第三章 连续信号与系统的频域分析1

1、第3章 连续信号与系统的频域分析 教学要求教学要求 熟练掌握一些常用傅里叶变换对,抽样定 理的频域解释 掌握傅里叶变换的定义和性质,周期信号 的傅里叶级数谱 运用傅里叶变换分析体统的响应 能够运用系统的频率函数分析系统特性 第3章 连续信号与系统的频域分析 变换域分析变换域分析就是选取完备的正交函数就是选取完备的正交函数 集来最佳逼近信号集来最佳逼近信号 ，或者说，信号，或者说，信号 用完备的正交函数集来展开，其展开系数用完备的正交函数集来展开，其展开系数 就是信号的变换表示。不同的变换域的区就是信号的变换表示。不同的变换域的区 别就在于选取不同的正交完备集。别就在于选取不同的正交完备集。 采

2、用变换域分析的目的：主要是简化分析采用变换域分析的目的：主要是简化分析 。这章付里叶变换主要从信号分量的组成。这章付里叶变换主要从信号分量的组成 情况去考察信号的特性。从而便于研究信情况去考察信号的特性。从而便于研究信 号的传输和处理问题。号的传输和处理问题。 )(tf )(tf 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.0 3.0 信号的分解信号的分解 3.1 3.1 信号的正交分解信号的正交分解 3.2 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 3.3 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 3.4 3.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换非周期信号的连续时间傅里叶变换 3

3、.5 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 3.6 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 3.7 3.7 连续信号的抽样定理连续信号的抽样定理 3.8 3.8 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 章节以及课时安排章节以及课时安排(共共14学时学时) 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.0信号的分解 1、直流分量与交流分量、直流分量与交流分量 )()()(tftftf AD 任一信号可唯一的分解为任一信号可唯一的分解为直流分量直流分量(DC)和和交流分量交流分量(AC) 2/ 2/ )( 1 )( lim T T T D dttf T tf 信号的均值信号的均值 例：单位阶跃

4、信号的直流分量和交流分量例：单位阶跃信号的直流分量和交流分量 2/ 2/ )( 1 )( lim T T T D dtt T tf 2/ 0 1 1 lim T T dt T 2 1 2 . 1 lim T T T )()()(tfttf DA 2 1 )(t 第3章 连续信号与系统的频域分析 信号的分解 2、偶分量与奇分量、偶分量与奇分量 任一信号可唯一的分解为任一信号可唯一的分解为偶分量偶分量(even)和和奇分量奇分量(odd) )()()(tftftf oe 2 )()( )( tftf tfe 2 )()( )( 0 tftf tf 偶信号的偶分量是其本身，奇分量为偶信号的偶分量是其

5、本身，奇分量为0 奇信号的奇分量是其本身，偶分量为奇信号的奇分量是其本身，偶分量为0 第3章 连续信号与系统的频域分析 信号的分解 3、实部分量与虚部分量、实部分量与虚部分量 任一复信号含有唯一确定的任一复信号含有唯一确定的实部分量实部分量和唯一确定的和唯一确定的虚部分量虚部分量 )()()(tjftftf ir 2 )()( )( * tftf tfr j tftf tfi 2 )()( )( * )()()( 2 2 2 tftftfi r 4、正交函数分量、正交函数分量 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.1 信号的正交分解信号的正交分解 2个条件 相互正交的矢量 在相互正交的矢量上垂

6、直投影 o Vc2V2 c1V1V1 V2 2 1 3.1.1 3.1.1 矢量的正交分解矢量的正交分解 第3章 连续信号与系统的频域分析 1. 正交矢量正交矢量 图 3.1-1 两个矢量正交 o V2 V1 90 第3章 连续信号与系统的频域分析 图 3.1-2 矢量的近似表示及误差 2121 VcVVe 1 V 2 V e V 212 Vc 1 V e V 212 Vc 最小 e V 2121 VcV 垂直投影垂直投影 第3章 连续信号与系统的频域分析 思考 什么时候向量V1垂直于V2? 答：由答：由V1向向V2引垂直投影引垂直投影C12V2为为0， 也就是系数也就是系数C12=0 第3章

7、 连续信号与系统的频域分析 cos 1212 VVc 所以最佳系数为 22 21 21 21 2 1 12 coscos VV VV VV VV V V c 当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1V2=0。 2121 VcVVe 垂直投影系数垂直投影系数 向量正交向量正交 第3章 连续信号与系统的频域分析 结论：结论： 1： 是是 引向引向 垂直投影垂直投影 2121 VcVVe 1 V 212V c 2 V 最小最小 此时此时 称为垂直投影系数称为垂直投影系数 12 c 2： 与与 正交正交 2 V 1 V 0 0 12 21221 c VcVV为的垂直投影向 第3章 连续信号与系统的

