管网技术经济计算课件

1、 管网的优化设计，应该考虑到四个方面：管网的优化设计，应该考虑到四个方面： 即即保证供水所需的水量和水压保证供水所需的水量和水压，水质安全水质安全， 可靠性可靠性( (保证事故时水量保证事故时水量) )和和经济性经济性。 管网技术经济计算管网技术经济计算就是以经济性为目标函就是以经济性为目标函 数，而将其余的作为约束条件，据此建立数，而将其余的作为约束条件，据此建立 目标函数和约束条件的表达式，以求出最目标函数和约束条件的表达式，以求出最 优的管径或水头损失。优的管径或水头损失。 管网技术经济计算主要是管网技术经济计算主要是在考虑各种设计在考虑各种设计 目标的前提下，求出一定设计年限内，管目标

2、的前提下，求出一定设计年限内，管 网建造费用和管理费用之和为最小时的管网建造费用和管理费用之和为最小时的管 段直径或水头损失，也就是段直径或水头损失，也就是求出经济管径求出经济管径 或经济水头损失。或经济水头损失。 在进行技术经济计算之前，事先必须完成下列工作：在进行技术经济计算之前，事先必须完成下列工作：确定确定 水源位置，完成管网布置，拟定泵站工作方案，选定控制水源位置，完成管网布置，拟定泵站工作方案，选定控制 点所需的最小服务水头，算出沿线流量和节点流量等点所需的最小服务水头，算出沿线流量和节点流量等。 管网建造费用管网建造费用中主要是中主要是管线的费用，与管材、管长和管径管线的费用，与

3、管材、管长和管径 有关有关，包括水管及其附件费用和挖沟埋管、接口、试压、，包括水管及其附件费用和挖沟埋管、接口、试压、 管线消毒等管线消毒等施工费用施工费用。由于泵站、水塔和水池所占费用很。由于泵站、水塔和水池所占费用很 小，一般忽略不计。小，一般忽略不计。 管理费用管理费用中主要是供水所需中主要是供水所需动力费用动力费用。动力费用随泵站的。动力费用随泵站的 流量和扬程而定，扬程则决定于控制点要求的最小服务水流量和扬程而定，扬程则决定于控制点要求的最小服务水 头，以及输水管和管网的水头损失等。头，以及输水管和管网的水头损失等。水头损失又和管材、水头损失又和管材、 管段长度、管径、流量有关管段长

4、度、管径、流量有关。 管网定线后，管网定线后，管段长度已定，此时若选定管材，则管段长度已定，此时若选定管材，则建造费建造费 用和管理费用仅决定于流量或管径。用和管理费用仅决定于流量或管径。 在管网技术经济计算时，先进行流量分配，然后采用优化在管网技术经济计算时，先进行流量分配，然后采用优化 的方法，写出以流量、管径的方法，写出以流量、管径( (或水头损失或水头损失) )表示的费用函数表示的费用函数 式，求得最优解。式，求得最优解。 第一节第一节 管网年费用折算值管网年费用折算值 目标函数和约束条件：目标函数和约束条件： 头损失。制点的任一条管线的水于流量和管网起点到控为供水动力费用，取决 第二

5、项和折旧大修费用之和；全部管线的年费用折算上式中，第一项为管网 则 ，分别等于：和折旧大修费中，包括动力费每年管理费用 。，则用为：每米长度管线的建造费 管网每年管理费用。管网建造费用；管网年费用折算值； 计算时的目标函数， 术经济管理费用，它是管网技年计的管网建造费用和管网年费用折算值是按 ij0 ijij ijij2 ij0p 1 21 ijijij hHgQ E76. 801. 0LbDa t 1 100 p W LbDa 100 p M hHgQ E76. 801. 0 1000 gQH E3652401. 0M MMM LbDaCbDac MCW M t C W 目标函数和约束条件目

6、标函数和约束条件 。失总和，的任一条管线的水头损从管网起点到控制点；水泵静扬程， ；重力加速度，；水的密度， ；网前水塔的管网为水塔的管网为水塔管网的输水管或无 中型城市可参照：网前供水能量变化系数。；投资偿还期， ；管段长度，计；修费，以管网造价的每年扣除的折旧和大 效率较低；，水泵功率小的泵站，泵站效率，一般为 ；二级泵站扬程， ；输入管网的总流量，；电费，分；管径 件而异；水管材料和当地施工条式中的系数和指数，随单位长度管线造价公 mhmH s/81m. 9ggL/1kg 75. 05 . 04 . 01 . 0 at mL%p 85. 055. 0 mH s/LQkWh/Em,D ,

7、hHgQ E76. 801. 0LbDa t 1 100 p W ij0 2 ij P ij ij0 ijij ba 目标函数和约束条件目标函数和约束条件 。费用折算值或目标函数上式为压力供水时的年 则：时每年的电费（分）。，表示令 ， 为常量，则：，上式中 值或目标函数如下：量部分，得年费用折算将上式简化，只取其变 ijijij0 p ij ijij0 0 ij ij 0 ijijij ij0 ijij hPQLbD t 100 pW 1mHs/1LQ g E76. 8P hgQ E76. 8LbD t 100 pW gQH E76. 8aL t 100 p hgQ E76. 8 gQH E

