信号第5章小波变换分析

1、1 主要内容主要内容 u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念 u小波变换的性质小波变换的性质 u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波 u离散小波变换离散小波变换 第第7章章 小波分析小波分析 2 连续小波变换的时域定义连续小波变换的时域定义 dt a bt ts a baWs)()( 1 ),( * )( 1 )()( , a bt a tt baba )(t a 核函数核函数 ，是窗函数，是窗函数 的时间平移的时间平移b和尺度伸缩和尺度伸缩 的结果的结果 where 窗函数窗函数)(t称为称为母小波母小波. )(),()()(),( , * , ttsdtttsbaW babas

2、 )(),( , tts ba 3 2. 小波变换的频域定义小波变换的频域定义 )()(Sts) ( )(t bj baba eaa a bt a t ) ( )()( 1 )( , )(),( 2 1 )()( 2 ),( , * ba bj s SdeaS a baW 作业作业7-17-1 (1)证明的因子证明的因子 的作用是保证不同的尺度下，的作用是保证不同的尺度下， 函数函数 与母小波的能量相同与母小波的能量相同 (2)证明下面公式证明下面公式 a/1 )( , t ba bj baba eaa a bt a t ) ( )()( 1 )( , )(),( 2 1 )()( 2 ),(

3、 , * ba bj s SdeaS a baW 4 解释解释 小波变换可以理解为用一组分析宽度不断变化的基小波变换可以理解为用一组分析宽度不断变化的基 函数对信号函数对信号s(t)进行分析，这一变化正好适应了对信进行分析，这一变化正好适应了对信 号分析时在不同的频率范围需要不同的分辨率这一基号分析时在不同的频率范围需要不同的分辨率这一基 本要求本要求 其中的因子其中的因子 的作用是保证不同的尺度下，函数的作用是保证不同的尺度下，函数 与母小波的能量相同与母小波的能量相同 a/1 )( , t ba 参数参数b的作用是确定对分析信号的作用是确定对分析信号s(t)的时间位置，即的时间位置，即 时

4、间中心。时间中心。 参数参数a 的作用是把基本小波进行伸缩。的作用是把基本小波进行伸缩。 5 t tt 3 尺度因子尺度因子 1) a 对小波函数的时域影响对小波函数的时域影响 6 2) a 对分析小波的频域影响对分析小波的频域影响 2 2/ t 0 0 2 2/ 0 ) ( a) ( a) ( a 7 尺度因子在小波变换中物理解释尺度因子在小波变换中物理解释 (1)当用较小的当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频对信号作高频分析时，实际上是用高频 小波对信号作细致观察；小波对信号作细致观察； (2)当用较大的当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频对信号作低频分析时，实际上是用

5、低频 小波对信号作概貌观察；小波对信号作概貌观察； 8 说明：说明： 在时域是在时域是有限支撑有限支撑的，则和的，则和s(t)作内积后，将作内积后，将 保证小波变换保证小波变换 在时域也是在时域也是有限支撑有限支撑的，从的，从 而实现所希望的时域定位功能。而实现所希望的时域定位功能。 所反映的，所反映的， 是在是在b附近的性质附近的性质 )( , t ba ),(baWs ),(baWs 若若 具有具有带通带通特性，即在频域，围绕着中心频率特性，即在频域，围绕着中心频率 是有限支撑的，则是有限支撑的，则 和和的内积，也将反映的内积，也将反映 在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所在窗口中心频率

6、处的局部性质，从而实现所 )( , ba )(S)( , ba )(S 期望的频率定位功能。期望的频率定位功能。 信号信号s(t)的小波变换的小波变换),(baWs是是a和和b的函数的函数。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。母小波可以是实函数，也可以是复函数。 9 4. 小波小波(基本小波、母小波基本小波、母小波) 0)( )()( 2 dttRLt且满足约束条件，如果 则称为则称为)(t为连续小波，或母小波。为连续小波，或母小波。 约束条件的物理意义：约束条件的物理意义： 是必要条件而不是充分条件。是必要条件而不是充分条件。 约束条件再加上有限时宽特性约束条件再加上有限时宽特性(时域时域

