2013版高中全程复习方略配套课件：2.10函数的应用

1、第十节第十节 函数的应用函数的应用 三年三年9 9考考 高考指数高考指数: : 1.1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线 上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. . 2.2.了解函数模型了解函数模型( (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型在社会生活中普遍使用的函数模型) )的广泛应用的广泛应用. . 1.1.函数模型的应用是高考考查的重点函数模型的应用是高考考查的重点. . 2.2.建立

2、函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、 均值不等式、函数的单调性、最值等交汇出现，主要考查建模均值不等式、函数的单调性、最值等交汇出现，主要考查建模 能力及分析问题和解决问题的能力能力及分析问题和解决问题的能力. . 3.3.选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题 为主为主. . 1.1.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较 y y= =a ax x( (a a11） y y= =logloga ax x ( (a a11） y y= =x xn n( (n n0

3、)0) 在在(0,+(0,+) ) 上的单调性上的单调性 增长速度增长速度 图像的变化图像的变化 相对平稳相对平稳 随随n n值变化值变化 而不同而不同 单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数单调增函数 越来越快越来越快 越来越慢越来越慢 随随x x值增大值增大, , 图像与图像与y y轴轴 接近平行接近平行 随随x x值增大值增大, , 图像与图像与x x轴轴 接近平行接近平行 【即时应用】【即时应用】 (1)(1)思考思考: :对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型， 你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长你作为老

4、板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长? ? 提示提示: :公司的利润选择直线上升或指数模型增长公司的利润选择直线上升或指数模型增长, ,而员工奖金选而员工奖金选 择对数模型增长择对数模型增长. . (2)(2)当当x x越来越大时，判断下列四个函数中，增长速度最快的是越来越大时，判断下列四个函数中，增长速度最快的是 _._. y=2y=2x x, ,y=xy=x10 10, , y=lgx,y=lgx,y=10 xy=10 x2 2 【解析】【解析】由函数图像知，由函数图像知，y=2y=2x x的增长速度最快的增长速度最快. . 答案：答案： (3)(3)函数函数y=2y=2x x与与y

5、=xy=x2 2的图像的交点个数是的图像的交点个数是_._. 【解析】【解析】由由y=2y=2x x与与y=xy=x2 2的图像知有的图像知有3 3个交点个交点. . 答案：答案：3 3 2.2.常见的几种函数模型常见的几种函数模型 (1)(1)直线模型直线模型: :一次函数模型一次函数模型y=_,y=_,图像增长特点是直图像增长特点是直 线式上升线式上升(x(x的系数的系数k k0),0),通过图像可以直观地认识它通过图像可以直观地认识它, ,特例是特例是 正比例函数模型正比例函数模型y=_.y=_. (2)(2)反比例函数模型反比例函数模型:y=_,:y=_,增长特点是增长特点是y y随随

6、x x的增大而减的增大而减 小小. . (3)(3)指数函数模型指数函数模型:y=ab:y=abx x+c(b+c(b0,b1,a0)0,b1,a0)，其增长特点，其增长特点 是随着自变量的增大是随着自变量的增大, ,函数值增大的速度越来越快函数值增大的速度越来越快( (底数底数b b1,1, a a0)0)，常形象地称为指数爆炸，常形象地称为指数爆炸. . kx+b(k0)kx+b(k0) kx(kkx(k0)0) k (k0) x (4)(4)对数函数模型对数函数模型:y=mlog:y=mloga ax+n(ax+n(a0,a1,m0)0,a1,m0)型，增长特点型，增长特点 是随着自变量

7、的增大，函数值增大的速度越来越慢是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢( (底数底数a a1,1, m m0).0). (5)(5)幂函数模型幂函数模型:y=ax:y=axn n+b(a0)+b(a0)型，其中最常见的是二次函型，其中最常见的是二次函 数模型数模型:_(a0):_(a0)，其特点是随着自变量的增大，函，其特点是随着自变量的增大，函 数值先减小，后增大数值先减小，后增大(a(a0).0). y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c (6)(6)分段函数模型：分段函数模型： 其特点是每一段自变量变其特点是每一段自变量变 化所遵循的规律不同化所遵循的规律不同. .可以先将其当

8、作几个问题，将各段的变可以先将其当作几个问题，将各段的变 化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取 值范围值范围, ,特别是端点特别是端点. . 11 22 nn f (x),xD f (x),xD y, f (x)xD ， 【即时应用】【即时应用】 (1)(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近5050年年 内减少了内减少了5%5%，如果按此速度，设，如果按此速度，设20112011年的冬季冰雪覆盖面积为年的冬季冰雪覆盖面积为 m m，从，从20112011年起，经过