8、76. 8LbD t 100 paL t 100 p100W hHgQ E76. 801. 0LbDa t 1 100 p W p压力供水时的目标函数压力供水时的目标函数 目标函数和约束条件目标函数和约束条件 ijij0 ijijij0 LbD t 100 pW hPQLbD t 100 pW 数为：条件确定，这时目标函管网建造费用为最低的由充分利用位置水头使 径仅项可略去不计，经济管动力费，上式中的第二重力供水时，无需抽水 p重力供水时的目标函数重力供水时的目标函数 目标函数和约束条件目标函数和约束条件 p约束条件约束条件 。：应大于最小服务水头任一节点的自由水压 ；许流速时的流量：管段流量

9、应大于最小允 回路矩阵，式中 ，环 个能量方程：）（ 衔接矩阵，式中 ；，；节点，管段 个连续性方程：）（ 约束条件： acac minj k ij HHHH4 qq3 PLL L.21k0Lh L2 P1-JA 1-J,.2 , 1iP.21j0QAq 1-J1 技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 技术经济计算中，未知量为管段流量技术经济计算中，未知量为管段流量q qij ij和 和 管径管径D Dij ij，这两者之间并没有直接的联系， ，这两者之间并没有直接的联系， 但是当管段但是当管段q qij ij和 和D Dij ij已定时，水头损失值等 已定时，水头损失值等 于：于

10、：h hij ij=kq =kqij ijn nl lijij/D /Dij ijm m 因此年折旧费用因此年折旧费用W W0 0值可看作是值可看作是q qij ij和 和D Dij ij 或 或q qij ij 和和h hij ij的函数， 的函数，但但以应用流量以应用流量q qij ij和水头损失 和水头损失 h hij ij的关系来分析比较简便。 的关系来分析比较简便。 m ij m ij m 2 ij m ij m 1 ij m 1 ij m n ij m 1 ijij 1 ij n ij m ij lhqkD, 2nlhqkDlhkqD 则若 技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的

11、变量关系 函数的极值。究值才为最小，为此须研损失），函数（经济管径和经济水头 值为最小时和行分析。只有在求得还是最小值等，需要进时才有极值，是最大值 和是否有极值，在何种至于目标函数经济计算的基础公式。上式是管网技 ，则：，带入取公式中的若 00 ijij ijij0 ij m m ij m ij m 2 ij m 0 ij m ij ij n ij ij m ij ij n ij ij ijijij0 WW hq hqW术 hPQlhqbk t 100 pW D2n D lkq h D lkq h ,hPQLbD t 100 pW 技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 经济管径。

12、流量未分配时不得求得而不是最小，这就是说 求得的极值为最大极大值），因此通过（二阶导数小于零，有则 ，则得：，值，如取和根据一般的 ； ； 和二阶导数分别为：配），则无约束的一阶作为变量（即流量未分 看作是常数，变量例如两个变量，将其中一个和目标函数中包括 0 q W 0 q W 4 . 0 33. 5 33. 56 . 12 m m2 33. 5m6 . 1m lhqbk m m2 m 2 t 100 p q W lhqbk m 2 t 100 p q W q hhq hPQlhqbk t 100 pW ij 0 2 ij 0 2 m m ij m ij m 2m2 ij m 2 ij 0

13、2 m m ij m ij m m2 ij m ij 0 ij ijijij ij m m ij m ij m 2 ij m 0 技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 可以得求得经济管径。这就是说流量已分配时 求得的极值为最小，极小值），因此通过（二阶导数大于零，有则 ，则得：，值，如取和根据一般的 ； ； 和二阶导数分别为：配），则无约束的一阶看作是常数（流量已分如将目标函数中的 0 q W 0 q W 3 . 1 33. 5 33. 56 . 1 m m 33. 5m6 . 1m lhqbk m m mt 100 p h W PQlhqbk mt 100 p h W q hPQ

14、lhqbk t 100 pW ij 0 2 ij 0 2 m m ij m 2m ij m 2 ij m 2 ij 0 2 m m ij m m ij m 2 ij m ij 0 ij ij m m ij m ij m 2 ij m 0 技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 分配。也就是最不经济的流量 值，的所得的流量相应于最大或水力坡度已定，由如管段的水头损失 济管径。值的经济水头损失或经所得的是相应于最小流量已分配时，由 的极小值。也就是说就可求出目标函数即流量已分配时已知如各管段的流量 0 ij 0 ij 0 ij 0 0ij W0 q W h W0 h W W,q 技术经济