7、紧支撑紧支撑特性特性)， 从而严格地将的波形约束为从而严格地将的波形约束为“一小段波一小段波” 。 10 容许条件：容许条件： )()( tif dthen 0 2 ) ( : 母小波的特点：母小波的特点： 容许条件的含义：与上面的约束条件等价容许条件的含义：与上面的约束条件等价 (1) 小波具有波动性，小波具有波动性， 表明是波动的表明是波动的,0)( dtt (2) 小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快; (3)小波具有带通滤波器特性小波具有带通滤波器特性, 可理解为一个可理解为一个 带通滤波器的冲激响应带通滤波器的冲激响应 )(t , 0)0 ( 又是紧支

8、撑的又是紧支撑的 (4)小波小波 和一般的窗函数一样，满足和一般的窗函数一样，满足)(t dtt | )(| 11 1) 定义定义 )(t经伸缩、平移构成小波基函数。即：经伸缩、平移构成小波基函数。即： 为小波基)( , t ba a bt a t ba 1 )( ,Rba, 0 频宽)( , ba时宽)( , , ta ba 5. 小波基小波基 2) 窗口中心窗口中心 batdttt t t a,b a,b 0 2 2 * | )(| |)(| 1 时窗中心时窗中心 频窗中心频窗中心 a d a,b a,b 0 2 2 * | )(| |)(| 1 为为 之时窗中心之时窗中心0,1ba 0

9、t 为为 之频窗中心之频窗中心 0,1ba 0 12 3) 窗口宽度窗口宽度 a d a,b a,b a,b 2/1 22* 2 | )(|)( |)(| 1 频窗宽度频窗宽度 tadtttt t a,b a,b t a,b 2/1 22* 2 | )(|)( |)(| 1 时窗宽度时窗宽度 为为 之频窗宽度之频窗宽度0,1a t a ta a,ba,b t 4) 窗口面积窗口面积 为为 之频窗宽度之频窗宽度0,1bat 窗口面积与窗口面积与 a，b无关，只由小波母函数决定无关，只由小波母函数决定 13 2 2/ t 0 0 2 2/ 0 时窗中心时窗中心 batt 0 * 频窗宽度频窗宽度

10、a a,b 时窗宽度时窗宽度 ta a,b t 频窗中心频窗中心 a 0 * 14 (5) . 窗口特性窗口特性 ii) 时窗宽度和频窗宽度分别随时窗宽度和频窗宽度分别随a和和1/a发生变化；发生变化； ) 窗口面积不变；窗口面积不变； constant 0 * , ba Q 中心频率 带宽 iv)( , ba 是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数；是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数； )( , t ba 是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应 v) 时、频窗口具有自适应变化特性。时、频窗口具有自适应变化特性。 低 * 窄 a,b 宽 a,b 宽 a,b

11、 t 高 * 窄 a,b t i) 时窗和频窗中心分别随时窗和频窗中心分别随a和和1/a成正比例变化；成正比例变化； 15 (a) 小波变换的基函数和时频网格小波变换的基函数和时频网格 6. 小波变换与短时小波变换与短时Fourier变换的比较变换的比较 f (b) t f (b) t (a) 短时短时Fourier变换的基函数和时频网格变换的基函数和时频网格 16 (a)短时短时Fourier变换等效滤波器带宽变换等效滤波器带宽 )(fH 0 2f 0 f 0 2f 0 f 0 4 f 0 8f (b) 小波变换等效滤波器带宽小波变换等效滤波器带宽 )(fH 0 2f 0 f 0 4f 0