9、年起，经过x x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y y与与x x的的 函数关系式是函数关系式是_._. (2)(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调 整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的 函数模型来反映该公司调整后利润函数模型来反映该公司调整后利润y y与时间与时间x x的关系，可选用六的关系，可选用六 种常见模型中的种常见模型中的_._. (3)(3)某种电热水器的水箱盛满水是某种电热水器的水箱盛满水是200 L200 L，加热到

10、一定温度，即，加热到一定温度，即 可用来洗浴可用来洗浴. .洗浴时，已知每分钟放水洗浴时，已知每分钟放水34 L34 L，若放水，若放水t t分钟时，分钟时， 同时自动注水总量为同时自动注水总量为2t2t2 2 L. L.当水箱内的水量达到最少时，放水当水箱内的水量达到最少时，放水 程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65 L65 L，则该热水器一，则该热水器一 次至多可供次至多可供_人洗浴人洗浴. . 【解析】【解析】(1)(1)设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,a,则由题则由题 意得意得1-0.05=a1-0.05=

11、a50 50, , (2)(2)由增长特点知应选对数函数模型由增长特点知应选对数函数模型. . 1 50 a0.95， 1x x 5050 y(0.95 )m0.95 m,xN . (3)(3)在放水程序自动停止前在放水程序自动停止前, ,水箱中的水量为水箱中的水量为y=2ty=2t2 2-34t+200=-34t+200= 2(t-8.5)2(t-8.5)2 2+55.5+55.5，由二次函数的性质得，经过，由二次函数的性质得，经过8.5 min8.5 min，放水，放水 停止停止, ,共出水共出水34348.5=289(L)8.5=289(L)，289289654.45,654.45,故至

12、多可供故至多可供4 4人人 洗浴洗浴. . 答案：答案：(1) (2)(1) (2)对数函数模型对数函数模型 (3)4(3)4 x 50 y0.95 m,xN 用函数刻画实际问题用函数刻画实际问题 【方法点睛】【方法点睛】用函数图像刻画实际问题的解题思路用函数图像刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律将实际问题中两个变量间变化的规律( (如增长的快慢、最大、如增长的快慢、最大、 最小等最小等) )与函数的性质与函数的性质( (如单调性、最值等如单调性、最值等) )、图像、图像( (增加、减少增加、减少 的缓急等的缓急等) )相吻合即可相吻合即可. . 【例【例1 1】如图所示

13、，向高为】如图所示，向高为H H的容器的容器A A，B B，C C，D D中同时以等速注中同时以等速注 水，注满为止：水，注满为止：(1)(1)若水深若水深h h与注水时间与注水时间t t的函数图像是下图中的函数图像是下图中 的的(a)(a)，则容器的形状是，则容器的形状是_;_; (2)(2)若水量若水量v v与水深与水深h h的函数图像是下图中的的函数图像是下图中的(b)(b)，则容器的形状，则容器的形状 是是_;_; (3)(3)若水深若水深h h与注水时间与注水时间t t的函数图像是下图中的的函数图像是下图中的(c)(c)，则容器的，则容器的 形状是形状是_;_; (4)(4)若注水时

14、间若注水时间t t与水深与水深h h的函数图像是下图中的的函数图像是下图中的(d)(d)，则容器的，则容器的 形状是形状是_._. 【解题指南】【解题指南】根据实际问题中水深根据实际问题中水深h,h,水量水量v v和注水时间和注水时间t t之间的之间的 关系，结合图像使之吻合即可关系，结合图像使之吻合即可. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)该题图中的该题图中的(a)(a)说明了注入水的高度是匀速上说明了注入水的高度是匀速上 升的，只有升的，只有C C中的容器能做到，所以应填中的容器能做到，所以应填C C； (2)(2)该题图中的该题图中的(b)(b)说明了水量说明了水量v v增长的速度

15、随着水深增长的速度随着水深h h的增长越的增长越 来越快，在已知的四个容器中，只有来越快，在已知的四个容器中，只有A A中的容器能做到，所以中的容器能做到，所以 应填应填A A； (3)(3)该题图中的该题图中的(c)(c)说明水深说明水深h h与注水时间之间的对应关系，且与注水时间之间的对应关系，且 反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容 器中，只有器中，只有D D中的容器能做到，所以应填中的容器能做到，所以应填D D； (4)(4)该题图中的该题图中的(d)(d)说明水深说明水深h h与注水时间与注水时间t t之间的对应