8、频域分析 2. 矢量的分解矢量的分解 图 3.1-3 平面矢量的分解 o Vc2V2 c1V1V1 V2 2 1 第3章 连续信号与系统的频域分析 2211 VcVcV 式中，V1V2=0。 22 2 2 2 2 11 1 1 1 1 cos cos VV VV V V c VV VV V V c 第3章 连续信号与系统的频域分析 图 3.1-4 三维空间矢量的分解 332211 VcVcVcV o V c3V3 c1V1 V1 V3 V2 c2V2 第3章 连续信号与系统的频域分析 上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交 的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集V1, V2,

9、 ，Vn 为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精 确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即 nnrr VcVcVcVcV 2211 式中，ViVj=0(ij)。 第r个分量的系数 rr r r VV VV c 第3章 连续信号与系统的频域分析 矢量正交分解的分析结论：矢量正交分解的分析结论： 1：有：有n个两两相互正交的矢量个两两相互正交的矢量 nr VVVV, 21 2：此时任意向量：此时任意向量 可近似表示为可近似表示为 V nnrr VcVcVcVcV 2211 3：当除了：当除了 nr VVVV, 21 中的向量外再也找不到中的向量外再也找不到 一个向量与一个向量与

10、nr VVVV, 21 中的向量每个都正交时中的向量每个都正交时 nnrr VcVcVcVcV 2211 完备正交矢量集上的正交分解完备正交矢量集上的正交分解 矢量正交分解矢量正交分解 n维正交矢量集维正交矢量集 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.1.2 信号的正交分解信号的正交分解 1. 正交函数正交函数 设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t) 成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为 dttfE tfctftf t t ee e 2 1 2 2121 )( )()()( 相互正交的信号相互正交的信号 信号的垂直投

11、影信号的垂直投影 第3章 连续信号与系统的频域分析 设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。 dttfctftfctf dttfctfdttfE t t t t t t ee 2 1 2 1 2 1 )()()()( )()()( * 2 * 1212121 2 2121 2 第3章 连续信号与系统的频域分析 计算垂直投影系数C12 简单假设两个信号均为实信号 dttfctf dttfctfdttfE t t t t t t ee 2 2121 2 2121 2 ) )()( )()()( 2 1 2 1 2 1 dttfctftfctf t t 2 1 )()()

12、(2)( 2 2 2 122112 2 1 欲使均方误差最小，则 0 12 c Ee t c dtfctftfctf c E t t e 12 2 2 2 122112 2 1 12 2 1 )()()(2)( 第3章 连续信号与系统的频域分析 dttfc c tftfc c tf c t t 2 1 )()()(2)( 2 2 2 12 12 2112 12 2 1 12 dttfctftf t t 2 1 )(2)()(20( 2 21221 0)(2)()(2 2 1 2 1 2 21221 t t t t dttfcdttftf 2 1 2 1 )( )()( 2 2 21 12 t

13、t t t dttf dttftf c 信号的垂直投影信号的垂直投影 第3章 连续信号与系统的频域分析 信号正交信号正交 第3章 连续信号与系统的频域分析 结论：结论： 1： 是是 引向引向 垂直投影垂直投影)( 1 tf)(),( 21210 tfctt区间在)( 2 tf 最小最小 1 0 1 0 2 2 * 21 12 | )(| )()( t t t t dttf dttftf c 2： 与与 正交正交 )( 2 tf)( 1 tf 1 0 1 0 0| )(| 0)()( 0 2 2 * 21 12 t t t t dttf dttftf c dttfE t t ee 2 1 2 )

14、( 第3章 连续信号与系统的频域分析 例例1： )2(1 )0(1 )( t t tf设矩形脉冲 试用正弦函数试用正弦函数sint 在区间（在区间（0，2 ）内）内 来近似表示此函数，使来近似表示此函数，使平平方误差最小方误差最小 。 4 1 2 t 0 1 4 )(tf 第3章 连续信号与系统的频域分析 tdt tdttf c 2 0 2 2 0 12 sin sin)( )sin(sin 1 2 0 dtttdt 4 所以所以 ttfsin)( 4 解：解：在区间在区间 内近似为内近似为)(tf ),(20tctfsin)( 12 第3章 连续信号与系统的频域分析 例例2 2：试用函数：试

15、用函数 在区间在区间 内近似表示内近似表示 ttfsin)(1),(20 ttfcos)(2 解解： 0 0 12 2 0 C tdtt sincos 也即也即costcost不包含不包含sintsint分量，或说分量，或说costcost与与sintsint正交。正交。 第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 信号的正交展开信号的正交展开 设有一函数集g1(t), g2(t)，gN(t)，它们定义在区间 (t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, ，N)都有 i j t t i K dttgtg 0 )()( * 2 1 ji ji 则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正