12、8f 频域频域等分辨等分辨是短时是短时Fourier变换所固有的特性变换所固有的特性 多分辨多分辨是小波变换的一种固有特性是小波变换的一种固有特性 17 7. 小波变换的物理意义小波变换的物理意义 )(),()()(),( , * , ttsdtttsbaW babas 与小波函数与小波函数( )s t( ) t小波变换就是通过信号小波变换就是通过信号 的不同尺度变换和时移作内积或比较，得到的不同尺度变换和时移作内积或比较，得到 相应的频率分量，来对信号进行分解。相应的频率分量，来对信号进行分解。 ( ),( ) n s t h t( )s t( ) n h t内积内积 反映了信反映了信 号号

13、 与与 的相似程度的相似程度 18 主要内容主要内容 u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念 u小波变换的性质小波变换的性质 u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波 u离散小波变换离散小波变换 19 1 线性叠加性线性叠加性 )()()( tgtstfif ),(),(),( )()()( baWbaWbaW tgtstf where 为常数、 2 时移不变性时移不变性 )()( tstxif ()( ) ( , )( ,) s ts t Wa bWa b ),( )( baW tx 20 3 尺度伸缩性尺度伸缩性 )()( tstxif ()( ) 1 ( , )(,) sts

14、t Wa bWab ),( )( baW tx 当信号在时间轴上按当信号在时间轴上按 a和和b两个轴上同时作相同比例的伸缩，但是小波两个轴上同时作相同比例的伸缩，但是小波 变换的波形不变，这是小波变换的优点之一。变换的波形不变，这是小波变换的优点之一。 作伸缩时，其小波变换在作伸缩时，其小波变换在 21 4 Parseval定理定理 dttgtsCdbbaWbaW a da tgts )()(),(),( 1 * )()( 2 0 2 0 ( ) Cd where 该性质说明了信号时域内积与小波域内积满足关系该性质说明了信号时域内积与小波域内积满足关系 )(),(),(, ),( )()( 2

15、 tgtsCbaWbaWa tgts )10. 7( )(),(),(),( )()( 2 tgtsCbaWbaWa tgts 22 5 信号域与小波域的能量对应性信号域与小波域的能量对应性 0 222 | ),(| 1 | )(|dadbbaWa C dtts s 令令g(t)=s(t),再利用上述性质即可得证再利用上述性质即可得证 小波变换的幅度平方在尺度小波变换的幅度平方在尺度位移平面上的加权位移平面上的加权 积分，等于信号在时域的总能量。积分，等于信号在时域的总能量。 小波变换的幅度平方，可以看成是信号能量时频小波变换的幅度平方，可以看成是信号能量时频 分布的一种表示形式。分布的一种表

16、示形式。 Fourier变换中的变换中的Parseval定理表明，信号时域中定理表明，信号时域中 的能量等于频域中的能量的能量等于频域中的能量 小波变换中的小波变换中的Parseval定理要复杂一些，它不但要定理要复杂一些，它不但要 有常数加权，还必须满足容许条件。有常数加权，还必须满足容许条件。 23 6 微分特性微分特性 )( )( )( ts dt tds txif ),(),( )( baW b baW stx 7 两个信号卷积的小波变换两个信号卷积的小波变换 )(*)()( thtstxif )(*),(),(*)(),(thbaWbaWtsbaW b sh b x b * 表示对变

17、量表示对变量b作卷积作卷积 24 8 逆小波变换逆小波变换 0 ,)( 2 )(),( 11 )(dbtbaW a da C ts bats dC 0 2 | ) ( | where是容许条件。是容许条件。 9 重构方程重构方程 目的：目的：(a, b)平面上不是所有的二维函数平面上不是所有的二维函数W(a, b)对应于函对应于函 数数s(t)的小波变换的充分必要条件是满足下述的重构方程的小波变换的充分必要条件是满足下述的重构方程 0 00)( 2 00 ),;,(),( 1 ),(dbbabaKbaWda a baW tss )()( 1 )()( 1 ),( * , * ,00 00 00

