方程的根与函数的零点题型及解析精编版

1、程的根与函数的零点 题型及解析精编版MQS system office room MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898方程的根与函数的零点题型及解析L求下列函数的零点2(1) f (x) =x3+l； (2) f (x)=X +2x+l ； (3) y= - x2+3x+4； (4) y=x+4x+4.x - 1分析：根据函数零点的定义解f (x)=0,即可得到结论.2解：(1)由f (x)内3+1=0得x=-1,即函数的零点为-1： (2)由f (x)式普二0得 x+2x+l=0 得(x+1)三 0,得 x=-l,即函数的零点为-1. (3) | y= - x:+3

2、x+4=0,可 得(x - 4) (x+1)=0,所以函数的零点为 4, - 1； (4) y=x+4x+4,可得(x+2) :=0,所 以函数的零点为-2.2 .求函数f (x) =2*+x3的零点的个数；求函数f (x)=lowx-x+2的零点的个数；求函数f0)=Inx的零点个数是多少？分析：由题意可判断f (x)是定义域上的增函数，从而求零点的个数；由题意可得， 函数y=log,x的图象和直线y=x-2的交点个数，数形结合可得结论.山函数y二Inx的图 象与函数yJ的图象只有一个交点，可得函数f (x) =lnx- (1 /x)的零点个数.解：函数 f (x) =2*x-3 单调递增，

3、乂 (1) =0,故函数 f (x)=2二+x-3 有且只有一个零点函数f (x) =log2x - x+2的零点的个数,即函数y=log2x的图象和直线y二X - 2 的交点个数，如图所示：故函数y=logx的图象(红色部分)和直线y=x-2 (蓝 色部分)的交点个数为2,即函数f (x) =log：x - x+2的零点的个数为2；函数 f(X)=lnx- (1 / x)的零点个数就是函数y=Inx的图象与函数y=1 / x的图象 的交点的个数，由函数y=lnx的图象与函数y=l / x的图象只有一个交点，如图所示，可得函数f (x) =lnx- (1 / x)的零点个数是13 .已知方程x

4、、3x+a=0在区间(2, 3)内有一个零点，求实数a的取值范围 已知a是实数，函数f (x)=-x%x-3在区间(0, 1)与(2, 4)上各有一个 零点，求a的取值.已知函数f (x) =x2ax+4在区间(1, 2)上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：由已知，函数f (x)在区间(2, 3)内有一个零点，它的对称轴为x=3/2,得出 不等式组，解出即可；若函数f (x)二x+ax-3在区间(0, 1)与(2, 4)上各有一个零点，则f (0) 0, f (2) 0, f (4) 0,解得答案；若函数f (x)2ax+4只有一个零点，则=(),经检验不符合条件；则函数f (x)=x二

5、2ax+4有两个零点，进而f (1) ?f (2) 0,解得答案解：若函数f (x)二一+&*3在区间(0, 1)与 4)上各有一个零点，则f (0) 0, f (2) 0, f (4) 0, 2a-70, 4a-190,解 得:ae (4, 19/4)；/令 f (x) =x2 - 3x+a,它的对称轴为 x=3/2,，函数 f (x)在 区间(2, 3)单调递增，方程x-3x+a=0在区间(2, 3)内有一个零点，函数f (x) 在区间(2, 3)内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f (2) 0,即 a-2V0, 9-9+a0,解得 0VaV2；解：若函数 f (x) =x? -

6、 2ax+4 只有一个零 点，则=4-16=0,解得：a=2,此时函数的零点为2不在区间(1, 2)上，即函数 f (x)=x2ax+4 有两个零点，则 f (1) ?f (2) VO,即(5-2a) (8-4a) VO,解 得：aG (2, 5/2)4 .已知函数f (x)的图象是连续不断的，观察下表：函数f (x)在区间-2, 2上的零点 至少有几个？分析：看区间端点值，只要在区间两端点处函数值异号，由零点存在性定理即可解决问 题.解：由题中表得，f ( - 2) 0, f (0) 0, f (1) 0, 由零点存在性定理可得f (x)在区间-2, -1, -1, 0, 1, 2上个有一个

7、零点，故 函数f (x)在区间-2, 2上的零点至少有3个5 .已知y=f (x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是()A.若f (x)在区间a, b上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a, b)内有零点，则 有 f (a) ?f (b) 0,则 其在(a, b)内没有零点C.若f (x)在区间(a, b)上的图象是一条连续不断的曲线， 且有f (a) ?f (b) VO,则其在(a, b)内有零点D.如果函数f (x)在区间a, b上的 图象是一条连续不断的曲线，且有f (a) ?f (b) 0,故A不正确，y=x f (-1) ?f (1) 0,在(-1, 1)内有零点，故B不正确，若f

8、 (x)在区间(a, b) 上的图象是一条连续不断的曲线，f (a) =-1, f (b) =1,在(a, b)恒成立有f (x) 0,可知满足f (a) ?f (b) VO,但是其在(a, b)内没有零点.故C不正确.所以ABC 不正确，故选D6 .若y二f (x)在区间a, b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A.若 f (a) ?f (b) 0,不存在实数 c (a, b),使得 f (c) =0； B.若 f (a) ?f(b) 0,不存在实数c (a, b),使得f (c) =0： D.若f (a) ?f (b) 0,有可能存在实数 ce (a, b),使得 f

9、(c)二0分析：画满足条件的函数图象排除不正确的选项解：首先，设函数y二f (x)在区间a, b上的图象如左图：图中满足f (a) f (b) 0,有可能存在实数。 (a, b) 使得f (c)=0,故C错误；D正确.7 .已知函数f (x)=mx-3x+l的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范 围分析：根据题意，二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，有两种情况， 一是只有一个在右侧，二是两个都在右侧，分类讨论即可.解：(1)当m=OH寸，f (x) =-3x+l,直线与x轴的交点为(1/3, 0),即函数的零点为 1/3,在原点右侧，符合题意；(2)当!)10时，T

10、f (0)J抛物线过点(0, 1)； 若mVOH寸，f (x)的开口向下，如图所示；二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧，满足题意；若m0, f (X)的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当4m20,且工 2m0即可，如图所示，解得OVmW旦；综上，m的取值范围是(-8, 9/448,函数y=f (x)的图象在a, b内是连续的曲线，若f (a) ?f (b) 0,则函数y二f (x)在区间(a, b)内()A.只有一个零点 B.至少有一个零点C.无零点 D.无法确定分析：可列举适当的函数图象，看图象与X轴的交点个数，将选项逐个排除，即可得到正 确答案.解：如图1,有f (a) ?f (b) 0,但函数y=f (x)的图象与x轴无交点，所以f (x)在 区间(a, b)内无零点，可排除A, B,如图2,有f (a) ?f (b) 0,但函数y=f (x)的 图象与x轴只有一个交点，所以f (x)在区间(a, b)内有且只有一个零点，可排除C, 综上知，函数y=f (x)在区间(a, b)内的零点个数无法确定.故答案为D9.若二次函数f (x) =xmx+3+2m (1)若函数f (x)有两个零点，其中一个零点小于0, 另一零点大于5,求m的取值范围；(2) f (x)在区间1, 7上有最大值22,求m的取值 范围.分析：