专题04 平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题（解析版）[共15页]

1、“强基计划”尖子生的自我修养系列(一)曲线运动中的一个难点双临界问题(细化题型)平抛运动和圆周运动是两种典型的曲线运动模型,均是高考的重点,两者巧妙地结合对学生的推理能力提出更高要求,成为高考的难点。双临界问题能有效地考查学生的分析能力和创新能力,从而成为高考命题的重要素材。下面分三类情况进行分析。平抛运动中的双临界问题例1多选(2020济宁联考)刀削面是西北人喜欢的面食之一,全凭刀削得名。如图所示,将一锅水烧开,拿一块面团放在锅旁边较高处,用刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿,面片便水平飞向锅里,若面团到锅上沿的竖直距离为0.8 m,面团离锅上沿最近的水平距离为0.4 m,锅的直径为0.4 m

2、。若削出的面片能落入锅中,则面片的水平初速度可能是(g10 m/s2)()A0.8 m/s B1.2 m/s C1.8 m/s D3.0 m/s【解析】水平飞出的面片发生的运动可看成平抛运动,根据平抛运动规律,水平方向：xv0t,竖直方向：ygt2,其中水平位移大小的范围是0.4 mx0.8 m,联立代入数据解得1 m/sv02 m/s,故B、C项正确。【参考答案】BC方法规律解决平抛运动中双临界问题的一般思路(1)从题意中提取出重要的临界条件,如“恰好”“不大于”等关键词,准确理解其含义。(2)作出草图,确定物体的临界位置,标注速度、高度、位移等临界值。(3)在图中画出临界轨迹,运用平抛运动

3、的规律进行解答。集训冲关1(2020济南模拟)套圈游戏是一项很受欢迎的群众运动,要求每次从同一位置水平抛出圆环,套住与圆环前端水平距离为3 m的20 cm高的竖直细杆,即为获胜。一身高1.7 m的人从距地面1 m高度水平抛出圆环,圆环半径为8 cm,要想套住细杆,他水平抛出圆环的速度可能为(g取10 m/s2)()A7.4 m/s B7.8 m/s C8.2 m/s D8.6 m/s【解析】选B根据h1h2gt2得,t s0.4 s。则圆环做平抛运动的最大速度v1 m/s7.9 m/s,最小速度v2 m/s7.5 m/s,则7.5 m/sv7 m/s Bv2.3 m/sC3 m/sv7 m/s

4、 D2.3 m/sv3 m/s【解析】选C小物件做平抛运动,恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大。此时有Lvmaxt,hgt2,代入解得vmax7 m/s,恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小,则有Ldvmint,Hhgt2,解得vmin3 m/s,故v的取值范围是3 m/sv7 m/s,C正确。3.一阶梯如图所示,其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m,一小球以水平速度v飞出,g取10 m/s2,欲打在第四级台阶上,则v的取值范围是()A. m/sv2 m/sB2 m/sv3.5 m/sC. m/sv m/sD2 m/sv m/s【解析】选A若小球打在第四级台阶的边缘上,高度h4d,根据hgt1

5、2,得t1 s s,水平位移x14d,则平抛的最大速度v1 m/s2 m/s；若小球打在第三级台阶的边缘上,高度h3d,根据hgt22,得t2 s,水平位移x23d,则平抛运动的最小速度v2 m/s m/s,所以速度范围： m/sv2 m/s,故A正确。4(2020湛江质检)如图所示,一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出,球刚好过网落在图中位置(不计空气阻力),数据如图所示,则下列说法中正确的是()A击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h12h2B若保持击球高度不变,只要球的初速度v0不大于,球就一定落在对方界内C任意降低击球高度(仍大于h2),只要击球初速度合适,球就一定能落在对方

6、界内D任意增加击球高度,只要击球初速度合适,球一定能落在对方界内【解析】选D不计空气阻力,网球做平抛运动。网球由h1高度被水平击出,刚好越过球网,落在另一侧的中点。由h1gt12,sv0t1及h1h2gt22,sv0t2得h11.8h2,A错误；要使球落在对方界内,h1gt32,xv0t32s,得v0,当v0时,球刚好落在界线上,B错误；击球高度为某一值hL时,若球刚好过网并落在界线上,有hLgtL2,2svLtL及hLh2gtL2,svLtL,解得hLh2,高度小于hL时,球击出后或者落在自己一侧(速度过小时),或者出界(速度过大时),C错误；击球高度大于hL时,只要击球速度合适,球一定能落