15、计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 以图所示的一环管网来分析以图所示的一环管网来分析W W0 0值。值。 如两条管段平均分配流量，即如两条管段平均分配流量，即Q Q1 1=Q=Q2 2=Q/2=Q/2，则得最大的，则得最大的W W0 0值。值。 如将全部流量如将全部流量Q Q分到一条管段，即分到一条管段，即Q Q1 1Q Q，Q Q2 20 0时，得到的时，得到的 是最小的是最小的W W0 0值，这时环状网就转化成树状网。值，这时环状网就转化成树状网。 对环状网流量分配的研究结果认为，对环状网流量分配的研究结果认为，将环状网转化为树状将环状网转化为树状 网时，才可得到最优的流量分配。网时

16、，才可得到最优的流量分配。 但是同一环状网，可以去除不同部位的管段而得到各种形但是同一环状网，可以去除不同部位的管段而得到各种形 状的树状网，从这些不同的树状网中可选出最经济流量分状的树状网，从这些不同的树状网中可选出最经济流量分 配的树状网。配的树状网。 技术经济计算中的变量关系技术经济计算中的变量关系 从经济的观点，环状网的造价比树状网高，从经济的观点，环状网的造价比树状网高， 可是为了供水的可靠性，不得不多花些费可是为了供水的可靠性，不得不多花些费 用而采用环状网。用而采用环状网。 对现有的对现有的和和m m值，值，环状网只有近似而没有环状网只有近似而没有 优化的经济流量分配优化的经济流

17、量分配，只有树状网才有优，只有树状网才有优 化的经济流量分配。所以目前管网计算时，化的经济流量分配。所以目前管网计算时， 只有从实际出发，先拟定初始流量分配，只有从实际出发，先拟定初始流量分配， 然后采取优化的方法求得经济管径。然后采取优化的方法求得经济管径。 第二节第二节 输水管的技术经济计算输水管的技术经济计算 p压力输水管的技术经济计算压力输水管的技术经济计算 下图所示的从泵站到水塔的压力输水管，由下图所示的从泵站到水塔的压力输水管，由 1212、2323、3434、4545管段组成。管段组成。 压力输水管的技术经济计算压力输水管的技术经济计算 m 1 1n ij m 1 n ijij

18、m 1 n ij m n ij m 1 m 1 m n ij m 1 m 1 ij n ij m ij 1m ijij n ijij 1 ij 1m ijij n ijij 1 ij ij 0 m ijij n ijijij0 m ij ij n ij ijijijij0 fQDfQqD b t 100 p mPk ff fQqqQfqQ b t 100 p mPk D Qq b t 100 p mPk DDlmPQkqLbD t 100 p 0DlmPQkqLbD t 100 p D W DlPQkqLbD t 100 pW D lkq hhPQLbD t 100 pW 时，当输水管全线流量

19、不变 。种经济指标的综合参数经济因素，是包括多 则 ，则对每一管段求导数，又 ，按式算值为最小的经济管径为求每一管段年费用折 压力输水管的技术经济计算压力输水管的技术经济计算 最小的经济管径。求得的是年折算费用为或所以由 ，有极小值。则，通常 则 m 1 1n ij m 1 n ijij 2 ij 0 2 2m ijij n ijij 2 ij 2 ij 0 2 1m ijij n ijij 1 ij ij 0 m ijij n ijijij0 fQDfQqD 0 D W ,33. 5m6 . 1 DlPQkq1mmLbD t 100 p1 D W 0DlmPQkqLbD t 100 p D

20、W DlPQkqLbD t 100 pW 管径。求出输水管各段的经济按式 值，即可用管段流量指标，算出经济因素根据当地各项技术经济 m 1 n ijij fQqD f 压力输水管的技术经济计算压力输水管的技术经济计算 p按每米长管线建造费按每米长管线建造费 用公式用公式c=a+bDc=a+bD 中系 中系 数数a a值的求法：值的求法： 将管径和造价的对应关将管径和造价的对应关 系点绘在方格纸上，如系点绘在方格纸上，如 右图，将各点连成光滑右图，将各点连成光滑 曲线，并延伸到和纵坐曲线，并延伸到和纵坐 标相交，交点处的标相交，交点处的D D0 0， 则则c=ac=a。 压力输水管的技术经济计算

21、压力输水管的技术经济计算 p每米长管线建造费用公式每米长管线建造费用公式 c=a+bDc=a+bD 中系数 中系数b b，指数，指数 值的求法：值的求法： 将将c=a+bDc=a+bD 两边取对数，得 两边取对数，得 lg(c-a)=lgb+lgD,lg(c-a)=lgb+lgD,将对应的将对应的D D 和和c-ac-a值绘在双对数坐标纸上，值绘在双对数坐标纸上， 则则c-ac-a与与D D成直线关系，如右图成直线关系，如右图 所示。当所示。当D=1D=1时（时（lgD=0lgD=0），）， lg(c-a)=lgblg(c-a)=lgb，此时的此时的c-ac-a值就值就 是是b b；直线的斜率

