湘教版九年级上册数学全册教学课件（2021年8月修订）

1、湘教版九年级上册数学 全 册 教 学 课 件全 册 教 学 课 件 1.1 反比例函数 第1章 反比例函数 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知 条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点) 学习目标 ？ ？ 导入新课导入新课 情境引入 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x/元 1.522.5357.5 购买的笔记 本数量y/本 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？ 你还能举出这样的例子吗？ 2015121064 ？ 讲授新

2、课讲授新课 反比例函数的概念一 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有， 请写出它们的解析式. 合作探究 (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速 度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 1463 .v t (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为1.68104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化. 4 1.68 10 .S n 1000 .y x 观察

3、以上三个解析式，你觉得它们有什么共 同特点？ 问题： 1463 v t ， 1000 y x ， 4 1.68 10 .S n 都具有 的形式，其中 是常数分式分子 (k为常数，k 0) 的函数， 叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 一般地，形如 k y x 反比例函数 (k0) 的自变量 x 的取值范 围是什么？ k y x 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例 函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确

4、定的值与其对应. 1463 v t 反比例函数除了可以用 (k 0) 的形式 表示，还有没有其他表达方式？ k y x 想一想： 反比例函数的三种表达方式：(注意 k 0) k y x 1 ykx xyk 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 练一练 1 3yx 3 x y 1 11 y x 31yx 2 1 y x 是， 1 11 k 2 2 4 k yk x 解得 k =2. 4 .y x 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根 据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的解

5、析式. 2 2 4 k yk x 所以 4k2=0， k20. 解：因为 是反比例函数 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须满足 . (2)(1)kk y x 2. 当m= 时， 是反比例函数. 2 2 m yx k2 且 k1 1 练一练 确定反比例函数的解析式二 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. k y x 解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 k y x 6. 2 k 解得 k =12. 因

6、此 12 .y x (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 ，得 12 y x 12 3. 4 y 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一 般步骤：设出含有待定系数的反比例函数解析式， 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程；解方程，求出待定系 数； 写出反比例函数解析式. 练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=3时，y=4，所以有 k y x 4. 3 k 解得 k =12. 因此 12 .

7、y x (2) 把 y=6 代入 ，得 12 y x 12 6. x 解得 x =2. 例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa 是它的受力面积S m2的反比例函数，如图. （1）求p与S之间的函数表达式； （2）当S=0.5时，求p的值. 解：（1）设 （k0）， 因为函数图象过点（0.1,1000）, 代入上式，得 解得k=100. 所以p与S的函数表达式是 ； （2）当S=0.5时， S k p p s O 0.1 1000 1 . 0 1000 k S p 100 .200 5 . 0 100 p 建立简单的反比例函数模型三 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机

8、 在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野 变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数 解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以 k f v 80. 50 k 解得 k =4000. 因此 4000 .f v 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它 的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指

9、出它是什么函数.A B C D 练一练 解:因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 1 180. 2 ABCD Sxy 菱形 所以变量 y与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 360 y x 当堂练习当堂练习 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；底面半 径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3； 用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的 半径为 y cm；在水龙头前放满一桶水，出水的 速度为 x，放满一桶水的时间 y A. 1个 B. 2个 C.

10、3个 D. 4个 B A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( )A 1 2 y x 2 1 y x 1 2 y x 1 1y x 3. 填空 (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . (2) 若 是反比例函数，则m的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数，则m的取值范围 是 . 1m y x m 1 2m m y x m 0 且 m 2 2 1 2 mm m y x m = 1 4. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值 1 k y

11、 x 4 3 1 k 16 1 y x 16 2. 7 1 y 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车假设小明每天上学时的平均速 度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min ) (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： (t0) 1000 v t (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 1254085 ( m/min ) 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t25 时， ； 1000 40 25 v 当 t

12、8 时， . 1000 125 8 v 能力提升： 6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =3；当 x =1 时，y = 1， 求： (1) y 关于 x 的关系式； 解：设 y1 = k1(x1) (k10)， (k20)， 2 2 1 k y x 则 . 2 1 1 1 k ykx x x = 0 时，y =3；x =1 时，y = 1， 3=k1+k2 ， 2 1 1 2 k ， k1=1，k2=2. 2 1. 1 yx x (2) 当 x = 时，y 的值. 1 2 解：把 x = 代入 (1) 中函数关

13、系式，得 y = 1 2 11. 2 课堂小结课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 谢谢大家 1.2 反比例函数的图象与性质 第1章 反比例函数 第1课时反比例函数的图象与性质 )0( k x k y 学习目标 1.了解反比例函数图象绘制的一般步骤并学会绘制 简单的反比例函数图象 2.了解并学会应用反比例函数 图象的基 本性质(重点、难点) )0(k x k y 导入新课导入新课 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函 数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 复习引入 反比例函数的图象和性质一 讲授