16、交函数集。 如果 1 0 )()( * 2 1 dttgtg j t t i ji ji 则称该函数集为归一化正交函数集归一化正交函数集。 第3章 连续信号与系统的频域分析 用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集gi(t)中各函数的 线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即 N i iiNNrr tgctgctgctgctgctf 1 2211 )()()()()()( 这种近似表示所产生的平方误差为 dttgctfE t t N i iie 2 1 2 1 )()( 第3章 连续信号与系统的频域分析 同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权 系数

17、cr应按下式选取： dttg dttgtf c t t r t t r r 2 1 2 1 2 * )( )()( 此时的平方误差为 dttgcdttfE t t N i t t iie 2 1 2 1 1 22 )()( (3.1-12) (3.1-13) 第3章 连续信号与系统的频域分析 3 3、用完备正交函数集表示信号、用完备正交函数集表示信号 如果用正交函数集如果用正交函数集 ， ， 在区间在区间 近似表近似表 示函数示函数 方均误差为方均误差为 若令若令 趋于无限大，趋于无限大， 的极限等于零的极限等于零 则此函数集称为完备正交函数集则此函数集称为完备正交函数集 )(tg1 )(tg

18、2 )(tgn),(21tt n r rrtgctf 1 )()( 2 1 1 2 )()( t t dttgctfE n r rr e n e E0lim e n E 定义定义1 1： 第3章 连续信号与系统的频域分析 定义定义2 2： 如果在正交函数集如果在正交函数集 之外，之外， 不存在函数不存在函数x x（t t） )(),(),(tgtgtgn21 2 1 2 0 t t dttx)( 满足等式满足等式0 2 1 t t dttgtxi)()( i i为任意整数为任意整数 则此函数集称为完备正交函数集则此函数集称为完备正交函数集。 第3章 连续信号与系统的频域分析 这有两层意思：这有

19、两层意思： 1 1，如果，如果x x（t t）在区间内与）在区间内与 正交，则正交，则x x（t t）必属）必属 于这个正交集。于这个正交集。 )(tgi 2 2，若，若x x（t t）与）与 正交，但正交，但 中不包含中不包含x x（t t），）， 则此集不完备。则此集不完备。 )(tgi)(tgi 第3章 连续信号与系统的频域分析 例例:(1) :(1) 三角函数集为完备正交函数集。三角函数集为完备正交函数集。 ,sin,sin,sin ,cos,cos,cos, tntt tntt 111 111 2 21 例例:(2):(2)复指数函数集复指数函数集 ),(210 1 ne tjn 是

20、一个复变函数集，也是完备正交函数集。是一个复变函数集，也是完备正交函数集。 第3章 连续信号与系统的频域分析 定理定理 3.1-1 设gi(t)在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t) 的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都 可以精确地表示为gi(t)的线性组合， 即 i ii tgctf)()(),( 21 tt 式中，ci为加权系数，且有 2 1 2 1 2 * )( )()( t t i t t i i dttg dttgtf c 式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级 数，ci称为傅里叶系数。 (3.1-14) (3.1-15) 信号正交展

21、开信号正交展开 第3章 连续信号与系统的频域分析 定理定理 3.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1- 13)式有 dttgcdttf t t i t t ii 2 1 2 1 22 )()( 式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和， 即能量守恒。定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理。 (3.1-16) 能力守恒定律能力守恒定律 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数周期信号的连续时间傅里叶级数 3.2.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数 三角函数集cosnt, sinnt|n=0,1,2,是一

22、个正交函数 集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2/是各个函数cosnt， sinnt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式： 第3章 连续信号与系统的频域分析 上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0=1, sin 0=0，而0 不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为 ,2sin,sin,2cos,cos, 1tttt Tdttdt Tt t Tt t 0 0 0 0 10cos 第3章 连续信号与系统的频域分析 tnbtbtb tnatata a tf n n sin2sinsin cos2coscos 2 )( 21 21 0 式中，=2/T称为基波角频率

23、，a0/2，an和bn为加权系数。 式(3.2 - 5)就是周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数 展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各 函数的周期T相同，故上述展开式在(-, )区间也是成立的。 第3章 连续信号与系统的频域分析 可得加权系数：可得加权系数： 第3章 连续信号与系统的频域分析 例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。显然，an为n的偶函数， bn为n的奇函数， 即 nn nn bb aa 第3章 连续信号与系统的频域分析 第3章 连续信号与系统的频域分析 当f(t)为t的奇函数时，则有f(t)cosnt为t的奇函数， f(t)sinn