7、在对方界内,D正确。5.如图所示,水平屋顶高H5 m,墙高h3.2 m,墙到房子的距离L3 m,墙外马路宽x10 m,小球从房顶水平飞出,落在墙外的马路上,g10 m/s2。求：(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；(2)小球落在马路上的最小速度。【解析】(1)设小球恰好落到马路的右侧边缘时,水平初速度为v01,则水平位移Lxv01t1竖直位移Hgt12联立解得v0113 m/s设小球恰好越过墙的边缘时,水平初速度为v02,则水平位移Lv02t2竖直位移Hhgt22联立解得v025 m/s所以小球抛出时的速度大小范围为5 m/sv013 m/s。(2)小球落在马路上,下落高度一定,落地时的

8、竖直分速度一定,当小球恰好越过墙的边缘落在马路上时,落地速度最小。竖直方向vy22gH又有vmin,解得vmin5 m/s。参考答案：(1)5 m/sv013 m/s(2)5 m/s圆周运动中的双临界问题例2多选如图所示,AC、BC两绳系一质量为m0.1 kg的小球,AC绳长L2 m,两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处,两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30和45。小球在水平面内做匀速圆周运动时,若两绳中始终有张力,小球的角速度可能是(g10 m/s2)()A2 rad/s B2.5 rad/sC3 rad/s D4 rad/s【解析】当BC绳刚好拉直时(BC绳中的张力为0),此时小球的角速度最

9、小,则有mgtan 30mmin2Lsin 30,解得min ,代入数据得min2.4 rad/s；当角速度继续增大时,AC绳中拉力减小,BC绳中张力增大,当AC绳中拉力为0(AC绳刚好拉直)时,小球角速度最大,则有mgtan 45mmax2Lsin 30,代入数据得max3.16 rad/s,综上所述,B、C项正确。【参考答案】BC方法规律圆周运动中的常用临界条件(1)绳子松弛,绳子张力为零。(2)绳子刚好拉断或刚好不断,绳子张力最大。(3)两接触物体在接触面上刚好脱离或不脱离,则两物体接触面间相互作用力为零。(4)物体刚好不滑动,则静摩擦力达到最大。集训冲关1.多选(2020广州联考)如图

10、所示,竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上,半径r0.4 m,最低点处有一小球(半径比r小很多),现给小球一水平向右的初速度v0,要使小球不脱离圆轨道运动,v0的大小可能为(g10 m/s2)()A2 m/s B4 m/sC6 m/s D8 m/s【解析】选ACD若小球能通过最高点,则由mgm,可求得小球通过最高点的最小速度vmin2 m/s,由机械能守恒定律,有：mg2rmvmin2mv02,解得v02 m/s；若不通过四分之一圆周,根据机械能守恒定律有：mgrmv02,得出v02 m/s,所以v02 m/s或v02 m/s均符合要求,故A、C、D正确,B错误。2.如图所示,竖直环A半径为

11、r,固定在木板B上,木板B放在水平地面上,B的左右两侧各有一挡板固定在地上,B不能左右运动,在环的最低点静放有一小球C,A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v,小球会在环内侧做圆周运动,为保证小球能通过环的最高点,且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力),则瞬时速度v必须满足()A最小值为B最大值为C最小值为 D最大值为【解析】选D要保证小球能通过环的最高点,在最高点最小速度满足mgm,对小球从最低点运动到最高点的过程应用机械能守恒得 mvmin2mg2rmv02,可得小球在最低点瞬时速度的最小值为,A、C错误；为了不使环在竖直方向上跳起,则在最高点球有最大速度

12、时,对环的压力为2mg,满足3mgm,从最低点到最高点由机械能守恒得mvmax2mg2rmv12,可得小球在最低点瞬时速度的最大值为,B错误,D正确。3.如图所示,半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接,两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上,A、B两点相距为l,当两轻绳伸直后,A、B两点到球心的距离均为l。当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时(轻绳a、b与杆在同一竖直平面内)。求：(1)竖直杆角速度为多大时,小球恰好离开竖直杆；(2)轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度之间的关系。【解析】(1)小球恰好离开竖直杆时,小球与竖直杆间的作用力为零,设此时轻绳a与竖直杆间的夹角为,