14、新课讲授新课 例1 画反比例函数 与 的图象. 合作探究 6 y x 12 y x 提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 描点连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0. 解：列表如下： x654321123456 6 y x 12 y x 1 1.2 1.5 2 3 6 6 32 1.5 1.2 1 2 2.4 3 4 6643 2.4 2 O2 描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 634156 1 2 3 4 5 6 6 y x 连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得 的图象 6 y

15、 x 12 y x 方法归纳 绘制反比例函数的图象与绘制一次函数 的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比 例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线 条自然，图象是延伸的，注意不要画成有明 确端点曲线的发展趋势只能靠近 坐标轴,但不能和坐标轴相交 观察这两个函数图象，回答问题：思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？ k y x 由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交； 在每个象限内，y 随 x

16、的增大而减小. 反比例函数 (k0) 的图象和性质： k y x 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 3 y x 2. 已知反比例函数 的图象过点(2，3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 y2B. y1 = y2 C. y1 5，可知y1，y2的大小关系. 6 y x 2 7 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所

17、以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 1 2 2 4 4 5 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. k y x 6 2 k 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . 12 y x (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例2 如图，是反比例函数 图象的一支.

18、根据 图象，回答下列问题： 5m y x 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m50， 解得m5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时， y1y2. 2已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是_. x m y 2 2m 当堂练习当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( ) 8 y x A.

19、 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 3.在反比例函数(k0)的图象上有两点A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ) 且x1x20，则y1-y2的值为 ( ) A正数 B负数 C非正数 D非负数 x k y B 4. 已知反比例函数 y = mxm5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m25=1， m0， 解得 m=2. 5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3) (1) 求这个函数的表达式； k y x 解： 反比例函数 的图象经过点

20、A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， k y x 3 2 k 解得 k = 6. 这个函数的表达式为 . 6 y x (2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上 (3) 当 3 x 0， 当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3 x 1 时，6 y 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k ”“

21、”或“=”). 0还是k0 （2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该 函数上的两点，试比较y1、y2的大小. x y o 因为点A（-3，y1），B（-2，y2） 是该图像上的两点，且-30，-20， 所以点A，B都位于第三象限.又因为 -3y2 例4：若双曲线y = 的两个分支分别在第二、 四象限，则 k 的取值范围是( ) A. kB. k C. k= D.不存在 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四 象限，则必有2k-10，解得k .故选B. x k12 2 1 2 1 2 1 B 1 2 例5 已知反比例函数 ，y 随 x 的增 大而增大，求a的值. 2 7 1 aa

22、 yax 解：由题意得a2+a7=1，且a1”“”或“=”） x y 2 解析：由题意知该反比例函数位于第二、 四象限，且y随着自变量x的增大而增大， 故y1 0k 0 时，两条曲线分别位于第一、三 象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四 象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 复习引入 问题1 问题2 反比例函数解析式中 k 的几何意义一 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 4 y x 合作探究 5 1 2 3 4 1 5 x y O P P (2，2

23、) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想 S1， S2 与 k 的关系 4 y x 4 4 S1=S2 S1=S2=k 54321432 3 2 4 5 1 Q S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想与 k 的关系 P (1，4) Q (2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4 y x 4 y x 4 4S1=S2S1=S2=k y x O P Q 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直 于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|

24、. x k y y x O P S 我们就 k 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B 点 P (a，b) 在函数 的图 象上， k y x ，即 ab=k. k b a S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k； 若点 P 在第二象限，则 a0， 若点 P 在第四象限，则 a0，bSBSC B. SASBSC C. SA =SB=SC D. SASC0) 图像上的任意两点， 过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 POA 的面积 为 S1，则 S1= ；梯形CEAD 的面积为

25、S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 典例精析 4 y x 2 S1 S2 S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 S3 练一练 解析：由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交于点 F，连接 OF，易知， SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为 S1 = S2 0 b 0 k1 0 k2 0 b 0 合作探究

26、 x y Ox y O k2 0 b 0 k1 0 k2 0 x y O k1 0 x y O 例4 函数 y=kxk 与 的图象大致是 ( ) )0( k x k y D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k0 k0 k0 k0 由一次函数增 减性得k0 由一次函数与y 轴交点知k0， 则k0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可 对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a0) 的图象可能是 ( ) a y x A. y x O B. y x O C. y xO D. y xO B

27、 练一练 例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的 图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为 . 2 3 y x0 2 x 3 2 m y x 解析：y1y2 即一次函数 图象处于反比例函数图象 的上方时. 观察右图，可 知2 x 3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大 小更加简洁明了. 练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b (k10) 的图象与反比 例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1y2时，x 的取值范围是 2 2 k y x 1 2 y x0 A B 1 x 2 例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交 于点 P (3，

