教什么和怎样教同样重要 演示文稿定稿_席争光

1、教什么和怎样教同样重要教什么和怎样教同样重要 以用字母表示数为例 河南省洛阳市吉利区白坡小学 席争光 为什么这么多老师对为什么这么多老师对用字用字 母表示数母表示数一课情有独钟？一课情有独钟？ 在小学从算术到代数是学生学习数学的一个在小学从算术到代数是学生学习数学的一个 转折转折点，也是认识过程的一次点，也是认识过程的一次飞跃飞跃。学生学会了。学生学会了 用字母表示数，可以表达更加普遍意义的数量关用字母表示数，可以表达更加普遍意义的数量关 系，巩固、加深理解所学的一些算术知识，有助系，巩固、加深理解所学的一些算术知识，有助 于发展抽象思维能力。有利于加强中小学数学的于发展抽象思维能力。有利于加

2、强中小学数学的 衔接，初步渗透代数的思想。衔接，初步渗透代数的思想。-小学数学教小学数学教 学探索学探索梁秋莲梁秋莲 为什么这么多老师对为什么这么多老师对用字母表用字母表 示数示数一课情有独钟？一课情有独钟？ n用字母表示数是算术发展到代数的用字母表示数是算术发展到代数的 一个基本特征，是人类认识上的一一个基本特征，是人类认识上的一 个个重大飞跃重大飞跃。理解用字母表示数的。理解用字母表示数的 意义，是代数学习的意义，是代数学习的关键关键，因为它，因为它 是运用代数式、方程、不等式、函是运用代数式、方程、不等式、函 数等，进行交流的数等，进行交流的前提条件前提条件。- 新课标与新课标与“数学教

3、学内容数学教学内容” 为什么这么多老师对为什么这么多老师对用字母用字母 表示数表示数一课情有独钟？一课情有独钟？ n因为用字母表示数是小学数 学教材中的核心概念。 n在数学发展史上，从算术到代数 是人们对客观现实世界的数量关 系的认识上的一个飞跃。数学 教学参考西师版 核心词： n转折点、飞跃。转折点、飞跃。 n重大飞跃、关键、前提条重大飞跃、关键、前提条 件。件。 n核心概念。核心概念。 n飞跃。飞跃。 教什么？ n教知识。 n教什么知识？ n教数学知识。 n教什么样的数学知识？（我很困惑 也很迷茫。） n因为只有数字和算术已经不够了。 n从自然数说起。自然数：一切等等 价价的有限集合有限集

4、合的标记标记。7是一切 具有7个元素的等价类集合的标 志。自然数抽象、概括的描述着 我们生活的世界。这是人类发展 历史上的第一次抽象和概括。 为什么要用字母表示数？ n随着人们对客观世界认识的不断加 深，人们逐步的意识到当一个集合 中元素个数不知道，或者集合中元 素个数在不断变化时，原来自然数 就不能表达和刻画，这是我们就需 要有新的符号。这是人类历史上的 第二次抽象和概括。 为什么要用字母表示数？ 对教学的启示： n如何才能够让学生感受到原有的数 已经不够用了呢？ n如何实现字母与数的衔接呢？ 用字母表示数的内涵是什么？ n字母表示数是一个非常丰富而又字母表示数是一个非常丰富而又 “难产难产

5、”的概念，远非我们想象的概念，远非我们想象 的那么简单。人类从用符号表示的那么简单。人类从用符号表示 “特定的数特定的数”，发展到有意识的，发展到有意识的， 系统的用字母表示数，经历了系统的用字母表示数，经历了 12001200年。年。 用字母表示数的内涵是什么？ n字母有丰富的特性：它可以是已字母有丰富的特性：它可以是已 知数、可以是未知数，也可以是知数、可以是未知数，也可以是 变化的数，它可以表示具体意义变化的数，它可以表示具体意义 的数，也可以表示一般意义的数。的数，也可以表示一般意义的数。 n含有字母的式子不仅可以表示数含有字母的式子不仅可以表示数 量，还可以表示两个数量之间的量，还可