24、t为t的偶函数，因而有： 第3章 连续信号与系统的频域分析 当f(t)为t的偶函数时，由于f(t)cosnt为t的偶函数，f(t) sinnt为t的奇函数。据式(3.2-13)有 即当f(t)为偶函数时，其傅里叶级数展开式中只可能有直流分 量及cos nt分量， 而无sin nt分量。 第3章 连续信号与系统的频域分析 2 1 0 0 sin)( 4 0 T t t nn tdtntf T ba， 的对称条件)(tf ），纵轴对称（偶函数)()(tftf ），半半周周镜镜像像（奇奇谐谐函函数数) 2 ()( T tftf ），半周重叠（偶谐函数)()( 2 T tftf ，原点对称（奇函数）)

25、()(tftf 展开式中系数特点 2 1 0 0 cos)( 4 0 T t t nn tdtntf T ab， 和偶次谐波无奇次谐波，只有直流 谐波分量无偶次谐波，只有奇次 周期信号的对称性与付立叶系数的关系。周期信号的对称性与付立叶系数的关系。 第3章 连续信号与系统的频域分析 )( )( tf tf下形式在一个周期内可写为如 0 2 2 2 0 2 t T t T E T tt T E 0nbtf是偶函数，故)( Etdt T E tdt T E T dttf T a T TT T )( 0 2 2 0 2 2 0 2222 . 1 出其频谱图求其傅立叶展开式并画 如图所示，有一偶函数，

26、其波形例 )(tf t TT 2 T 2 T E 解解: 第3章 连续信号与系统的频域分析 )( )( 11 2 2 n n E )( )( )( 为偶数 为奇数 n n n E 0 4 2 t T n n EE tf n 214 2 531 22 cos)( , E 2 4 E 2 9 4 E 2 25 4 E 0 1 1 1 3 1 5 nA sin 1 sin 8 ) 2 (cos 24 1 2 0 1 2 0 1 1 2 11 2 0 tdt n tn n t T E T tdtnt T E T a T T T n 第3章 连续信号与系统的频域分析 22 2T t T t T tf t

27、f )( )(下形式在一个周期内可写为如 0natf是奇函数，故)( )(tf t 1 T 出其频谱图求其傅立叶展开式并画 如图所示，有一奇函数，其波形例2 解解: 第3章 连续信号与系统的频域分析 t T n n tf n n 21 1 2 1 1 sin)()( 2 01 1 1 3 1 4 nA 1 3 2 2 1 1 2 1 2 0 1 2 1 1 1 2 1 2 0 11 2 0 ) 1( 2 )sin )( 1 cos( 8 sin 24 ) 2 (sin)( 4 n T T T n n tn n tn n t T tdtnt TT T tdtntf T b 第3章 连续信号与系统

28、的频域分析 )( )( tf tf下形式在一个周期内可写为如 42 4 2 44 4 24 4 2 T t T t T T t T t T T t T t T t )(tf T 2 T 4 T 1 2 T 0cos) 4 2(cos 4 cos) 4 2( 2 cos)( 2 1 2 4 1 4 4 1 4 2 2 2 1 tdtnt T tdtnt T tdtnt TT tdtntf T a T T T T T T T T n 出其频谱图求其傅立叶展开式并画 形如图所示，有一奇谐函数，其波例3 解解: 第3章 连续信号与系统的频域分析 sin) 4 2(sin 4 4 ) 2 (sin)(

29、4 1 2 4 1 4 0 11 2 0 tdtnt T tdtnt TT T tdtntf T b T T T T n 为偶数 为奇数 n n n n 0 ) 1( 8 2 1 22 2 sin 8 cos 4 )sin )( 1 cos( )sin )( 1 cos( 16 22 2 4 1 1 2 4 1 2 1 1 1 4 0 1 2 1 1 1 2 n n tn Tn tn n tn n t tn n tn n t T T T T T T 第3章 连续信号与系统的频域分析 、 21 21 1 8 2 12 1 2 jt T n n tf jn n sin)()( 2 8 0 1 1

30、nA 2 9 8 2 25 8 1 3 1 5 第3章 连续信号与系统的频域分析 4 T 2 T Tt E )(tf 0 0) 2 3 sin 2 (sin ) 2 sin 1 4 3 sin 1 4 sin 1 ( 2 )coscos( 2 4 3 2 4 0 nn n E T n n T n n T n nT E tdtnEtdtnE T a T T T n 出其频谱图求其傅立叶展开式并画 形如图所示，有一偶谐函数，其波例4 解解: 第3章 连续信号与系统的频域分析 、 21 2 sin 12 )( 2 jt T n n E tf jn )cos1 ( )cos 2 3 cos1 2 (c

