XX高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练精品文档

1、xx高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练本资料为word文档，请点击下载地址下载全文下载地址课件www.5yk【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的综合问题2、4、6、11直线与圆锥曲线的综合问题3、8、9、14圆与圆锥曲线的综合问题7、10、12、13圆锥曲线与其他内容的综合、5一、选择题.椭圆+=1的左顶点为a,左、右焦点分别为f1,f2,d是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为解析:设d,则=,=,=,由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=.故选d.2.已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于435解析:抛物线y

2、2=12x的焦点是,c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=x,焦点到y=x的距离d=.故选a.3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于a、b两点,过原点与线段ab中点直线的斜率为,则的值为解析:设交点坐标为a,b,中点为m,将y=1-x代入ax2+by2=1得x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=,x0=,y1+y2=2-=,y0=,k=.故选a.4.过椭圆+=1的焦点垂直于x轴的弦长为,则双曲线-=1的离心率e的值是解析:设椭圆的半焦距为c1,在椭圆中当x=c1时,+=1,y2=b21-=,y=.=,即a2=4b2,设双曲线的半焦距为c2,在双曲线中=a2+b2=5b

3、2,e=.故选b.5.点p在双曲线-=1上,f1、f2是双曲线的两个焦点,f1pf2=90,且f1pf2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是25解析:不妨设点p在双曲线的右支上,f1为左焦点,设|pf1|=r1,|pf2|=r2,则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e>1,所以e=5.故选d.6.如图所示,在等腰梯形abcd中,abcd,且,ab=2ad.设dab=,0,以a、b为焦点且过点d的双曲线的离心率为e1,以c、d为焦点且过点a

4、的椭圆的离心率为e2,则随着角度的增大,e1增大,e1e2为定值随着角度的增大,e1减小,e1e2为定值随着角度的增大,e1增大,e1e2也增大随着角度的增大,e1减小,e1e2也减小解析:设ad=1,则ab=2,dc=2-2cos,在abd中,由余弦定理得bd=,e1=,0,所以随着角度的增大,e1减小;又e2=,e1e2=1,故选b.7.过双曲线-=1的左焦点f引圆x2+y2=a2的切线,切点为t,延长ft交双曲线右支于点p,若t为线段fp的中点,则该双曲线的渐近线方程为xy=02xy=04xy=0x2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为f,连结ot、pf.ft为圆的切线,ftot

5、,且|ot|=a,又t、o分别为fp、ff的中点,otpf且|ot|=|pf|,|pf|=2a,且pfpf.又|pf|-|pf|=2a,|pf|=4a.在rtpff中,|pf|2+|pf|2=|ff|2,即16a2+4a2=4c2,=5.=-1=4,=2,即渐近线方程为y=2x,即2xy=0.故选b.二、填空题8.设p为直线y=x与双曲线-=1左支的交点,f1是左焦点,pf1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.解析:由消去y得x=a.又pf1x轴,a=c,e=.答案:9.已知抛物线c的方程为x2=y,过点a和点b的直线与抛物线c没有公共点,则实数t的取值范围是.解析:当t=0时,直线ab与抛物线

6、c有公共点,当t0,则过点a和点b的直线方程为=,即4x-ty-t=0,由得2tx2-4x+t=0,=16-42t2<0,解得t<-或t>.答案:0.过双曲线c:-=1的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为a、b.若aob=120,则双曲线c的离心率为.解析:如图,由题知oaaf,obbf且aob=120,aof=60.又oa=a,of=c,=cos60=,=2.答案:21.点a是抛物线c1:y2=2px与双曲线c2:-=1的一条渐近线的交点,若点a到抛物线c1的准线的距离为p,则双曲线c2的离心率等于.解析:设a,a在抛物线上,x0+=p,x0=,由=2px0

7、得y0=p或y0=-p.双曲线渐近线的斜率=2.e=.答案:三、解答题2.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆c:x2+y2-4x+2y=0的圆心c.求椭圆的方程;设直线l过椭圆的焦点且与圆c相切,求直线l的方程.解:圆c方程可化为2+2=6,圆心c,半径r=设椭圆的方程为+=1,则所求椭圆的方程是+=1.由得椭圆的左右焦点分别是f1,f2,|f2c|=<r=,f2在圆c内,则过f2没有圆c的切线,故直线l过f1,设l的方程为y=k,即kx-y+2k=0,圆心c到直线l的距离为d=,由d=,得=,化简得5k2+4k-2=0,解得k=或k=-,故直线l的方程为x-5y

8、+2=0或x+y+2=0.3.已知椭圆c:+=1的右焦点f在圆d:2+y2=1上,直线l:x=my+3交椭圆于m、n两点.求椭圆c的方程;若,求m的值;若点p的坐标是,试问pmn的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.解:由题意知,圆d:2+y2=1的圆心坐标是,半径是1,故圆d与x轴交于两点,所以在椭圆中c=3或c=1,又b2=3,所以a2=12或a2=4,于是,椭圆c的方程为+=1.设m,n,直线l与椭圆c方程联立化简并整理得y2+6my-3=0,y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m+6=,x1x2=m2y1y2+3m+9=+9=.,=0,即x1x2+y1y

9、2=0得=0,所以m2=,m=.spmn=|fp|y1-y2|=1=2=22=1.当且仅当m2+1=3,即m=时等号成立.故pmn的面积存在最大值1.4.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程为+=1,它的离心率为,一个焦点是,过直线x=4上一点引椭圆的两条切线,切点分别是a、b.求椭圆的方程;若椭圆:+=1在点处的切线方程是:+=1.求证:直线ab恒过定点c,并求出定点c的坐标;求证:+为定值.解:椭圆的焦点是,故c=1,又=,所以a=2,b=,所以所求的椭圆方程为+=1.解:设切点坐标为a,b,直线l上一点m的坐标,则切线am、bm的方程分别为+=1,+=1.又两切线均过点m,所以x1