18、 tt C dttt C babaK baba baba ， where 重构核重构核 25 主要内容主要内容 u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念 u小波变换的性质小波变换的性质 u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波 u离散小波变换离散小波变换 26 1 小波的分类小波的分类 经典小波经典小波 正交和双正交小波正交和双正交小波 27 1) Haar小波小波 2. 常见的经典小波常见的经典小波 其它0 12/11 2/101 )(t t t 1 1 -1 (a) )(t 11 -1 2 (b) ) 1( t 1 1 -1 2 (c) )2/(t 优点：优点： Haar小波在时域

19、是紧支撑的，小波在时域是紧支撑的， (0,1)非零，且小波仅非零，且小波仅 取取1和和-1。Haar小波变换的计算复杂度较低；小波变换的计算复杂度较低； Haar小波是正交小波；小波是正交小波； Haar小波是对称的，可去除相位失真非常有效小波是对称的，可去除相位失真非常有效 缺点：缺点： Haar小波是不连续小波小波是不连续小波 28 2) Morlet 小波小波 2 0 2 0 ( ),5 t jt te 2 0 () 2 ( ) 2 e a)时域波形 b）频谱 29 是为了确保允许条件是为了确保允许条件 成立成立 5 0 0)0( 应用：复信号分解，提取相位信息等。应用：复信号分解，提取

20、相位信息等。 特点：特点： )()(t及 包络都是高斯函数包络都是高斯函数 不是正交小波，也不是双正交小波不是正交小波，也不是双正交小波. 是对称小波是对称小波 tet t 0 2/ cos)( 2 实信号分解实信号分解 30 3)Maar小波（墨西哥草帽小波）小波（墨西哥草帽小波） 2/2 4 2 )1 ( 3 2 )( t ett 2 2 2 ( ) 2e 特点：特点： 时、频域局域性好时、频域局域性好 0)(,0)0( 0 d d 具有二阶零点具有二阶零点 视觉信息加工，边缘检测。视觉信息加工，边缘检测。 应用应用: 不是正交小波，也不是双正交小波不是正交小波，也不是双正交小波. 31

21、4) DOG 小波（高斯差分小波）小波（高斯差分小波） 22 82 1 ( ) 2 tt tee 22 /22 ( ) 2ee 特点：特点： 在在=0 处有二阶零点，频域局域性好。处有二阶零点，频域局域性好。) ( -6-4-2246 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 32 3. 正交小波正交小波 1) Daubechies小波小波 法国学者法国学者Daubechies Ingrid构造的，简称为构造的，简称为db小波小波 在在Matlab7.0中，中，dbN表示表示N阶阶db小波，其取值通小波，其取值通 常为常为2至至45。N=1的的db1即即Haar小波小波 处具

22、有处具有N阶零点阶零点 具有紧支撑特性。具有紧支撑特性。dbN小波函数的小波函数的 在在) ( 0 db小波是非对称的，相应的滤波器组属于共轭镜小波是非对称的，相应的滤波器组属于共轭镜 像滤波器组。像滤波器组。 33 在在Matlab中，中，coifN表示表示N阶阶Coiflets小波，是小波，是 紧支撑正交、双正交小波，也是接近对称的小波。紧支撑正交、双正交小波，也是接近对称的小波。 具有具有db小波的全部特点小波的全部特点 2).对称小波对称小波 对称小波是对对称小波是对db小波作改进后得到的，简称小波作改进后得到的，简称symN， N=2,45， )(t 对应的滤波器接近于具有线性相位。

23、对应的滤波器接近于具有线性相位。 小波函数小波函数 接近对称，接近对称， 3)Coiflets小波小波 具有具有db小波的全部特点小波的全部特点 )( 其尺度函数其尺度函数在在0处具有处具有2N-1阶零点，阶零点， ) ( 0在在 处具有处具有2N阶零点阶零点 34 主要内容主要内容 u连续小波变换的基本概念连续小波变换的基本概念 u小波变换的性质小波变换的性质 u小波分类和常见的小波小波分类和常见的小波 u离散小波变换离散小波变换 35 但寻找具有光滑性、对称性、局域性的离但寻找具有光滑性、对称性、局域性的离 散正交基困难散正交基困难 ，于是发展出非正交的，于是发展出非正交的 DWT 理论理