31、os )sinsin( 2 4 3 2 4 0 n n E n nn n E tdtnEtdtnE T b T T T n 为偶数 为奇数 n n E n 2 0 E 0 2 nA 2 E 3 E 46 第3章 连续信号与系统的频域分析 信号的正交分解：信号的正交分解： 1： 是是 引向引向 垂直投影垂直投影)( 1 tf)(),( 21210 tfctt区间在)( 2 tf 1 0 1 0 2 2 * 21 12 | )(| )()( t t t t dttf dttftf c 2： 与与 正交正交)( 2 tf)( 1 tf 1 0 1 0 0| )(| 0)()( 0 2 2 * 21

32、12 t t t t dttf dttftf c 上次课程内容 第3章 连续信号与系统的频域分析 3：周期为：周期为T的信号的信号 在三角函数集上的正交展开在三角函数集上的正交展开)(tf 上次课程内容 11 0 sincos 2 )( n n n n tnbtna a tf dttf T a T )( 1 2 0 tdtntf T a Tn cos)( 2 tdtntf T b Tn sin)( 2 信号在信号在1上的分量，即直流成分上的分量，即直流成分 信号在信号在 上的分量上的分量tncos 信号在信号在 上的分量上的分量tnsin T 2 第3章 连续信号与系统的频域分析 上次课程内容

33、 )cos( 2 )( 1 0 n n n tnA A tf 22 nnn baA 信号的信号的n次谐波分量的次谐波分量的大小大小， 是关于是关于n的的偶偶函数函数 n n n a b ar tan 信号的信号的n次谐波分量的次谐波分量的相位相位， 是关于是关于n的的奇奇函数函数 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.2.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 T dtee tjm Tt t tjn 0 )()( 0 0 nm nm 式中，T=2/为指数函数公共周期，m、n为整数。 n tjn n tj tjtjtj eFeF eFeFeFFtf 2 2 1 2 210 )( 1、复指数

34、函数集-完备正交函数集 2、任意函数f(t)可在区间(t0, t0+T)内、周期 为T的函数在整个时间轴上用此函数集表示为 第3章 连续信号与系统的频域分析 式中，相关系数式中，相关系数Fn 第3章 连续信号与系统的频域分析 3、三角形式的傅里叶级数 与复指数形式的傅里叶级数的关系 )cos( 2 )( 1 0 n n n tnA A tf 1 )()( 0 2 1 2 n tnjtnj n nn eeA A nn j n tjn n n jtjn n eeAeeA A 11 0 2 1 2 1 2 nn j n tjn n n jtjn n eeAeeA A 11 0 2 1 2 1 2 n

35、n j n tjn n n jtjn n eeAeeA A 11 0 2 1 2 1 2 n jtjn n n eeA 2 1 欧拉公式欧拉公式 nn nn AA 变量替换变量替换 n tjn n eA 2 1 ,.2 , 1n ,.2 , 1 , 1, 2,.n 第3章 连续信号与系统的频域分析 思考 以下说法正确的是 A. 周期信号在 上可以在三角函数集和复指 数函数集上正交展开 B. 非周期信号在 上可以在三角函数集和复指 数函数集上正交展开 C. 周期信号只能在 上可以在三角函数集和 复指数函数集上正交展开 D. 非周期信号只能在 上可以在三角函数集 和复指数函数集上正交展开 ),(

36、),( ),( 00 Ttt ),( 00 Ttt DA和 第3章 连续信号与系统的频域分析 n F 0 2 2 3 2 1 2 1 例：已知周期信号 的 在复制数函数集上的垂直投影系数Fn 如图所示，求 )(tf )(tf tttf2cos2cos43)( 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 或 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.3.1 周期信号的频谱 1、振幅频谱 的变化 2、相位频谱 的变化 nF nA n n 双边谱： 单边谱： n n nnnn FAAF 2 1 2 1 nn 第3章 连续信号与系统的频域分析 例例 3.3-1 ),306cos

37、(8 . 0)453cos(4 . 0 )202cos(2)10cos(31)( tt tttf 试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里 叶级数展开式。据 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tf 可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分别为二、 三、六次谐波频率。且有 第3章 连续信号与系统的频域分析 8 . 0 4 . 0 6 3 A A 30 45 6 3 其余 0 n A 2 3 2 1 A A 1 2 0 A 20 10 0 2 1 1 第3章 连续信号与系统的频域分析

38、图图 3.3-1 例例 3.3-1 信号的频谱信号的频谱 (a) 振幅谱；振幅谱； (b) 相位谱相位谱 An o23456 (a) 3 2 1 n o23456 (b) 15 30 45 10 20 45 30 3 2 0.4 0.8 第3章 连续信号与系统的频域分析 图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱 nn AF 2 1 nn 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.3.2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 0 )( E tf 22 , 22 2 T tt T t 当 当 图图 3.3-3 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 o t T 2