10、+y1=1,x2+y2=1,即点a,b的坐标都适合方程x+y=1,故直线ab的方程是x+y=1,显然直线x+y=1恒过点,故直线ab恒过定点c.证明:将直线ab的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得3-y+12+4y2-12=0,即+4y2-2ty-9=0,y1+y2=,y1y2=,不妨设y1>0,y2<0,|ac|=y1,同理|bc|=-y2,+=-=-=-=,即+为定值.大题冲关集训.如图,已知抛物线c1:x2=2py的焦点在抛物线c2:y=x2+1上.求抛物线c1的方程及其准线方程;过抛物线c1上的动点p作抛物线c2的两条切线pm,pn,切点为m,n.若pm,pn的斜率乘积为m

11、,且m2,4,求|op|的取值范围.解:c1的焦点为f0,所以=0+1,p=2.故c1的方程为x2=4y,其准线方程为y=-1.任取点p,设过点p的c2的切线方程为y-t2=k.由得x2-2kx+4tk-2t2+2=0.由=2-4=0,化简得k2-4tk+2t2-2=0,设pm,pn斜率分别为k1,k2,则m=k1k2=2t2-2,因为m2,4,所以t22,3,所以|op|2=4t2+t4=2-412,21,所以|op|2,.2.已知椭圆c:+=1的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆o相切.求椭圆c的方程;设椭圆c与曲线|y|=kx的交点为a、b,求oab面积的

12、最大值.解:由题设可知,圆o的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆o相切,故有=b,所以b=.又e=,所以有a2=3c2=3,所以a2=3,所以椭圆c的方程为+=1.设点a,则y0=kx0,设ab交x轴于点d,如图,由对称性知:soab=2soad=2x0y0=k.由解得=.所以soab=k=.当且仅当=3k,即k=时取等号.所以oab面积的最大值为.3.已知抛物线c:x2=2py上一点p到焦点距离为1.求抛物线c的方程;直线y=kx+2交c于m,n两点,q是线段mn的中点,过q作x轴的垂线交c于点t.证明:抛物线c在点t处的切线与mn平行;是否存在实数k使=0?若存在,求k

13、的值;若不存在,请说明理由.解:依据抛物线的定义知,p到抛物线焦点f的距离为pf=+=1,所以p=,抛物线的方程为x2=y.证明:设m,n,q,联立得2x2-kx-2=0,所以x1+x2=,x1x2=-1,所以x0=.因为y=2x2,所以y=k,所以抛物线y=2x2在t点处的切线与mn平行.由可得t,则=x1-x2-+y1-y2-=x1x2+k-+2-2=-=0,解得k=2,所以存在k=2满足=0.4.已知三点o,a,b,曲线c上任意一点m满足|+|=+2.求曲线c的方程;点q是曲线c上的动点,曲线c在点q处的切线为l,点p的坐标是,l与pa,pb分别交于点d,e,求qab与pde的面积之比.

14、解:由=,=,得|+|=,=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线c的方程是x2=4y.直线pa,pb的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线c在点q处的切线l的方程是y=x-,且与y轴的交点为f0,-,分别联立方程组解得d,e的横坐标分别是xd=,xe=,则xe-xd=2,|fp|=1-,故spde=|fp|xe-xd|=1-2=,而sqab=41-=,则=2.即qab与pde的面积之比为2.5.已知f1,f2分别是椭圆e:+y2=1的左、右焦点,f1,f2关于直线x+y-2=0的对称点是圆c的一条直径的两个端点.求圆c的方程;设过点f2的直线l被椭圆e和圆c所截得的弦长分别为a,b.当ab

15、最大时,求直线l的方程.解:由题设知,f1,f2的坐标分别为,圆c的半径为2,圆心为原点o关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为,由解得所以圆c的方程为2+2=4.由题意,可设直线l的方程为x=my+2,则圆心到直线l的距离d=.所以b=2=.由得y2+4my-1=0.设l与e的两个交点坐标分别为,则y1+y2=-,y1y2=-.于是a=.从而ab=2.当且仅当=,即m=时等号成立.故当m=时,ab最大,此时,直线l的方程为x=y+2或x=-y+2,即x-y-2=0或x+y-2=0.6.已知点p为y轴上的动点,点m为x轴上的动点,点f为定点,且满足+=0,=0.求动点n的轨迹e的方程;

16、过点f且斜率为k的直线l与曲线e交于两点a,b,试判断在x轴上是否存在点c,使得|ca|2+|cb|2=|ab|2成立,请说明理由.解:设n,则由+=0,得p为mn的中点.p0,m.=-x,-,=1,-.=-x+=0,即y2=4x.动点n的轨迹e的方程为y2=4x.设直线l的方程为y=k,由消去x得y2-y-4=0.设a,b,则y1+y2=,y1y2=-4.假设存在点c满足条件,则=,=,=x1x2-m+m2+y1y2=2-m+m2-4=-2-2y1y2+m2-3=m2-m+2-3.=+22+12>0,关于m的方程m2-m+2-3=0有解.在x轴上存在点c,使得|ca|2+|cb|2=|ab|2成立.7.已知抛物线c的顶点为原点,其焦点f到直线l:x-y-2=0的距离为,设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.求抛物线c的方程;当点p为直线l上的定点时,求直线ab的方程;当点p在直线l上移动时,求|af|bf|的最小值.解:抛物线c的焦点f到直线l:x-y-2=0的距离为,=,得c=1,f,即抛物线c的方程为x2=4y.设切点a,b,由x2=4y得y=x,切线pa:y-y1=x1,有y=x1x-+y1,而