24、论框架理论。框架理论。 CWT 的冗余性不适合图像压缩、数值计算。的冗余性不适合图像压缩、数值计算。 1. 引言引言 从不可列的具有相关性的函数空间中抽取可从不可列的具有相关性的函数空间中抽取可 列个函数来构造函数空间中的一个基，理想列个函数来构造函数空间中的一个基，理想 的情况下构成一个正交基。的情况下构成一个正交基。 研究将参数研究将参数a，b按一定的方法离散，但要按一定的方法离散，但要 保证用离散后的小波及函数对信号展开后，保证用离散后的小波及函数对信号展开后， 信息不丢失。信息不丢失。 36 2. 尺度和位移离散化的方法尺度和位移离散化的方法 0 m s bna T 0 m aa /2

25、 ,0 0 ( ):( )(), m m nm ns m t ttanTm nZ a 方法方法1：满足：满足Nyquist采样定理的离散方法采样定理的离散方法 Where Ts为采样间隔为采样间隔 特例：特例：a0=2 Ts=1 /2 , ( )2(2) mm m n ttn 方法方法2：方法方法1中的中的Ts=0，即仅仅对尺度，即仅仅对尺度a离散，对平离散，对平 移因子不离散移因子不离散 37 ) 1(, s Tnbma Znmnttt m m nmba ,),2(2)()( 2 , ),(),(nmWbaW ss dtttss R nmnm )()(, , 3. 离散小波变换之正变换离散小

26、波变换之正变换 )(),( 2 1 , nm S 1) 后，连续相空间非均匀分布的离后，连续相空间非均匀分布的离 散相空间。散相空间。 nma 2) 当当 时，时，m时宽,带宽)(,2aa m 38 5. 小波框架小波框架 ， 0AB 时，称为小波框架；当时，称为小波框架；当 2 (2 ) m m Z 等价地，小波框架在频域中是指，满足等价地，小波框架在频域中是指，满足 的函数族。的函数族。 ( ) t , ( ):, m n tm nZ 2 22 , ,( ) m n m Z n Z A sstB s 是小波函数，函数族是小波函数，函数族 满足满足 AB 时，该框架又称为紧小波框架。时，该框

27、架又称为紧小波框架。 1)定义定义 39 2)性质性质 ( ) t 满足容许性条件。满足容许性条件。 , ( ):, m n tm nZ /2 , 2(2) mm m n tn 的对偶函数的对偶函数 小波框架小波框架 也构成一个框架。也构成一个框架。 5. 信号重构和逆变换信号重构和逆变换 , , 1 ( )( ),( )( )( , )( ) m nm nsm n m nm n s ts tttW m nt A AB，则离散小波变换的逆变换为：，则离散小波变换的逆变换为： 1) )( 1 )( , t A t nmnm where 特例：特例：A=B=1 )()( , tt nmnm 是正交

28、基是正交基 40 , 2 ( )( ) m nm n tt AB AB 若若 ,则则 2) 的关系复杂，不予讨论和)()( , , ttBA m,nnm 3) , , 2 ( )( ),( )( )( , )( ) m nm nsm n m nm n s ts tttWT m nt AB 41 )()()(,),( * , nddtttssnmW mnmnms where 信号的离散小波展开信号的离散小波展开 0 , )( )()( mn nmm tndts 信号的信号的Fourier级数展开级数展开 0 0 0 )()( m tjk ekSts dtets T kS tjk 0 )( 1 )( 0 where 42 6. 重构核方程重构核方程 彼此相关，彼此相关， 可由可由 求出。求出。 ),(nmWs ),(nmWs ),( 00 nmWs )( , t nm 是框架，不正交，有冗余度是框架，不正交，有冗余度 。 )(),( 1 )( , , tnmW A ts nm nm s 00, 00 )