39、T2TT 2 2 2 T E f (t) 第3章 连续信号与系统的频域分析 周期矩形脉冲信号 f（t） 2 2 T t T：脉冲周期 ：脉冲宽度 E：脉冲幅度 第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数 f(t)是偶函数bn=0 E T 2 2 2 2 22 )( 2 0 T E Edt T dttf T T Ta 2 T ：三角函数公共周期 第3章 连续信号与系统的频域分析 )( 2 sin 2 sin 2 cos)( 2 2 2 T n Sa T E T n T n T E T n n E tdtntf T T T na 第二步：展成指数形式付里叶级数第二步：展成指数形式付里叶级数FSFS )

40、cos()( 2 )( 1 tn T n Sa T E T E tf n )cos() 2 ( 2 1 tn n Sa T E T E n ) 2 ( 1 2 2 n Sa T E dtE T eF tjn n e tjn n n Sa T E tf ) 2 ()( 函数的公共周期 称为为三: 2 T sin ()() t f tS t t 11 0 sincos 2 )( n n n n tnbtna a tf 第3章 连续信号与系统的频域分析 计算第一个振幅为零的谐波次数计算第一个振幅为零的谐波次数n n ) 5 1 (5 2 22 2 T T n T n T n 取即 带入得将令 5 2

41、E 2 4 23 45 An 幅度频谱图幅度频谱图 24 3 1 t t tSa sin )( 抽样函数 2 3 4 T 2 谱线间隔： ) 2 ( 2 n Sa T E A n 第3章 连续信号与系统的频域分析 a b tg n n n 1 0 an0 0an ) 2 ( 2 2 n Sa T E FeAAn j N n n n 0) 2 ( n Sa 0) 2 ( n Sa 0 Fn0 Fn0) 解解 图示信号f(t)可表示为 22 0 0 211 )( a j jj dteedteejF tjttjat 第3章 连续信号与系统的频域分析 。 1 1 )(tSgn 0 0 t t 5 求符

42、号函数Sgn(t)的频谱函数 )(tSgn t0 1 1 第3章 连续信号与系统的频域分析 当0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(j)当0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例例 3.4-4 所示信号的频谱函数为，从而有 22 2 j 考察例 3.4-4 所示信号f(t) at at e e tf)( 0 0 t t )0( 第3章 连续信号与系统的频域分析 0 )(F 0 2 2 )( 符号函数的频谱频谱 第3章 连续信号与系统的频域分析 由阶跃函数(t)的波形容易得到 解解 )( 2 1 2 1 )(tSgnt 从而就可更为方便地求出(t)的频谱

43、函数， 即 6 求阶跃函数(t)的频谱函数 第3章 连续信号与系统的频域分析 图 3.4-8 阶跃函数及其频谱 (a) (t)的波形； (b) 频谱 t o (t) (a) 1 R() o (b) () X() 1 1 第3章 连续信号与系统的频域分析 思考 0 )( at e tf 0 0 t t )0( j jF 1 )( 做 极限得到 的傅里叶变换怎么做？)0()(t 第3章 连续信号与系统的频域分析 图 3.4-5 信号(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号(t); (b) (t)的频谱 F(j) o f (t) t (a) o 1 (b) (t) 7 求单位冲激函数(t)的频谱函数。

44、第3章 连续信号与系统的频域分析 解解 1)()( dtetjF tj detf tj 1 2 1 )( 可见，冲激函数(t)的频谱是常数1。也就是说，(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号(t)实际上是无法实现的。 第3章 连续信号与系统的频域分析 8、直流信号的傅立叶变换 图图 3.4-6 直流信号f(t)及其频谱 (a) 直流信号f(t); (b) 频谱 o (a) o 1 (b) 2() f (t) F(j) 对比冲击信号和只留信号的频谱可得出一下结论： 时域持续时间越宽，其频域的频谱越窄时域持续时间越宽，其频域的频谱越窄 时域持续时间越窄，其频

45、域的频谱越宽时域持续时间越窄，其频域的频谱越宽 第3章 连续信号与系统的频域分析 解解 直流信号1可表示为 1)(tft dtejF tj 1)( 第3章 连续信号与系统的频域分析 表表 3.1 常用傅里叶变换对常用傅里叶变换对 第3章 连续信号与系统的频域分析 续表续表 第3章 连续信号与系统的频域分析 上次课内容 dejFtf tj )( 2 1 )( dtetfjF tj )()( 傅里叶正变换傅里叶正变换 傅里叶逆变换傅里叶逆变换 傅里叶变换对傅里叶变换对 1、傅里叶变换定义 )()(jFtf 3、非周期信号的频谱 )( )()( eFjF 2、奇偶 偶函数。 奇函数。 频谱是实偶函数