22、就是；直线的斜率就是。从而从而 得出单位长度管线的建造费用得出单位长度管线的建造费用 公式公式c=a+bDc=a+bD 。 。 重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算 重力输水系统靠重力输水，不需要供水动重力输水系统靠重力输水，不需要供水动 力费用，因此技术经济计算问题是求出利力费用，因此技术经济计算问题是求出利 用现有水压用现有水压H(位置水头位置水头)并使管线建造费用并使管线建造费用 为最低的管径。为最低的管径。 m ij m m ij m n ij m m ij ij n ij ij0 ij m 1 ij ij n ij ij m ij ij n ij ij ijij0 hlq

23、kb t 100 p h lkq bL t 100 pW D, h lkq D D lkq h LbD t 100 pW 算公式中，得：的式子带入到年费用折将，则又 算值公式为：重力输水管的年费用折 重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算 重力输水管的优化设计就是在充分利用现有水压重力输水管的优化设计就是在充分利用现有水压 条件下条件下( (即输水管的总水头损失即输水管的总水头损失hhij ij等于可利用 等于可利用 的水压的水压H)H)，求，求W W0 0为最小值时的水头损失或管径，为最小值时的水头损失或管径， 可用拉格朗日条件极值法求解，于是问题转为求可用拉格朗日条件极值法求解，

24、于是问题转为求 下列函数的最小值下列函数的最小值( (以以3 3条管段的输水管为例条管段的输水管为例) )： F(h)=WF(h)=W0 0+(H+(Hh h12 12 h h23 23 h h34 34) ) 为常数。为常数。 W W0 0最小，最小，H Hh h12 12 h h23 23 h h34 34=0 =0时，时， F(h)F(h)最小。最小。 也就是说求得也就是说求得F(h)F(h)的最小值，也就是求得的最小值，也就是求得H=hH=h12 12+ + h h23 23+h +h34 34= h = hij ij（充分利用现有水压）条件下的 （充分利用现有水压）条件下的 W W0

25、 0最小值。最小值。 重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算 m m ij m m ij m n ij m m m 43 m m 43 m n 43 m 4-3 m m 32 m m 32 m n 32 m 3-2 m m 21 m m 21 m n 21 m 2-1 ij 4332210 m ij m m ij m n ij m m ij ij n ij ij0 hlqbk t 100 p m 0hlqbk t 100 p mh hF 0hlqbk t 100 p mh hF 0hlqbk t 100 p mh hF hhF ,hhhHWhF hlqkb t 100 p h lkq

26、 bL t 100 pW 解得： 零，得：的偏导数，并令其等于对求函数 为常数，其中 重力输水管的技术经济计算重力输水管的技术经济计算 定各管段的直径。常数。根据该式即可选即 也为常数。为常数。则则 也为常数。为常数，则为常数， 值相同。，一般，输水管各管段的 ij m n ij ij m n ij m m m m ij m n ij m m ij m n ij m m ij m n ij m m ij m n ij m m ij ij m n ij m m ij ij m n ij m m ij m m ij m n ij m m ij m m ij m n ij m m m ij m m

27、ij m n ij m i q i q i q i q i q iq l h q h l qhlq hlqbk t 100 p m tpmkb hlqbk t 100 p m 重力输水管的技术经济计算例题重力输水管的技术经济计算例题 重力输水管由重力输水管由1212和和2323两段组成。两段组成。l l12 12=500m =500m， q q12 12 150L/s150L/s； l l23 23=650m =650m，q q23 23 25L/s25L/s。起点。起点1 1 和终点和终点3 3的高差为的高差为H=HH=H1 1H H3 35m5m，求输水管各段的，求输水管各段的 管径。管径

28、。 0027.00065.0 150 25 i q q i0065.0i 5650 150 25 i500i Hli q q liHli i q q i i q i q 5.0 m n 8.133.5m2n i q 21 21 32 3221 2121 2121 21 32 2121ijij 21 21 32 32 32 32 21 21 ij m n ij ，得允许水力坡度： ：将已知数据带入上式得 ，则又有 则有： ，则，常数， 重力输水管的技术经济计算例题重力输水管的技术经济计算例题 。输水管总水头损失为： ，；， 和实际水力坡度如下：，该例题所选用的管径得管径和实际水力坡度 允许水力坡

29、度，力坡度小于计算所得的水力计算表中的实际水中的水力计算表，控制 常用资料册，查给水排水设计手算所得的允许水力坡度按照各管段的流量和计 5mH3.74m0.0017636500.005182500h 001763. 0i250mmD005182. 0i400mmD 1 32322121 重力输水管的技术经济计算例题重力输水管的技术经济计算例题 在选用管径时，在选用管径时，应取相近而较大的标准管径（使计算所得应取相近而较大的标准管径（使计算所得 允许水力坡度大于水力计算表中的实际水力坡度），允许水力坡度大于水力计算表中的实际水力坡度），以免以免 控制点的水压不足，但是，为了有效地利用现有水压，整

