？skip record if.? 由参数方程？skip record if.? 确定，求函 数？skip record if.? 的极值和曲线？skip record if.? 的凹、凸区间及拐 点。【分析】考查参数方程确定函数的求导方法、

19、极值和拐点的确定方法、凹凸 区间的判别法。先求出函数的一阶、二阶导数，然后求函数驻点和二阶导数等 于零的点，进而分区间判断各子区间上一阶、二阶导函数的符号，确定出函数 的极值点与拐点。【详解】？skip record if.?, ?skip record if.?if.?、令？skip record if.?,解得？skip record if.?, ?skip record仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11精品资料由于？skip record if.?,所以当？skip record if.? 时，即？skiprecord if.? 时，函数取极小值?skip record i

20、f.?;?skip record if.?,所以当？skip record if.? 时，即？skip recordif.? 时，函数取极大值?skip record if.?;令？skip record if.?,解得?skip record if.?,当？skip record if.? 时，？skip record if.?；当？skip recordif.? 时，?skip record if.?。又 当？skip record if.? 时，？skip record if.?，所以曲线？skiprecord if.? 的凹区间是？skip record if.?；当？skip rec

21、ord if.? 时,?skip record if.?,所以曲线？skip record if.? 的凸区间是?skiprecord if.?,且点？skip record if.? 是曲线？skip record if.? 的拐点。17、（本题满分9分）设?skip record if.?其中函数？skip record if.?具有二阶连续偏导数，函数 ?skip record if.?可导，且在？skip record if.?处取得极值?skip record if.?, 求？skip record if.?【分析】考查多元抽象复合函数求二阶偏导数。使用复合函数链式法则求出 二阶混合

22、偏导数。注意题设中的条件“函数？skip record if.?可导，且在？skip record if.?处取得极值?skip record if.?”，对于可导函数?skip record if.?而 言，这意味着？skip record if.?。【详解】?skip record if.?skip record if.?因为函数？skip record if.?可导,且在？skip record if.?处取得极值？skiprecord if.?,所以?skip record if.?, ?skip record if.?从而？skip record if.?。18、（本题满分10分）设

23、函数？skip record if.?具有二阶导数，且曲线？skip record if.?与直线？skip record if.?相切于原点，记？skip record if.? 为曲线？skiprecord if.?在点？skip record if.?处切线的倾斜角，若？skip recordif.?,求？skip record if.?的表达式。【分析】本题考查导数的几何意义、微分方程的建立及可降阶微分方程求解等知识点。首先利用题目中包含的信息列出？skip record if.?满足的微分方程，然后由题设条件“曲线？skip record if.?与直线？skip record if

24、.? 相切于原点”矢qskip record if.?,这是微分方程的初始条件。最后求满足初始条件的特解。【详解】 因为曲线？skip record if.? 与直线？skip record if.? 相切于 原点，所以?skip record if.?, ?skip record if.?因为？skip record if.?为曲线？skip record if.?在点？skip recordif.? 处切线的倾斜角，所以？skip record if.?, ?skip record if.?skip record if.?,所以？skip record if.?,即?skip record

25、 if.?法一：令？skip record if.?,则方程变为？skip record if.?,变量分离得?skip record if.?两边积分得？skip record if.?,因为?skip record if.?,所以?skiprecord if.?故？skip record if.?,即？skip record if.?,从而？skip recordif.?（由于？skip record if.?,所以负值舍去）即？skip record if.?,解得？skip record if.?,由于？skip recordif.?,所以？skip record if.?于是？ski

26、p record if.?。法二：令？skip record if.?, wj?skip record if.?,于是有？skiprecord if.?分离变量得？skip record if.?,解得?skip record if.?;因为？skip record if.?, ?skip record if.?,所以？skip recordif.?, ?skip record if.?,从而？skip record if.?, ?skip record if.?,即？skip record if.?分离变量得？skip record if.?,解得？skip record if.?, 所以?

27、skip record if.?因为？skip record if.?,解得？skip record if.?,于是?skiprecord if.?。19.（本题满分10分）（i ）证明：对任意正整数 ?skip record if.?,都有？skip record if.?（h ）设?skip record if.?,证明数列？skip record if.?收敛【分析】本题（i）考查不等式的证明，通过变形后直接利用拉格朗日中值定理证明。（n）利用单调有界数列必有极限的性质来证明。【详解】（i ）因为?skip record if.?令?skip record if.?在区间？skip re

28、cord if.?上使用拉格朗日中值定理可得?skip record if.?由于？skip record if.?,所以？skip record if.?,因止匕?skip record if.?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢15精品资料（h）由（i ）可得？skip record if.?,所以数列单调减少又因为？skip record if.?,所以?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?所以？skip record if.?,所以？skip record if.?,即?skip rec

29、ord if.?有下界。由单调有界准则可得数列？skip record if.?收敛。20、（本题满分11分）一容器内侧是由图中曲线绕？skip record if.?轴旋转一周而成的曲面，该曲线是由？skip record if.?skip record if.?与？skip recordif.?skip record if.?连接而成的。（i ）容器的容积（n）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：？skip record if.?,重力加速度？skip record if.?,水的密度为?skip record if.?）【分析】本题考查旋转体求体积、变力做

30、功。（i ）直接利用求旋转体体积公式计算即可；（h）用微元法求解。【详解】（i ）法一：？skip record if.?法二：？skip record if.?。（h ） ?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?（焦耳）。21、（本题满分11分）已知函数？skip record if.?具有二阶连续偏导数，且 ？skip recordif？skip record if.?其中？skip record if.?。计算二重积分？skip record if.?【分析】本题考查

31、抽象函数的二重积分。用二元函数偏导数与导数关系及分 部积分法计算二重积分。【详解】法一：?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?。法二：？skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?skip record if.?22、（本题满分11分）设？skip record if.?, ?skip record if.?, ?skip r

32、ecord if.?不能由?skiprecord if.?, ?skip record if.?, ?skip record if.?线性表出。（i ）求?skip record if.?（h ）将?skip record if.?由？skip record if.?线性表出【分析】i）考查已知向量组线性无关求参数，r）考查一个向量组有另一个向 量组线性表示的问题.【详解】 由于？skip record if.?, ?skip record if.?, ?skip record if.?不能由？skip record if.?, ?skip record if.?, ?skip record

33、if？线性表出，所 以？skip record if.?线性相关（因为任意?skip record if.?个？skip record if.?维 向量线性相关，从而？skip record if侬性相关，若？skip record if.?线性无关， 则？skip record if.?可由？skip record if.?线性表示）,从而?skip record if.?, 而？skip record if.?,故可解得?skip record if.?（ii）法一：设?skip record if.?,由于?skip record if.?,所以?skip record if.?线性无关。则?skip record if.?而？skip record if.?,从