28、4).试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)， 则点 P (3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 . 2 k y x 所以 ， . 1 43k 2 4 3 k 解得 ， . 1 4 3 k 2 12k P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 4 3 yx 12 y x 这两个图象有何 共同特点？你能 求出另外一个交 点的坐标吗？说 说你发现了什么？ 想一想： 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的 图象的交点坐标为 12 y x

29、 (2，6)，(2，6) 解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 练一练 例7 已知 A(4， )，B(1，2)是一次函数 y= kx+b 与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数 解析式及 m 的值. m y x 1 2 解：把A(4， )，B(1，2)代入 y = kx + b中，得 1 2 4k + b = ， 1 2 k + b =2， k = ， 解得 b = ， 1 2 5 2 所以一次函数的解析式为 y = x + . 1 2 5 2 把 B (1，2)代入 中，得 m =12=2. m y x 当堂练习当堂练习 A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定 1. 如图所示， P 是

30、反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) k y x OB A P x y A 2. 如图，函数 yx 与函数 的图象相交于 A， B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 x y 4 D y xO C A B D 3. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析 式是_ x k y 3 y x 4. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数

31、(x0) 交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b 的解集是_ 2 k y x 2 k x 1x5 O B A x y 15 x y O B A 5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式； k y x 所以一次函数的解析式为 y = 4x2. 把A，B两点坐标代入一次函数 解析式中，得到a =4，b =2. 解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y =4时，m= . 2 y x 1 2 (2) 求不等式 ax + b 的解集. k x x y O B A

32、解：根据图象可知，若 ax + b ， k x 则 x1或 x0. 1 2 6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 8 y x 解： 8 y x ， y=x + 2 ， 解得 x = 4， y =2 所以A(2，4)，B(4，2). 或 x = 2， y = 4. 作ACx轴于C，BDx轴于D， 则AC=4，BD=2. (2) 求AOB的面积. 解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， OM=2. O A y B x M C D SOMB=OMBD2=222=2， SOMA=OMAC2=242=4

33、， SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6. 课堂小结课堂小结 面积问题面积不变性 与一次函 数的综合 判断反比例函数和一次函数在 同一直角坐标系中的图象，要 对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 中心对称图形， 其与正比例函数的交点关于原 点中心对称 反比例函数图象和 性质的综合运用 谢谢大家 1.3 反比例函数的应用 第1章 反比例函数 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问

34、题确定自变量的取值范围 导入新课导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长a是宽b的反比 例函数，其函数解析式可以写为 (S 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式 实例： 函数解析式： 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 S a b 2S y x (S0) 的反比例函数 ； 讲授新课讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用一 引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板 的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的 道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木 板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的

35、压强p (Pa)将 如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计600N，那么 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比 例函数吗？为什么？ 由p 得p p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应 的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义， 则p是S的反比例函数 S F600 , S (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？ 当S0.2m2时， p 3000(Pa) 答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa 20 600 . (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象 图象如下 当 p6000 Pa时，S 0.1m2

36、0.10.5O0.60.30.20.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 2 m p/Pa S/ 例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， S 关于d 的函数解析式为 4 10 .S d 典例精析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S =

37、 500 代入 ，得 4 10 S d 4 10 500 d ， (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m. 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 4 10 S d 4 10 15 S， 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问

38、相反 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C.D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升1立方分米)的圆锥形漏斗 (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： 3 .S d (2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？ 解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少?

39、解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载 完毕恰好用了8天时间. (1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示：根据平均装货速度装货天数=货物的总量， 可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货 速度=货物的总量卸货天数，得到 v 关于 t 的函 数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =308=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 240 .v t (2) 由于遇到紧急情

40、况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 240 v t 240 48.v t 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心， 这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走 (1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： 1200 .y x (2) 若每辆拖拉机一天能运 12

41、 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解：x =125=60，代入函数解析式得 1200 20. 60 y 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这 样的拖拉机要用 20 天才能运完. (3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200860=720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 7206=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：12012=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机105=5 (辆

42、). 例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：806=480 (千米) 答：甲、乙两地相距 480 千米. (2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt=480， 整理得 (t 0). 480 v t 例4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力 臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 反比例函数在其他学科中的应用一 解：根据“杠杆原理”，得 Fl

43、 =12000.5， F 关于l 的函数解析式为 600 .F l 当 l=1.5m 时， 600 400. 1.5 F 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. 600 F l (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 600 F l 解：当F=400 =200 时，由200 = 得 1 2 600 l 600 3 200 l， 3001.5

44、=1.5 (m). 对于函数 ，当 l 0 时，l 越大，F越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 600 F l 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一 定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比 例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 61025 牛顿 (即阻力)， 阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请 你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把 地球撬动？ 由已知得Fl610252106 =1.21032 米， 当 F =500时，l =2.41029 米， 解： 2000 千米 = 210