30、控制点的水压不足，但是，为了有效地利用现有水压，整 条输水管中的一段或二段可以来用相近而较小的标准管径。条输水管中的一段或二段可以来用相近而较小的标准管径。 从式从式(721)(721)可知，可知，流量较大的一段管径，水力坡度可较流量较大的一段管径，水力坡度可较 大即水头损失可较大（使水力计算表中的实际水力坡度在大即水头损失可较大（使水力计算表中的实际水力坡度在 小于计算所得的允许水力坡度的前提下较接近于计算所得小于计算所得的允许水力坡度的前提下较接近于计算所得 的允许水力坡度，如管段的允许水力坡度，如管段1212），因而选用相近而较小的），因而选用相近而较小的 标准管径（水力坡度越大，单位长

31、度的水头损失就越大，标准管径（水力坡度越大，单位长度的水头损失就越大， 所选择的管径就越小）；所选择的管径就越小）； 流量较小的管段，水力坡度较小即水头损失较小（使水力流量较小的管段，水力坡度较小即水头损失较小（使水力 计算表中的实际水力坡度在小于计算所得的允许水力坡度计算表中的实际水力坡度在小于计算所得的允许水力坡度 的前提下较远离于计算所得的允许水力坡度，如管段的前提下较远离于计算所得的允许水力坡度，如管段22 3 3），可用相近而较大的标准管径（水力坡度越小，单位），可用相近而较大的标准管径（水力坡度越小，单位 长度的水头损失就越小，所选择的管径就越大）长度的水头损失就越小，所选择的管径

32、就越大） ，目的，目的 在于使输水管的总水头损失尽量接近于可利用的水压。在于使输水管的总水头损失尽量接近于可利用的水压。 p起点水压未给的管网起点水压未给的管网 管网技术经济计算时，既可以求经济管径，管网技术经济计算时，既可以求经济管径， 也可以求经济水头损失。实用上，求经济也可以求经济水头损失。实用上，求经济 水头损失水头损失h hij ij较为方便，而经济管径可从 较为方便，而经济管径可从h hij ij 求得。求得。 管网技术经济计算的原理，基本上和输水管网技术经济计算的原理，基本上和输水 管相同，只是在求函数管相同，只是在求函数W W0 0的极小值时，还应的极小值时，还应 符合每环符合

33、每环hh0 0的水力约束条件。的水力约束条件。 第三节第三节 管网技术经济计算管网技术经济计算 以图所示的环状网为例，图中已表明节点流量、以图所示的环状网为例，图中已表明节点流量、 管段流向和进入管网的总流量管段流向和进入管网的总流量Q Q，H H9 9为控制点的水为控制点的水 压标高。压标高。 管网的管段数管网的管段数P P1212，节点数，节点数J J9 9，环数，环数L L4 4。未。未 知的管段流量知的管段流量q qij ij和水头损失 和水头损失h hij ij数各为 数各为1212，共计，共计2424 个未知量。个未知量。 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 因管网起点的水压标高

34、因管网起点的水压标高H H1 1未知，但控制点的水压未知，但控制点的水压 标高标高H H9 9已知，因此有下列关系：已知，因此有下列关系： H H1 1HH9 9hh19 19 式式hh19 19中是指从节点 中是指从节点1 1到控制点到控制点9 9任一条管线的任一条管线的 水头损失总和。这里，水头损失须根据水流方向水头损失总和。这里，水头损失须根据水流方向 采用正值或负值，如选定的管线为采用正值或负值，如选定的管线为1236912369， 则式则式H H1 1HH9 9hh19 19 可表示为： 可表示为： H H1 1=h=h12 12+h +h23 23+h +h36 36+h +h69

35、 69+H +H9 9 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 p拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数Z=f(x,y)Z=f(x,y)在附加条件在附加条件(x,y)=0(x,y)=0下下 的可能极值点，可以先构成辅助函数的可能极值点，可以先构成辅助函数 F(x,y)=f(x,y)+(x,y)F(x,y)=f(x,y)+(x,y)，其中，其中为某一为某一 常数。求辅助函数对常数。求辅助函数对x x与与y y的一阶导数，并使的一阶导数，并使 之为零，然后与方程之为零，然后与方程(x,y)=0(x,y)=0联立起来：联立起来： 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 0, 0, 0, yx y

36、xyxf yxyxf yy xx 本例中应用拉格朗日乘数法本例中应用拉格朗日乘数法 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 济水头损失。联立，求解各管段的经 及并使之为零，并与方程 的一阶导数，函数对各管段水头损失就转化为，求上述辅助求经济水头损失的问题 已知的约束条件。拉格朗日未定乘数； 成辅助函数：下的可能极值点，先构 及各环能量方程 在附加条件，就是要找函数 0HhhhhHf0hf h f ,f ,f ,f ,f, fffffWhF 0HhhhhHf0hf HHPQHlhqbk t 100 pW 9966332 v L 211H L ijL ij H43214321 HH443322110

37、 9966332 v L 211H L ijL 91911 m m ij m ij m 2 ij m 0 H h 将上式中的辅助函数将上式中的辅助函数F(h)细化，得：细化，得： 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 求辅助函数求辅助函数F(h)对水泵扬程对水泵扬程H1和各管段水头损失和各管段水头损失hij的偏导的偏导 数，并令其等于零，得：数，并令其等于零，得： 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 由式（由式（726726），（），（727727），（），（729729）消）消 去去 , ,H H 得： 得： 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 等，得简化方程组。，用同样方法也可以消去