13、由题意可知sin , r水平方向：Fasin m2r竖直方向：Facos mg联立解得2 。(2)由(1)可知02 时,Fa mg；若角速度再增大,小球将离开竖直杆,在轻绳b恰伸直前,设轻绳a与竖直杆的夹角为,此时小球做圆周运动的半径为rlsin 水平方向：Fasin m2r竖直方向：Facos mg联立解得Fam2l由几何关系知,当轻绳b恰伸直时,60,解得此时 。故有Fam2l,此时2 。参考答案：(1)2 (2)见解析平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题例3(2020长沙校级月考)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。比赛路径如图所示,赛车从起点A出发,沿水平直线轨道运动距离L后,由B点

14、进入半径为R的光滑竖直圆轨道,离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点,并能越过壕沟。已知赛车质量m0.1 kg,通电后以额定功率P2.5 W工作,进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为0.25 N,随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L10.00 m,R0.18 m,h0.80 m,s2.00 m。问：要使赛车完成比赛,电动机至少工作多长时间？(g10 m/s2)【解析】设赛车恰好通过圆轨道最高点的速度大小为v1,在最低点的速度大小为v2,根据牛顿第二定律和动能定理得mg,mg2Rmv12mv22,综合解得v23 m/s。设赛车越过壕沟需要的最小速度为v3,由平抛运动规律得sv3t,hgt2,

15、综合解得v35 m/s。综上分析,欲使赛车完成比赛,在进入竖直圆轨道前的最小速度应该是v35 m/s。设电动机工作时间至少为t,根据动能定理有PtfLmv32,代入数据解得t1.5 s。【参考答案】1.5 s方法规律平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题本质上是多过程运动问题,通常求解分三步：集训冲关如图甲所示,弯曲部分AB和CD是两个半径都为0.3 m的圆弧轨道,中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)轨道,分别与上、下圆弧轨道相切连接,BC段的长度L0.2 m。下圆弧轨道与水平轨道相切,其中D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点,整个轨道固定在竖直平面内。有一质量为0

16、.3 kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧轨道,不计小球运动中的一切阻力,g取10 m/s2。求：(1)如果小球从D点以5 m/s的速度水平飞出,求落地点与D点的水平距离；(2)如果小球从D点以5 m/s的速度水平飞出,求小球经过圆弧A点时对轨道的压力；(3)如果在D点右侧平滑连接一半径R0.4 m的半圆形光滑轨道DEF,如图乙所示,要使小球不脱离轨道运动,求小球在水平轨道上向右运动的速度大小范围(计算结果可用根式表示)。【解析】(1)小球从D点以5 m/s的速度水平飞出后做平抛运动,由平抛运动规律可得hgt2由题意得h2RL20.3 m0.2 m0.8 m,代入数据解得t

17、0.4 s所以落地点与D点的水平距离xv0t50.4 m2 m。(2)小球由A到D的过程,由机械能守恒定律可得mghmvD2mvA2在A点,由牛顿第二定律可得Nmgm联立解得N44 N,由牛顿第三定律可得,小球经过圆弧A点时对轨道的压力NN44 N。(3)讨论一：小球进入轨道后最高运动到C点,之后原路返回,由机械能守恒定律,有mg(RL)mv12解得v1 m/s。讨论二：小球进入轨道后恰好能通过最高点D,之后沿DEF运动而不脱离轨道,在D点有mgm从A到D,由机械能守恒定律可得mghmv2mv22解得v22 m/s故要使小球在运动过程中不脱离轨道,初速度大小的范围为v1 m/s或v22 m/s

18、参考答案：(1)2 m(2)44 N(3)v1 m/s或v22 m/s提能增分集训1.多选(2020佛山调研)如图所示,两个半径均为R的光滑圆弧对接于O点,有物体从上面圆弧上的某点C以上任意位置由静止下滑(C点未标出),都能从O点平抛出去,则()ACO1O60BCO1O45C落地点距O2最远为2R D落地点距O2最近为R【解析】选AC要使物体从O点平抛出去,在O点有mg,解得物体从O点平抛出去的最小速度vmin。设CO1O,由机械能守恒定律得,mgR(1cos )mvmin2,解得CO1O60,选项A正确,B错误；由平抛运动规律,有Rgt2,xminvmint,解得落地点距O2最近为xminR