16、关系，且之间的对应关系，且 反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器 中，只有中，只有B B中的容器能做到，所以应填中的容器能做到，所以应填B B 答案：答案：(1)C (2)A (3)D (4)B(1)C (2)A (3)D (4)B 【反思【反思感悟】感悟】用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问 题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的 图像和性质联系起来，从而使问题解决图像和性质联系起来，从而使问题解决. . 【

17、变式训练】【变式训练】如图所示，一质点如图所示，一质点P(x,y)P(x,y) 在在xOyxOy平面上沿曲线运动，速度大小不平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在变，其在x x轴上的投影点轴上的投影点Q(x,0)Q(x,0)的运动的运动 速度速度V=V(t)V=V(t)的图像大致为的图像大致为( )( ) 【解析】【解析】选选B.B.由图可知，当质点由图可知，当质点P(x,y)P(x,y)在两个封闭曲线上运动在两个封闭曲线上运动 时，投影点时，投影点Q(x,0)Q(x,0)的速度先由正到的速度先由正到0 0、到负数，再到、到负数，再到0 0，到正，到正， 故故A A错误；质点错误；质点P(x,

18、y)P(x,y)在终点的速度是由大到小接近在终点的速度是由大到小接近0 0，故，故D D错错 误；质点误；质点P(x,y)P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)Q(x,0)的速度的速度 为常数，因此为常数，因此C C是错误的，故选是错误的，故选B.B. 利用已知函数模型解决实际问题利用已知函数模型解决实际问题 【方法点睛】【方法点睛】利用已知函数模型解决实际问题的步骤利用已知函数模型解决实际问题的步骤 若题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型的图若题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型的图 像像, ,求解时先用待定系数法求出函数解析

19、式中相关参数的值求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值, ,再再 用求得的函数解析式解决实际问题用求得的函数解析式解决实际问题. . 【提醒】【提醒】要结合实际意义限制自变量的范围要结合实际意义限制自变量的范围 【例【例2 2】(1)(2012(1)(2012南昌模拟南昌模拟) )酒店用餐时顾客要求：将温度为酒店用餐时顾客要求：将温度为 1010、质量为、质量为0.25 kg0.25 kg的同规格某种袋装黄酒加热到的同规格某种袋装黄酒加热到3030 40.40.服务生将服务生将n n袋该种袋装黄酒同时放入温度为袋该种袋装黄酒同时放入温度为8080、质量为、质量为 2.5 kg2.5

20、kg的热水中，的热水中，5 5分钟后取出可以供顾客饮用，此时袋装黄分钟后取出可以供顾客饮用，此时袋装黄 酒的温度与水的温度恰好相等酒的温度与水的温度恰好相等. .假设假设m m1 1kgkg该规格袋装黄酒提高该规格袋装黄酒提高 的温度的温度tt1 1与与m m2 2 kg kg水降低的温度水降低的温度tt2 2满足关系：满足关系： m m1 1tt1 1=0.8=0.8m m2 2tt2 2, ,则则n n的最小值是的最小值是_._. (2)(2)为了预防流感为了预防流感, ,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒. .已已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的

21、含药量知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(y(毫克毫克) )与与 时间时间t(t(小时小时) )成正比成正比; ;药物释放完毕后，药物释放完毕后，y y与与t t的函数关系式为的函数关系式为 (a(a为常数为常数) )，如图所示，根据图中提供的信息，求从，如图所示，根据图中提供的信息，求从 药物释放开始，每立方米空气中的含药量药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(y(毫克毫克) )与时间与时间t(t(小小 时时) )之间的函数关系式为之间的函数关系式为_._. t a 1 y() 16 【解题指南】【解题指南】(1)(1)先设服务生将先设服务生将n n袋该种袋装黄酒加热到袋该种袋

22、装黄酒加热到tt， 再由题意列出再由题意列出n n关于关于t t的函数，并结合的函数，并结合“黄酒加热到黄酒加热到3030 40”,40”,即可求得即可求得n n的最小值的最小值. . (2)(2)结合图像通过特殊点用待定系数法求出关系式结合图像通过特殊点用待定系数法求出关系式. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)设服务生将设服务生将n n袋该种袋装黄酒加热到袋该种袋装黄酒加热到tt，则，则 由：由： m m1 1tt1 1=0.8=0.8m m2 2tt2 2，得：，得： 0.25n0.25n(t-10)=0.8(t-10)=0.82.52.5(80-t),(80-t), 它是一个关于