46、频谱是实偶函数 频谱是纯虚奇函数频谱是纯虚奇函数 第3章 连续信号与系统的频域分析 4、常用的傅里叶变换对 ) 2 ()( SatG j te t 1 )( j tSgn 2 )( j t 1 )()( 1)(t )(21 第3章 连续信号与系统的频域分析 3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数 函数的积分， 即 第3章 连续信号与系统的频域分析 1. 线性线性 若 ),()(),()( 2211 jFtfjFtf 且设a1, a2为常数，则有 )()()()( 22112211 jfajfatfatfa 第3章 连续信号与系统的频域分析

47、2. 时移性时移性 若f(t) F(j)， 且t0为实常数(可正可负)，则有 0 )()( 0 tj ejFttf 此性质可证明如下。 dtettfttfF tj )()( 00 )()( )()( 00 0 )( 0 jFedtefe dtefttfF tjtjtj ttj 时域平移，则频域相移时域平移，则频域相移 第3章 连续信号与系统的频域分析 例例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。 图 3.5-1 例 3.5-1 的图 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱 t o (a) 1 () o (b) 2 4 4 2 2 f (t) 第3章 连续信号与系统的频域分析

48、解解 第3章 连续信号与系统的频域分析 3. 频移性频移性 时域乘三角函数或复指数函数，则频域发生搬移时域乘三角函数或复指数函数，则频域发生搬移 第3章 连续信号与系统的频域分析 1、复制数信号的、复制数信号的 傅里叶变换傅里叶变换 tj e 0 )(2 . 0 )( 0 00 dte dteeeF tj tjtjtj 0 0 )2( 0t j eF 0 )( 第3章 连续信号与系统的频域分析 2、正弦信号的、正弦信号的 傅里叶变换傅里叶变换 )cos( 0t )( 2 1 )cos( 00 0 tjtj eet )()( )( 2 1 )cos( 00 0 00 tjtj eeFtF 0 0

49、 0 )()( )cos( 0t F 0 )( 第3章 连续信号与系统的频域分析 3、正弦信号的、正弦信号的 傅里叶变换傅里叶变换 )sin( 0t )( 2 1 )sin( 00 0 tjtj ee j t )()( )( 2 1 )sin( 00 0 00 j ee j FtF tjtj 0 0 0 )()( )sin( 0t F 0 )( 2 2 第3章 连续信号与系统的频域分析 频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t, 从而 得到f(t) cos 0t或f(t) sin 0t 的信号(信号的调制)。因为 调制的频域解释调制的频域解释 第3章 连续信号与系统的频

50、域分析 c c )(jF 0 A c 0 0 c 00 c 0 c 0 0 )cos()( 0t tfF 2 A 第3章 连续信号与系统的频域分析 4. 尺度变换尺度变换 时域压缩，则频域扩展时域压缩，则频域扩展 第3章 连续信号与系统的频域分析 当a0时： 第3章 连续信号与系统的频域分析 图 3.5-3 信号的尺度变换 F1(j) (b) f1(t) t0 1 0.5 (a) o40.5 2 F2(j) (d) f2(t) t0 1 0.2 (c) o0.21010 0.2 1 4 . 0 55 第3章 连续信号与系统的频域分析 尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反 比。在通信

51、系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压 缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。 在尺度变换性质中， 当a=-1时，有 )()(jFtf 也称为时间倒置定理倒置定理。 第3章 连续信号与系统的频域分析 解解 此题可用不同的方法来求解。此题可用不同的方法来求解。 的傅里叶变换求例：)(),()(batfjFtf 第3章 连续信号与系统的频域分析 (2) 先利用尺度变换性质，有先利用尺度变换性质，有 第3章 连续信号与系统的频域分析 5. 对称性对称性 第3章 连续信号与系统的频域分析 图3.5-4 取样函数 及其频谱)( tSa (a) 0 o 1 (b) t 11 22 g2()

52、 Sa(t) 1 第3章 连续信号与系统的频域分析 6. 时域卷积时域卷积 时域卷积对应频域乘积时域卷积对应频域乘积 第3章 连续信号与系统的频域分析 在时域分析中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加 信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t), 则有 )()()(thtfty f 在频域分析中，若知道F(j)=Ff(t)，H(j)=F h(t)， 则据卷积性质可知 )()()(jFjHtyF f )(jH描述的是系统的频率响应特性， 与单位冲击响应是一对傅氏变换对 第3章 连续信号与系统的频域分析 H() o K (a) () o (b) td 无失真传输系统： H() o td 1 c