19、,选项D错误；若物体从A点由静止下滑,到达O点时速度最大为vmax,由平抛运动规律,有Rgt2,xmaxvmaxt,解得落地点距O2最远为xmax2R,选项C正确。2多选(2020桂林模拟)如图所示,两个竖直光滑圆弧轨道固定在同一水平地面上,左侧轨道由金属凹槽制成,半径为2R,右侧轨道由金属圆管制成,半径为R,在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放,小球释放处距离地面的高度分别为hA和hB,则下列说法正确的是()A适当调整hA,可使小球A从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口处B适当调整hB,可使小球B从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口处C若使小球A沿轨道运动并且从最高点飞出,

20、释放的最小高度为5RD若使小球B沿轨道运动并且从最高点飞出,释放的最小高度为【解析】选BC小球A通过圆弧轨道最高点具有最小速度时,重力完全提供向心力,即mgm,解得v,小球 A飞出后,做平抛运动,2Rgt2,xvt,解得x2R2R,因此无论怎么调整hA,小球A都不可能落在轨道的右端口处,A项错误；小球A以最小速度通过轨道最高点时,hA具有最小值,由动能定理可知,mg(hA4R)mv20,解得最小高度hA5R,C项正确；小球B通过圆管轨道最高点的最小速度为零,因此可以适当调整hB,使小球B从轨道最高点飞出后,恰好落在轨道右端口处,B项正确；由机械能守恒定律可知,hB的最小高度为2R,D项错误。3

21、如图所示,一个四分之三圆弧形光滑细圆管轨道ABC放置在竖直平面内,轨道半径为R,在A点与水平桌面AD相接,桌面与圆心O等高。MN是放在水平桌面上长为3R、厚度不计的垫子,左端M正好位于A点。将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某点由静止释放,不考虑空气阻力。欲使小球能通过C点落到垫子上,求小球离A点的高度的范围。【解析】小球通过C点后做平抛运动,假设恰好落在M端,水平方向：Rv1t1竖直方向：Rgt12对小球从静止释放到最高点(C点)过程应用动能定理有mg(h1R)mv12综合式解得h1R。假设小球通过C点恰好落在N端,水平方向：4Rv2t2竖直方向：Rgt22对小球从静止

22、释放到最高点(C点)过程应用动能定理有mg(h2R)mv22综合式解得h25R。欲使小球通过C点落在垫子MN上,小球下落的高度范围为Rh5R。参考答案：Rh5R4(2020洛阳统考)某物理兴趣小组制作了一个游戏装置,其简化模型如图所示,选手在A点用一弹射装置可将小滑块以水平速度弹射出去,沿水平直轨道运动到B点后,进入半径R0.3 m的光滑竖直圆形轨道,运行一周后自B点向C点运动,C点右侧有一陷阱,C、D两点的竖直高度差h0.2 m,水平距离s0.6 m,水平轨道AB长为L11 m,BC长为L22.6 m,小滑块与水平轨道间的动摩擦因数0.5,重力加速度g10 m/s2。(1)若小滑块恰能通过圆

23、形轨道的最高点,求小滑块在A点被弹射出时的速度大小；(2)若游戏规则为小滑块沿着圆形轨道运行一周后只要不掉进陷阱即为选手获胜。求获胜选手在A点将小滑块弹射出的速度大小的范围。【解析】(1)设小滑块恰能通过圆形轨道最高点时的速度为v,由牛顿第二定律有mgm从B点到最高点,小滑块机械能守恒,有mvB22mgRmv2由A点到B点由动能定理得mgL1mvB2mv12由以上三式解得小滑块在A点的速度为v15 m/s。(2)若小滑块刚好停在C处,从A到C点由动能定理得mg(L1L2)0mv22解得A点的速度为v26 m/s若小滑块停在BC段,应满足5 m/svA6 m/s若小滑块能通过C点并恰好越过陷阱,利用平抛运动规律有竖直方向：hgt2,水平方向：svCt从A点到C点由动能定理得mg(L1L2)mvC2mv32解得v33 m/s所以初速度的范围需满足5 m/svA6 m/s或vA3 m/s。参考答案：(1)5 m/s(2)5 m/svA6 m/s或vA3 m/s5如图所示,倾角为30的光滑斜面上,轻质弹簧两端连接着两个质量均为m1 kg的物体B和C,C紧靠着挡板P,B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量M8 kg的物体A连接,细绳平行于斜面,A在外力作用下静止在圆心角为60、半径R2