6、以表示两个数量之间的 关系。关系。 用字母表示数的内涵是什么？ n含有字母的式子不仅可以表示相等关系，含有字母的式子不仅可以表示相等关系， 还可以表示不相等的关系，既可以表示还可以表示不相等的关系，既可以表示 运算定律还可以表示计算公式。运算定律还可以表示计算公式。 n更为一般地说含有字母的式子是一个数更为一般地说含有字母的式子是一个数 学模型，它是用来刻画和描述生活中的学模型，它是用来刻画和描述生活中的 规律。从这个层面来分析，代数式的本规律。从这个层面来分析，代数式的本 质是：它表示了一个规律。质是：它表示了一个规律。 如此丰富的内涵对教学有什么 启示？ n用字母表示数的内容不是一课时就用

7、字母表示数的内容不是一课时就 可以进行完的。可以进行完的。 n我们应该分层次的来进行教学。西我们应该分层次的来进行教学。西 师版四课时。人教版四课时。师版四课时。人教版四课时。 n用字母表示数最最重要、最最关键，用字母表示数最最重要、最最关键， 能够对学生的后续学习和发展的地能够对学生的后续学习和发展的地 方究竟在哪里呢？方究竟在哪里呢？ 用字母表示数的历史是怎样的？ n代数学符号发展的历史，可分为三代数学符号发展的历史，可分为三 个阶段。第一个阶段为三世纪之前，个阶段。第一个阶段为三世纪之前， 对问题的解不用缩写和符号，而是对问题的解不用缩写和符号，而是 写成一篇论文，称为文字叙述代数。写成

8、一篇论文，称为文字叙述代数。 第二个阶段为三世纪至第二个阶段为三世纪至1616世纪，对世纪，对 某些较常出现的量和运算采用了缩某些较常出现的量和运算采用了缩 写的方法，称为简化代数。三世纪写的方法，称为简化代数。三世纪 的的丢番图丢番图的杰出贡献之一，就是把的杰出贡献之一，就是把 希腊代数学简化，开创了简化代数。希腊代数学简化，开创了简化代数。 n然而此后文字叙述代数，在除了印度然而此后文字叙述代数，在除了印度 以外的世界其它地方，还十分普通地以外的世界其它地方，还十分普通地 存在了好几百年，尤其在西欧一直到存在了好几百年，尤其在西欧一直到 1515世纪。第三个阶段为世纪。第三个阶段为1616

9、世纪以后，世纪以后， 对问题的解多半表现为由符号组成的对问题的解多半表现为由符号组成的 数学速记，这些符号与所表现的内容数学速记，这些符号与所表现的内容 没有什么明显的联系，称为符号代数。没有什么明显的联系，称为符号代数。 1616世纪世纪韦达韦达的名著的名著分析方法入门分析方法入门， 对符号代数的发展有不少贡献。对符号代数的发展有不少贡献。1616世世 纪末，维叶特开创符号代数，经纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡笛卡 尔尔改进后成为现代的形式。改进后成为现代的形式。 回顾历史 n三世纪之前：文字叙述的方式。三世纪之前：文字叙述的方式。 n三世纪（三世纪（17001700年前）丢番图年前）丢番

10、图算术算术 中，首次用符号来表示未知数。中，首次用符号来表示未知数。 n7 7世纪。印度数学家婆罗摩笈多用颜世纪。印度数学家婆罗摩笈多用颜 色的名称来表示未知数。色的名称来表示未知数。 n1515世纪。韦达（世纪。韦达（1540-16031540-1603）有意）有意 识、系统的使用字母表示数，从而识、系统的使用字母表示数，从而 使代数的性质发生了变化。使代数的性质发生了变化。 n16371637年，笛卡尔（年，笛卡尔（1569-16501569-1650）在韦达创用）在韦达创用 符号代表数的基础上，引进了本质上可以代符号代表数的基础上，引进了本质上可以代 表任何一种量的符号体系。表任何一种量