23、它是一个关于t t的减函数，的减函数， 而黄酒要加热到而黄酒要加热到303040,40, 当当t=40t=40时，时，n n取最小值，取最小值， 10.7,10.7, 则则n n的最小值是的最小值是10.10. 560 n8, t10 32 3 (2)(2)药物释放过程中药物释放过程中, ,室内每立方米空气中的含药量室内每立方米空气中的含药量y(y(毫克毫克) )与与 时间时间t(t(小时小时) )成正比成正比, ,则设函数则设函数y=kt(k0),y=kt(k0),将点将点(0.1,1)(0.1,1)代入可代入可 得得k=10,k=10,则则y=10t;y=10t;将点将点(0.1,1)(0

24、.1,1)代入代入 则所求关系式为则所求关系式为 答案：答案：(1)10 (2)(1)10 (2) t a 11 y(),a. 1610 得 1 t 10 1 10t,0t 10 y. 11 (),t 1610 1 t 10 1 10t,0t 10 y 11 (),t 1610 【互动探究】【互动探究】本例本例(2)(2)中题干不变中题干不变, ,若据测定若据测定, ,当空气中每立方当空气中每立方 米的含药量降低到米的含药量降低到0.250.25毫克以下时毫克以下时, ,学生方可进教室学生方可进教室, ,那么从药那么从药 物释放开始物释放开始, ,至少需要经过至少需要经过_小时后小时后, ,学

25、生才能回到教室学生才能回到教室. . 【解析】【解析】由本例由本例(2)(2)知知, ,令令 即从药物释放开始即从药物释放开始, ,至少需要经过至少需要经过0.60.6小时后小时后, ,学生才能回到教学生才能回到教 室室. . 答案：答案：0.60.6 11 t 102 116 ()0.25() ,t0.6. 161610 得 【反思【反思感悟】感悟】解决这类已给出数学模型的实际问题解决这类已给出数学模型的实际问题, ,关键是关键是 从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况, ,从而代从而代 入求得其解析式入求得其解析式. . 【变式备选】【

26、变式备选】已知某物体的温度已知某物体的温度(单位单位: :摄氏度摄氏度) )随时间随时间t(t(单单 位位: :分钟分钟) )的变化规律是的变化规律是:=m2:=m2t t+2+21-t 1-t(t0 (t0，并且，并且m m0).0). (1)(1)如果如果m=2,m=2,求经过多少时间求经过多少时间, ,物体的温度为物体的温度为5 5摄氏度摄氏度; ; (2)(2)若物体的温度总不低于若物体的温度总不低于2 2摄氏度摄氏度, ,求求m m的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】(1)(1)若若m=2,m=2,则则=2=22 2t t+2+21-t 1-t=2 (t0), =2 (t0)

27、, 当当=5=5时，时， 令令2 2t t=x1 ,=x1 ,则则 即即2x2x2 2-5x+2=0,-5x+2=0, 解得解得x=2x=2或或x= (x= (舍去舍去),), 此时此时t=1.t=1. 所以经过所以经过1 1分钟，物体的温度为分钟，物体的温度为5 5摄氏度摄氏度. . t t 1 (2) 2 t t 15 2, 22 15 x, x2 1 2 (2)(2)物体的温度总不低于物体的温度总不低于2 2摄氏度，即摄氏度，即22恒成立，恒成立， 亦亦 恒成立恒成立. . 亦即亦即 恒成立恒成立. . 令令 则则0 0 x1,x1, m2(x-xm2(x-x2 2),), 由于由于 因

28、此，当物体的温度总不低于因此，当物体的温度总不低于2 2摄氏度时，摄氏度时，m m的取值范围是的取值范围是 +).+). t t 2 m 22 2 t2t 11 m2() 22 t 1 x 2 ， 2 11 xx,m. 42 1 , 2 自建函数模型解决实际问题自建函数模型解决实际问题 【方法点睛】【方法点睛】建立函数模型解决实际问题的步骤建立函数模型解决实际问题的步骤 (1)(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量 关系，把握其中的数学本质；关系，把握其中的数学本质； (2)(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，

29、将实建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实 际问题转化为数学问题；际问题转化为数学问题； (3)(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论 【例【例3 3】(2012(2012北京模拟北京模拟) )某特许专营店销售上海世博会纪念某特许专营店销售上海世博会纪念 章，每枚进价为章，每枚进价为5 5元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上 海世博局交特许经营管理费海世博局交特许经营管理费2 2

30、元，预计这种纪念章以每枚元，预计这种纪念章以每枚2020元元 的价格销售时，该店一年可销售的价格销售时，该店一年可销售2 0002 000枚，经过市场调研发现枚，经过市场调研发现 每枚纪念章的销售价格在每枚每枚纪念章的销售价格在每枚2020元的基础上每减少一元，则增元的基础上每减少一元，则增 加销售加销售400400枚；而每增加一元则减少销售枚；而每增加一元则减少销售100100枚，现设每枚纪念枚，现设每枚纪念 章的销售价格为章的销售价格为x x元元. . (1)(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(y(元元) )与每枚纪念