45、6 米， 练一练 变形得： 32 1.2 10 .F l 故用2.41029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例5 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110 220 . 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如 图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 2 220 .p R (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 2 220 4

46、40 110 p ； 2 220 220. 220 p 因此用电器功率的范围为220440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R U I R 例6 已知某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（） 三者之间有如下关系：U=IR，且该电路的电压U恒为 220V (1) 写出电流 I 与电阻 R 的函数关系式； (2) 当电流 I0.5 时，求电阻 R 的值 解：(1) 因为U=IR，且U=220V ， 所以IR=220 ， 即该电路的电流I关于电阻R的函数表

47、达式为 220 .I R (2) 因为该电路的电阻R=220， 所以通过该电路的电流 （A） . 220 =1.1 200 I (3) 如图所示，如果该电路接入的是一个滑动变阻器， 怎样调整电阻R，就可以使电路中的电流I增大？ 根据反比例函数 图像及性质可知，当滑动 变阻器的电阻R减小时， 就可以使电路中的电流I 增大. 220 I R ， R/ I/A O 当堂练习当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边 长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1O 4 1

48、4 D. C 2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系为 . (2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2， 则面条的总长度是 cm. 20 yS S 0 2000 3. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是_ (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于_ 240千米/时 720 v t 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进

49、一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6150=90 (吨)， 根据题意有 90 y x (x0). (2) 画出函数的图象； 解：如图所示. 30 90 1x y O (3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解： 每天节约 0.1 吨煤， 每天的用煤量为 0.60.1=0.5 (吨)， 这批煤能维持 180 天 9090 180. 0.5 y x 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行

50、 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟 (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： 3600 .v t (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. 3600 240. 15 y (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得：t =12 答：他至少需要 12 分钟到达单位 3600 300 t ， 6. 蓄电池的电压为定值使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R () 的反

51、比例函数，其图象如图所示 (1) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =49=36. 这个反比例函数的 表达式为 . k I R 36 I R O 9 I(A) 4R() M (4，9) (2) 当 R =10 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解：当 R=10 时，I = 3.6 4， 电流不可能是4A 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如 下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解： 60000 .v F (

52、3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ (2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50， 汽车的速度是3600501000 = 180 km/m. 答案：F 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解： 1200 .y x (2) 若该工程队有 2 台挖掘

53、机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 2450=1200 (m)； 2 台挖掘机需要 1200(215)=40 (天). (3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？ 解：120030=40 (m)， 故每天至少要完成40 m 课堂小结课堂小结 实际问题中的 反比例函数 过程： 分析实际情境建立函数模型明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 谢谢大家 2.1 一元二次方

54、程 第2章 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问 题.(重点） 导入新课导入新课 复习引入 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 92 4 x x-518 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整

55、式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么叫 一元二次方程呢？ 问题1:如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在 矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中 取3）. 解：设由于圆的半径为xcm， 则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 2 25000 x 根据题意有， 4 3 1502003150200 2 x 200cm 150cm 一元二次方程的概念一 讲授新课讲授新课 问题2:如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有 量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车 拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该

56、市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 整理，得 2 2550110 xx 根据题意有， 108175 2 x 问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽 相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？ 32 20 x 1.若设小路的宽是xm，那么 横向小路的面_m2，纵 向小路的面积是 m2, 两者重叠的面积是 m2. 32x 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方 程吗？ 整理以上方程可得： 思考： 220 x 3220(32x220 x)2x2=570

57、2x2 x2-36x35=0 32 20 x 想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570 32-2x 20-x 32 20 观察与思考 方程、都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？ 特点:都是整式方程; 只含一个未知数; 未知数的最高次数是2. x2-36x35=0 2 25000 x 2 2550110 xx 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a0) ax

58、2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项,b 称为一次项系数. c 称为常数项. 知识要点 u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 u一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、 c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bxc = 0 当 a 0 ， b = 0时 ，ax2c = 0 当 a 0 ， c = 0时 ，ax2bx = 0 当 a 0 ，b = c =0时 ，ax2 = 0 总结：只要满足a 0 ，b ， c 可以为任意实数. 典例精析 222 2 2 1 A.0B.350 C.(1)(2)0D.0 x

59、xxyy x xxaxbxc 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？ 2 12 (4)0 xx (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0 6 3 )6( 2 x 22 )32(14)7(xx 062)(8( 2 xx (1) x2+ x=36 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2x=2x2(2)

60、(a1)x |a|+1 2x7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程； (2)由 a +1 =2，且a-1 0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值 变式：方程(2a-4)x22bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（1）当 2a40，即a 2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b 0 时是一元一次方程 一元