11、的符号体系。 n16731673年荷兰数学家赫德提出字母不仅可以表年荷兰数学家赫德提出字母不仅可以表 示正数又可以表示负数。从此，一套完备的示正数又可以表示负数。从此，一套完备的 符号体系建立起来了。由此数学在表达方法、符号体系建立起来了。由此数学在表达方法、 解题思想和研究方法方面都发生了深刻的变解题思想和研究方法方面都发生了深刻的变 化，大大的前进了一步。化，大大的前进了一步。 回顾历史 给我的启示 n数学的又一特征是具有自己特殊数学的又一特征是具有自己特殊 的符号语言。这既包括最简单的的符号语言。这既包括最简单的 数字符号，也包括由现代的数理数字符号，也包括由现代的数理 逻辑研究所发展起

12、来的完整的符逻辑研究所发展起来的完整的符 号系统。号系统。数学教育哲学数学教育哲学郑毓郑毓 信信 给我的启示 n符号语言的学习应该是本节课教符号语言的学习应该是本节课教 学的一个重要内容，了解用字母学的一个重要内容，了解用字母 表示数的历史可以使学生对这一表示数的历史可以使学生对这一 部分的知识有更深的认识。部分的知识有更深的认识。 n 对字母意义的反复理解和体验对字母意义的反复理解和体验 也应是本节课教学的重点。也应是本节课教学的重点。 算术与代数有什么区别？ n算术是数的运算，代数是算术是数的运算，代数是“式式” 的运算。这是一个根本差别，是的运算。这是一个根本差别，是 学生从算术向代数的

13、一次飞跃。学生从算术向代数的一次飞跃。 实际上，用文字代表数只是表面实际上，用文字代表数只是表面 现象，根本内涵是现象，根本内涵是“未知数的符未知数的符 号号x x可以和数一样进行四则运可以和数一样进行四则运 算算”。小学数学研究小学数学研究张奠宙张奠宙 算术与代数有什么区别？ n算术有两种含义，一种是从中国传下算术有两种含义，一种是从中国传下 来的，相当于一般所说的来的，相当于一般所说的“数学数学”， 如如九章算术九章算术等。另一种是从欧洲等。另一种是从欧洲 数学翻译过来的，源自希腊语，有数学翻译过来的，源自希腊语，有 “计算技术计算技术”之意。作为现代小学课之意。作为现代小学课 程内容的算

14、术，主要讲的是自然数、程内容的算术，主要讲的是自然数、 正分数以及它们的四则运算，并通过正分数以及它们的四则运算，并通过 由计数和度量而引起的一些最简单的由计数和度量而引起的一些最简单的 应用题加以巩固。应用题加以巩固。 n作为中学数学课程主要内容的作为中学数学课程主要内容的 初等代数，其中心内容是方程初等代数，其中心内容是方程 理论。理论。 n代数与算术不同，主要区别在代数与算术不同，主要区别在 于代数要引入未知数，根据问于代数要引入未知数，根据问 题的条件列出方程，然后解方题的条件列出方程，然后解方 程求未知数。程求未知数。 算术与代数有什么区别？ 算术与代数有什么区别？ n韦达认为代数是

15、韦达认为代数是“类的算术类的算术”，把算，把算 术和代数加以区别。同时规定了算术术和代数加以区别。同时规定了算术 与代数的分界，认为代数运算施行于与代数的分界，认为代数运算施行于 事物的类或形式，算术运算实施于具事物的类或形式，算术运算实施于具 体的数。这就使代数成为研究一般类体的数。这就使代数成为研究一般类 型的形式和方程的学问，因而抽象并型的形式和方程的学问，因而抽象并 且应用的更加广泛。因此，韦达被西且应用的更加广泛。因此，韦达被西 方称为方称为“代数学之父代数学之父”。 新的感受和体会 n字母表示数最最重要和关键的地字母表示数最最重要和关键的地 方有两点：其一是表示变化的数方有两点：其

16、一是表示变化的数 以及未知数的思想，其二是含有以及未知数的思想，其二是含有 字母的式子不仅可以表示一个数字母的式子不仅可以表示一个数 量，还可以表示两个数量之间的量，还可以表示两个数量之间的 关系。这也是学生进一步学习方关系。这也是学生进一步学习方 程的关键所在。程的关键所在。 教什么？ n我的教学目标： n知识与技能：知道字母可以表示一个变化的数，知道 字母可以表示一个未知数，知道含有字母的式子不仅 可以表示一个数量还可以表示数量关系。 n过程与方法：经历从实际情境中抽象出数量关系和变 化规律，并能够用字母（式）表示，发展学生的符号 感和函数思想，具有初步的代数思想。 n情感态度和价值观。在