53、 c () 理想低通系统：允许小于允许小于 的频率成分通过的频率成分通过 c 允许所有的频率成分通过允许所有的频率成分通过 第3章 连续信号与系统的频域分析 7. 频域卷积频域卷积 时域乘积对应频域卷积时域乘积对应频域卷积 第3章 连续信号与系统的频域分析 应用频移性质，可知 第3章 连续信号与系统的频域分析 8. 时域微分时域微分 第3章 连续信号与系统的频域分析 例如，我们知道 , 利用时域微分性质显然有 1)(t jt )( 此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数， 对应于频域 中用j乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求 傅里叶变换， 即可将微分方程变换成代数方程。从理

54、论上讲， 这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。 此性质还可推广到f(t)的n阶导数， 即 )()( )( jFj dt tfd n n n 第3章 连续信号与系统的频域分析 9. 时域积分时域积分 第3章 连续信号与系统的频域分析 时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频 谱函数中直流分量的频谱密度为零。 =0 第3章 连续信号与系统的频域分析 第3章 连续信号与系统的频域分析 12. 帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理 设 , 则)()(jFtf dFdttf 2 2 )( 2 1 )( 在周期信号码傅里叶级数计论中，我们曾得到周期信号的帕塞 瓦尔定理，即 dFdttf

55、 T n T T 2 2 2 2 )()( 1 第3章 连续信号与系统的频域分析 dttfW)( 2 一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零， 但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总 能量W为 非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域 中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于 2 )(jF 是 的偶函数，因而（3 5-19）还可写为 djFdjFdttfW 22 2 )( 1 )( 2 1 )( 第3章 连续信号与系统的频域分析 2 )( 1 )( jFG 非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成 的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号

56、能量在 频率分量上的分布情况，与频谱密度函数相似，引入 个能量 密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱G（ ）为各频率点 上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部 能量为 dGW)( 0 与式（3。5-20） 第3章 连续信号与系统的频域分析 表表 3.2 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 第3章 连续信号与系统的频域分析 上次课程内容 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 )()()()(: 22112211 jfajfatfatfa线性 0 )()(: 10 tj ejFttf 时移 )()(: 0 0 jFetf tj 频移 )( 1 )(: a jF a atf 尺度变换 )(2)

57、(:fjtF对称 第3章 连续信号与系统的频域分析 上次课内容 )(*)( 2 1 )().( )()()(*)(: 2121 2121 jFjFtftf jFjFtftf 卷积 d jdF tjtf jFj dt tdf )( )( )( )( : 微分 第3章 连续信号与系统的频域分析 举例 的傅里叶变换求 2 2sin.sin t tt 2 2sin.sin t tt t t t t2sin . sin 2 . 2 2sin . sin t t t t )2().(2tSatSa ) 2 ()( SatG 对称性 )(2)(2) 2 ( GG t Sa 第3章 连续信号与系统的频域分析

58、)(2)(2 2 GtSa 根据线性，两边同除以根据线性，两边同除以2 2有有2 令令 )()( 2 GtSa )(2)2(4 4 GtSa 4令令 根据线性，两边同除以根据线性，两边同除以4 4有有 )( 2 )2( 4 GtSa 根据频域卷积特性有根据频域卷积特性有 )( 2 *)(. 2 1 . 2)2()(2 42 GGtSatSa 第3章 连续信号与系统的频域分析 其他, 0 31),3( 2 11, 13),3( 2 )(*)( 2 42 GG 第3章 连续信号与系统的频域分析 1、 求图 3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(j)。 图图 3.6-1 周期矩形脉冲

59、信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 复振幅Fn; (c) 频谱函数F(j) f (t) t o 2 T 1 2 T (a) Fn o (b) T 2 o (c) 2 F(j) 2 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 第3章 连续信号与系统的频域分析 解解 周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为 )( 2 2 n n Sa T n ), 2, 1, 0(n 第3章 连续信号与系统的频域分析 2、周期冲击串序列 n T nTtt)()( -2T T 0 T 2T t )(t T )1( 解：1) 的傅里叶级数)(t T dtet T F tjn Tn )( 1 T dtt T

60、 dtet T dtet T T T T T tjn T T 1 )( 1 )( 1 )( 1 2 2 0 2 2 2 2 n F T 1 20 2 第3章 连续信号与系统的频域分析 tjn n tjn n nT e T eFt 1 )( 2) 的傅里叶变换)(t T 1 )( tjn n T e T FtF . 1 1 tjn n eF T n nn n n T n T )( )( 2 )(2 1 0 2 )( )(tF T )()( t T 第3章 连续信号与系统的频域分析 一般周期信号的频谱 )( 0 tf E 2 0 2 t )(tf 1 T 1 T E 2 0 2 t -2T T 0