4-5数学归纳法达标训练

1、精品资源欢迎下载基础巩固4.1数学归纳法更上一层楼1.用数学归纳法证明1+a+a2+, +an+11-an2(n n,a wi),在验证 n=1成立时，左边所得1 - a的项为()a.1b.1+ac.1+a+a2d.1+a+a2+a3思路分析：如果不注意左边的最后一项an+1的指数，就会错误地选择a.答案：c2.某个命题与正整数 n有关，如果当n=k(k c n+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得()a.当n=6时该命题不成立b.当n=6时该命题成立c.当n=4时该命题不成立d.当n=4时该命题成立思路分析：当 n=k时，左边是(k+1)

2、(k+2),(k+k), 当n=k+1时，左边应是(k+1)(k+2),(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1),应增添的因式是(2k +1)(2k +2) =2(2k+1).k 1答案：d1 1 1111113.用数学归纳法证明1- 1 + 1- 1+, +一-_，=+时，由n=k的2 3 4 2n -1 2n n 1 n 2 2n假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为()a.2k 2k 1b.c.d.111十+2k 2k 1 2k 211+ k 2 2k 2k 1111+ +k 2 2k 1 2k 2思路分析：把右边的n全部换成k+1,就是应该得到的形式答案：d4

3、.用数学归纳法证明“当 n为奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第二步的归纳假设应写成 ( )a.假设n=2k+1(kc n)时正确，再推证 n=2k+3时正确b.假设n=2k-1(kc n)时正确，再推证 n=2k+1时正确c.假设n=k(k n)时正确，再推证 n=k+1时正确d.假设nwk(k1)时正确，再推证 n=k+2时正确思路分析：如果n=2k+1(kc n),则k=1时，第一个奇数就不是1而是3,明显错误.如果n=2k-1(kc n),那么k=1时，第一个奇数就是 1,再推证就应该是 n=2 (k+1) -1=2k+1.答案：b， ill 11115 .已知n为正偶数，用数学归

4、纳法证明1-+ - +, +=2(+)234 n -1 n 2 n 4 2n时，若已假设n=k(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()a.n=k+1时等式成立b.n=k+2时等式成立c.n=2k+2时等式成立d.n=2(k+2)时等式成立思路分析：因为已假设n=k(k2为偶数)时命题为真，接下来应该证明n=2( k +1 )成立，2即n=k+2,而n=k+1为奇数，n=2k+2和n=2(k+2)均不满足递推关系，所以只有 n=k+2满足 条件.答案：b6 .凸k边形内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+ 思路分析：f(k+1)= (k+1-2) 兀.答案

5、：兀7 .平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+.思路分析：我们不妨大胆尝试考虑k=1时，f(1)=2 , k=2时，f (2) =4, k=3时，f (3) =7,说明了 f (k+1)在f (k)的基础上又增加了k+1个区域.答案：k+1综合应用8 .用数学归纳法证明：1222n2n(n 1)+= .1 *3 3*5(2n-1)(2n 1) 2(2n 1)思路分析:在由假设n=k成立时，再推证n=k+1时，左边应添加(k 1)2(2k 1)(2k 3)_ (k 1)(k 2)2

6、(2k 3)2k(k 1) (k 1)证明： 当 n=k+1 时，左边 =k +2(2k 1) (2k 1)(2k 3)9.用数学归纳法证明：(1) 72n-4 2n-297 能被 264 整除；(2) an+1+(a+1) 2n-1能被a2+a+1整除(其中n, a为正整数)思路分析：(1)当n=k+1时，左边应该想办法分别提取公因数49和264.(3) n=k+1时，要通过凑项配形的方法来达到提取公因式的目的证明：(1)当n=k+1时，72(k+1) -4 2(k+1) - 297=49x (7 2k-4 2k- 297)+33 x 4 2k+48x 297=49x (7 2k-4 2k-

7、297)+33x8x(2 4k-3+48x 9)=49 x (7 2k-4 2k-297)+264x (2 4k-3+48x 9).能被264整除，命题正确.(2)n=k+1 时，ak+2+(a+1) 2k+1=(a+1) 2 ak+1+(a+1) 2k-1 +ak+2-a k+1(a+1) 2 =(a+12) ak+1+(a+1) 2k-1 -a k+1(a 2+a+1).能被a2+a+1整除.10.求证:1-1 + 1-1+,2 3 411+-2n-1 2n111n 1 n 2 2n思路分析：在第(n)步的证明中，必须清楚n=k时，n=k+1时所列等式的左右两边分别如何表达，并能正确使用归

8、纳假设，尤其是代数变形能力(如因式分解、通分等)的运用要熟 练.11,、证明：(i )当n=1时，左式=1=,右式=2 2左式=右式.当 n=1 时，(n)假设当1-1 + 1-1 +命题成立.n=k(1)时，命题成立,2 3 4则当n=k+1时，左式=1- 1+1-+=2k -1 2k k 1即1+k 21+十一2k1+2k -1=(k 11十2k 2k 1112k 2k 21+k 312k 1 2k 2十一.十 十2k 2k 111+ +2k 2k 11( k - 12k 22ki，=右式.当n=k+1时，命题也成立.由(i) (n)可知，对一切自然数 回顾展望n,命题都成立.11.已知数列an满足a1=1,an+1=an1 an(1)计算 a2,a 3,a .(2)猜测an的表达式并用数学归纳法证明.思路分析：首先通过计算a2, a3, a3然后猜想an的表达式，最后通过数学归纳法来证明a一(1)解：由 an+1=及 a1=1,得1 ana11a21a31a2=1= ,进而 a3=2 = ,a 4=1 a121 a231 a3 4(2)证明：猜想an=1,面用数学归纳法证明之.n一 1当 n