38、，则上式可简化为：，令 v m 4141 m 2121 m m ij m n ijij m m m m 21 m 21 m n 21 m m 41 m 41 m n 41 m m 21 m 21 m n 21 m m 41 m 41 m n 41 m 0AQhaha lqa kb t 100 p mP A 0Q kb t 100 p mP lhqlhq 0PQlhqlhqk m b t 100 p mm mm mm 得简化方程组为：得简化方程组为： 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 从上式看出，每一方程表示一个节点上的管段关系，例如节点从上式看出，每一方程表示一个节点上的管段关系，例如节点

39、5 5的方程表的方程表 示了该节点上管段示了该节点上管段2525，4545，5656，5858的关系。各节点方程的形式类的关系。各节点方程的形式类 似于管网水力计算中节点流量平衡的条件，即包括了该节点上的全部管段，似于管网水力计算中节点流量平衡的条件，即包括了该节点上的全部管段， 并且在并且在流向该节点的管段前标以负号，离开该节点的管段标以正号流向该节点的管段前标以负号，离开该节点的管段标以正号，所以，所以 称为称为节点方程节点方程。 节点方程共有节点方程共有J1J1个（个（9-1=89-1=8个，无控制点个，无控制点9 9的节点方程），加上的节点方程），加上L L个能量个能量 方程方程hhi

40、j ij 0 0，共计，共计P PJ+L1J+L1个方程，可以求出个方程，可以求出P P个管段的水头损失个管段的水头损失h hij ij。 。 为求各管段的经济水头损失为求各管段的经济水头损失hij值，须解上值，须解上 述非线性方程，比较简单的解法说明如下。述非线性方程，比较简单的解法说明如下。 将上式各项除以将上式各项除以A，得：，得： 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 . 0 hahaha 0Q haha m 5252 m 3232 m 2121 m 4141 m 2121 AAA AA mmm mm 0 x0 xxx0QxQxQx2 1x1xx0Q-QxQx1 42710 x1Q x

41、QxQx ha ij523221523221 ij41214121 ij ijijij m 或，：其余节点，例如节点 或，）：的节点可概括为：起点（图中 之间，则式值在时，各管段的为总流量虚流量，当通过管网的 可称为的比例。总流量用以表示该管段流量占表示，用设 A m ijij 经济水头损失公式经济水头损失公式 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 m m m m ij m n ij m m ij m m m m ij m n ij ij m m ij m m m m ij m n ij ij ij m m ij m n ij m m m ij m n ij ij m mm m ij m n

42、ij m ij ij m ij Q xlq Qx lq h Qx lq h Qx lq h lq Qx h Q hlq Q ha x Qx ha Px AA A A A AA A m ij m ij m ij m ijij m ijij ：则经济水头损失公式为 ，则。由于数等于管段数未知的虚流量 经济管径公式经济管径公式 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 管段流量。进入管网的总流量；。则有： 带入。将，则 ，又由于由于 两式联立得：又有 ij m 1 n ijijij m 1 n ijij m m m 1 n ijij m 1 m 1 ij m m m m m m m m m m 1 n

43、ijij m m m 1 n ijij m 1 m 1 ij m 1 m 1 m 1 ij m n ij m 1 ij m m m m m m ij m nm ij m ij m m m m n ij m m ij m n ij m ij m m m m ijij m n ij m ij ij n ij m ij ij n ij ij m m m m ijij m n ij m m ij m m m m ij m n ij ij qQQqfxD QqAxkQqxkDAkfAkffkA b t 100 p mPk fk b t 100 p mPk kb t 100 p mP A QqAxkQqx

44、kDQxqkD QxkqDQkqxqD Q xlq D lq k D lq kh Q xlq Qx lq h A AA AA A AA 经济管径公式经济管径公式 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 上式即为起点水压未给时或需求出二级泵站扬程上式即为起点水压未给时或需求出二级泵站扬程 时的环状网经济管径公式。时的环状网经济管径公式。 压力输水管时压力输水管时，因此时各管段，因此时各管段x xij ij=1 =1， 沿线流量有输出即沿线流量有输出即QqQqij ij，则 ，则D Dij ij=(fQq =(fQqij ijn n) )1/+m 1/+m； ； 沿线无流量输出时沿线无流量输出时Q=

45、qQ=qij ij，则 ，则D Dij ij=(fQ =(fQn+1 n+1) )1/+m1/+m。 。 经济水头损失及经济管径公式经济水头损失及经济管径公式 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 上述两式即为起点水压未给的管网的经济水头损上述两式即为起点水压未给的管网的经济水头损 失和经济管径计算公式。失和经济管径计算公式。 上述两式中已按照上述两式中已按照q qi i+q+qij ij=0 =0的条件分配流量而得的条件分配流量而得 q qij ij， ，A A、f f和和Q Q也是已知值，也是已知值，因此在求各管段的经因此在求各管段的经 济水头损失或经济管径时，只须求虚流量济水头损失或经济