17、学习的过程中，感受数学应用 的广泛性，感受数学的简洁美，体验数学探索的艰辛 和成功后的精神愉悦。 刘加霞老师给我“泼”的冷水。 n“青蛙歌”教学的尴尬-关于学生对用字母 表示数理解水平的过程研究（小学教学 2007、5-6期）一文中指出：这节课教学的尴 尬在于：更多的学生，即使学了还是不能达 到高水平，而能够达到高水平的又不是老师 教的结果。 n而这里的高水平参照的是英国csms小组的研 究。该研究认为学生对用字母表示数的理解 有6种层次： n给字母附值。当学生看到一个字母以后 他们主动地赋予字母一个特定的值。 n忽略字母的意义。对字母不予考虑；根 本忽视字母的存在，或虽然承认它的存 在，但不

18、赋予意义。 n把字母当做物体。 n把字母当成特定的未知量。 n把字母当成广义的数。 n把字母当成变量。 刘加霞老师给我“泼”的冷水。 n刘加霞老师的结论： 1、学生对“用字母表示数”的理解水平基本处 于CSMS所提出的第二和第三种水平。 2、学生的理解过程十分复杂，常常是有时能达 到高水平的理解但有时又降到低水平，是 “一会明白，过一会儿又糊涂”的混沌状态。 3、不同学生之间理解水平的差异非常大。 4、“用字母表示数”是一个“核心概念”，学 生的理解不可能一次到位。 刘加霞老师给我“泼”的冷水。 冷静之后的细心思考： n用字母表示数不是那么简单的。尤其是对字 母表示变量的理解。字母式表示数量和

19、数量 关系的理解。 n是什么影响了学生对用字母表示数的理解水 平？用什么样的方式才能够提升学生对用字 母表示数的理解水平呢？ n什么样的练习能够真正考察学生对“用字母 表示数”的理解水平呢？是否我们能在短时 期内避免学生理解上的反复呢？ 给老师们的测试 n张桌子可以做（ ）人。 a个正方形要（ ）根小棒。 给老师们的测试 n结论：发现规律并不困难，真正困难的 地方在于如何用一个含有字母的式子表 示这个规律。也就是说描述和刻画这个 规律的能力是有差别的。 n启示：我们的课堂教学应充分的让学生 经历发现规律、描述规律、利用规律的 过程。尤其是对规律描述过程的关注。 这也正是用字母表示数的重点和关键

20、所 在。 对学生的课前测试 n请你用含有字母的式子填空。 1、有20千克面粉，每天吃x千克，这些面粉够吃（ ） 天。 2、爸爸买了5千克梨，花了m元，每千克梨（ ） 元。 3、师傅每天做b件衣服，比徒弟多做a件，徒弟每天 做（ ）件。 4、妈妈拿50元，买了一本新华字典花了n元， 还剩（ ）元。 5、果园里有苹果树y棵，杏树比苹果树的2倍多3棵， 杏树有（ ）棵。 对学生的课前测试 n测试结果：五年级正确率84%，六年级正确率 93.6%，四年级正确率73%。 n分析（1）四、五年级学生的确是把字母看成 一个物体，或者赋予字母一个值。说明学生对 用字母表示数的理解是在一个较低水平上。 （2）正

21、确率高的原因是因为学生经过多年的 算术学习对这些数量关系十分熟悉。现在的唯 一差别是数与字母。而学生明显的是把字母看 成了数。（3）在上用字母表示数时如果出这 样的练习，是不能有效地检测学生对用字母表 示数的理解水平的。 我重新确定教学目标： n知识与技能：体会字母可以表示一个变化的 数，体会字母可以表示一个未知数，感受含 有字母的式子不仅可以表示一个数量还可以 表示数量关系。 n过程与方法：经历从实际情境中抽象出数量 关系和变化规律，并能够用字母（式）表示， 发展学生的抽象思维能力，发展学生的符号 感和函数思想，具有初步的代数思想。 n情感态度和价值观。在学习的过程中，感受 数学应用的广泛性，感受数