46、管径时，只须求虚流量x xij ij值。 值。 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 p虚流量虚流量xij值的求解值的求解 的方程。流量为已知，问题转为解虚和长度因各管段的流量 条件：因此上式只须满足以下 ，值相同，均为同一常数，由于各管段 失应满足能量方程：每环中各管段的水头损 ijijij m m ijij m n ij m m m m m m ijij m n ij ij xlq 0 xlq Q0 Q xlq h A A 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 p虚流量虚流量xij值的求解值的求解 ij m m ij m m ij m m ijij m n ij m m ijij m m

47、m m ijij m n ij ij m m ijij m n ij m m ijij m m ijij m n ijij m n ij m m ijij m n ij m m ijij m n ij ijij ijiji hQhQh hxlqxSh Q xlq h xlqxShh xlqSlq0 xlq 0 xlq 0 x1x 0h0qq AA A 倍，即：的是经济水头损失 可以看出，虚水头损失和比较 表示，得：损失，以 称为虚水头表示，称为虚阻力，用中的 应地将式失平衡的条件，因此相看作是每环内虚水头损将式 条件，虚流量的节点流量平衡 的关系，看成是，其余节点网起始节点的条件相对照，可将管

48、 （能量方程）（节点方程）和足与管网水力计算时须满 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 p虚流量虚流量xij值的求解值的求解 求虚流量求虚流量x xij ij须先进行流量分配（分配时虚 须先进行流量分配（分配时虚 流量方向和实际流量分配时相同，除起点流量方向和实际流量分配时相同，除起点 外（外（xxij ij =1 =1），其余节点应符合），其余节点应符合xxij ij =0 =0 的条件）；的条件）； 按虚流量进行计算，计算时应同时满足按虚流量进行计算，计算时应同时满足 xxij ij =0 =0 （虚节点方程）和（虚节点方程）和hh =0 =0 （虚能（虚能 量方程）的条件；量方程）的条

49、件； 计算虚流量计算虚流量x xij ij的校正流量 的校正流量x xij ij，对初分虚 ，对初分虚 流量进行校正，直至达到需要精度为止。流量进行校正，直至达到需要精度为止。 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 p虚流量虚流量xij值的求解值的求解 虚流量虚流量x xij ij的校正流量 的校正流量x xij ij的求解 的求解 m 2m ijij m n ij m m ijij m n ij 1 m m ijij m n ij ij ij m m ijij m n ij m m ijij 1 -n ijij i i xlq m m xlq xlq m m h x ,xlqxSh qsn

50、h q 则： 校正流量公式为： 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 求得各管段的虚流量求得各管段的虚流量xij后，带入下面两个后，带入下面两个 公式，就可得到该管段的经济水头损失和公式，就可得到该管段的经济水头损失和 经济管径。经济管径。 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 以进入管网的总流量为以进入管网的总流量为1，初分虚流量，初分虚流量xij； 虚流量虚流量xij满足满足起点起点xxij ij =1 =1，其余节点应符，其余节点应符 合合xxij ij =0 =0 的条件；的条件； 按照管网平差的方法，进行各环水力计算，按照管网平差的方法，进行各环水力计算， 计算各环虚闭合差，从而求出

51、各环虚校正计算各环虚闭合差，从而求出各环虚校正 流量；流量； m 2m ijij m n ij m m ijij m n ij 1 m m ijij m n ij ij ij xlq m m xlq xlq m m h x 起点水压未给的管网起点水压未给的管网 初分虚流量初分虚流量 虚校正流量，得校正一次以虚校正流量，得校正一次以 后的虚流量，重新进行水力计算，直至各环后的虚流量，重新进行水力计算，直至各环 虚闭合差满足要求为止，得最终虚流量虚闭合差满足要求为止，得最终虚流量xij； 求得各管段的最终虚流量求得各管段的最终虚流量xij后，带入下面两后，带入下面两 个公式，就可得到该管段的经济水

52、头损失和个公式，就可得到该管段的经济水头损失和 经济管径。经济管径。 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 水源位于高地水源位于高地( (例如蓄水库例如蓄水库) )依靠重力供水的管网，或从现依靠重力供水的管网，或从现 有管网接出的扩建管网，都可以看作是起点水压已给的管有管网接出的扩建管网，都可以看作是起点水压已给的管 网。网。 求经济管径时须满足每环求经济管径时须满足每环hhij ij 0 0的水力条件和充分利用的水力条件和充分利用 现有水压尽量降低管网造价的条件。现有水压尽量降低管网造价的条件。 管网年费用折算公式中，管网年费用折算公式中，可略去供水所需动力费用一项可略去供水所需动力费用一项

53、。 例如图所示的重力供水管网，因管网起点例如图所示的重力供水管网，因管网起点1 1和控制点和控制点9 9的水的水 压标高已知，所以压标高已知，所以1 1、9 9两点之间管线水头损失应小于或等两点之间管线水头损失应小于或等 于所能利用的水压于所能利用的水压H HH H1 1H H9 9，以选定路线，以选定路线1236912369 为例，有下列关系：为例，有下列关系： H=h H=hij ij=h =h12 12+h +h23 23+h +h36 36+h +h69 69 本例中应用拉格朗日乘数法本例中应用拉格朗日乘数法 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 济水头损失。联立，求解各管段的经 及并

54、使之为零，并与方程 的一阶导数，函数对各管段水头损失就转化为，求上述辅助求经济水头损失的问题 已知的约束条件。拉格朗日未定乘数； 成辅助函数：下的可能极值点，先构 及各环能量方程 ，在附加条件就是要找函数 0hhhhHf0hf h f ,f ,f ,f ,f, fffffWhF HH0hhhhHf0hf lhqbk t 100 pW 966332 v L 21H L ijL ij H43214321 HH443322110 91966332 v L 21H L ijL 12 1ij m m ij m ij m 2 ij m 0 H H 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 起点水压已给的管网和

55、起点水压未给的管起点水压已给的管网和起点水压未给的管 网相比，数学推导过程相同。网相比，数学推导过程相同。 差别在于，起点水压已给的管网，经济因差别在于，起点水压已给的管网，经济因 素素f值不同于起点水压未给的管网。值不同于起点水压未给的管网。 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 起点水压已给的管网经济因素起点水压已给的管网经济因素f值的确定值的确定 m m ij m m m m m m ij m m m m m m ij m m m m ijij m m m m ij ijij m m ij ij H hk Q 1 k QH h Akf f QH h H h Q H h Q Q h hHh

56、H Q h h 为：时，环状网的经济因素由此得出起点水压已给 则 的关系式中，得：等于总水头损失代入可利用水压 损失的关系：实际水头损失和虚水头 AAA A A 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 起点水压已给的管网经济管径公式起点水压已给的管网经济管径公式 m m ij m m m m m m ij m m m 1 n ijijij ij m 1 n ijij m 1 ij m 1 n ijij m m ij ij m 1 n ijijij m m ij m m m m m m ij m m H hk Q 1 k QH h Akf b t 100 p mPk ff QqfxD h qx H

57、 hk qx H hk D ,QqfxD H hk Q 1 k QH h Akf 不计动力费用起点水压已给的管网需 ；网需计入动力费用时，起点水压未给的管只是在求经济因素 求经济管径，式是已给的管网，均可用无论是起点水压未给或 。各管段虚水头损失总和控制点的选定管线上，的值是指从管网起点到 则 代入将 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 p起点水压已给的管网，在技术经济汁算时：起点水压已给的管网，在技术经济汁算时： 先求出各管段的虚流量先求出各管段的虚流量x xij ij; ; 虚流量平差，平差方法和起点水压未给的管网相虚流量平差，平差方法和起点水压未给的管网相 同；同； 求出从管网起点到控

58、制点的选定管线上虚水头损求出从管网起点到控制点的选定管线上虚水头损 失总和失总和hh ij，根据各管段分配的流量 ，根据各管段分配的流量q qij ij、最终 、最终 虚流量虚流量x xij ij以及可以利用的水压 以及可以利用的水压H H，代入下式求经济，代入下式求经济 管径。管径。 m 1 n ijij m 1 ij m 1 n ijij m m ij ij qx H hk qx H hk D 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 以进入管网的总流量为以进入管网的总流量为1，初分虚流量，初分虚流量xij； 虚流量虚流量xij满足满足起点起点xxij ij =1 =1，其余节点应符，其余节点

59、应符 合合xxij ij =0 =0 的条件；的条件； 按照管网平差的方法，进行各环水力计算，按照管网平差的方法，进行各环水力计算， 计算各环虚闭合差，从而求出各环虚校正计算各环虚闭合差，从而求出各环虚校正 流量；流量； m 2m ijij m n ij m m ijij m n ij 1 m m ijij m n ij ij ij xlq m m xlq xlq m m h x 起点水压已给的管网起点水压已给的管网 初分虚流量初分虚流量 虚校正流量，得校正一次以虚校正流量，得校正一次以 后的虚流量，重新进行水力计算，直至各环后的虚流量，重新进行水力计算，直至各环 虚闭合差满足要求为止，得最终

60、虚流量虚闭合差满足要求为止，得最终虚流量xij； 求出从管网起点到控制点的选定管线上虚水求出从管网起点到控制点的选定管线上虚水 头损失总和头损失总和hh ij，根据各管段分配的流量 ，根据各管段分配的流量 q qij ij、最终虚流量 、最终虚流量x xij ij以及可以利用的水压 以及可以利用的水压H H， 代入下式求经济管径。代入下式求经济管径。 m 1 n ijij m 1 ij m 1 n ijij m m ij ij qx H hk qx H hk D 第四节第四节 近似优化计算近似优化计算 因为设计流量本身的精确度有限，而且计算所得因为设计流量本身的精确度有限，而且计算所得 的经济