31、章的销售价格与每枚纪念章的销售价格x x元之间的函数关系式元之间的函数关系式( (并写出并写出 这个函数的定义域这个函数的定义域);); (2)(2)当每枚纪念章销售价格当每枚纪念章销售价格x x为多少时，该特许专营店一年内利为多少时，该特许专营店一年内利 润润y(y(元元) )最大，并求出这个最大值最大，并求出这个最大值. . 【解题指南】【解题指南】解答本题时解答本题时(1)(1)首先应根据题意确定出销售价格首先应根据题意确定出销售价格x x 的取值范围的取值范围; ;再分别求出减少再分别求出减少, ,增加一元时的销售利润增加一元时的销售利润, ,从而得从而得 到一年所得利润到一年所得利润

32、y(y(元元) )的函数关系式的函数关系式. . (2)(2)根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)依题意销售价格依题意销售价格x(7,40)x(7,40)，即定义域为，即定义域为 (7,40)(7,40)，而当，而当7 7x20 x20，xNxN+ +时，时， 则增加销售则增加销售400(20-x)400(20-x)枚枚, , 故其一年内销售所获得利润为故其一年内销售所获得利润为 y=y=2 000+400(20-x)2 000+400(20-x)(x-7);(x-7); 当当2020

33、x x4040，xNxN+ +时，则减少销售时，则减少销售100(x-20)100(x-20)枚枚. . 故其一年内销售所获得利润为故其一年内销售所获得利润为 y=y=2 000-100(x-20)2 000-100(x-20)(x-7)(x-7) 2 2 2 000400(20 x) (x-7),(7x20,xN ) :y 2 000 100(x20) (x-7),(20 x40,xN ) 400(x16)32 400(7x20,xN ) . 47 100(x)27 225(20 x40,xN ) 2 综上得 (2)(2)因为因为 若若7 7x20,x20,则当则当x=16x=16时时,y,

34、ymax max=32 400( =32 400(元元).). 若若2020 x x40,40,则当则当x=23x=23或或2424时时, , y ymax max=27 200( =27 200(元元).). 综上可得当综上可得当x=16x=16时，该特许专营店获得的利润最大时，该特许专营店获得的利润最大, ,为为32 40032 400元元. . 2 2 400(x16)32 400(7x20,xN ) y, 47 100(x)27 225(20 x40,xN ) 2 【反思【反思感悟】感悟】解决这类问题常见的两个误区解决这类问题常见的两个误区 (1)(1)不会将实际问题转化为函数模型，从

35、而无法求解不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解. . (2)(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件. . 【变式训练】【变式训练】(2012(2012西安模拟西安模拟) )据气象中心观察和预测据气象中心观察和预测: :发生发生 于于M M地的沙尘暴一直向正南方向移动地的沙尘暴一直向正南方向移动, ,其移动速度其移动速度v(km/h)v(km/h)与时与时 间间t(h)t(h)的函数图像如图所示的函数图像如图所示, ,过线段过线段OCOC上一点上一点T(t,0)T(t,0)作横轴的作横轴的 垂线垂线l, ,梯形梯形OABCOABC在直

36、线在直线l左侧部分的面积即为左侧部分的面积即为t(h)t(h)内沙尘暴所经内沙尘暴所经 过的路程过的路程s(km).s(km). (1)(1)当当t=4t=4时时, ,求求s s的值的值; ; (2)(2)将将s s随随t t变化的规律用数学关系式表示出来变化的规律用数学关系式表示出来; ; (3)(3)若若N N城位于城位于M M地正南方向地正南方向, ,且距且距M M地地650 km,650 km,试判断这场沙尘暴试判断这场沙尘暴 是否会侵袭到是否会侵袭到N N城城, ,如果会如果会, ,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭 到到N N城城? ?如果不会如果不会,

37、,请说明理由请说明理由. . 【解析】【解析】(1)(1)由图像可知由图像可知: :当当t=4t=4时时,v=3,v=34=12,4=12, s= s= 4 412=24(km).12=24(km). (2)(2)当当0t100t10时时,s= ,s= t t3t=3t= 当当1010t20t20时，时，s= s= 101030+30(t-10)=30t-150;30+30(t-10)=30t-150; 当当2020t35t35时，时，s= s= 101030+1030+1030+(t-20)30+(t-20)30- 30- (t-20)(t-20)2(t-20)=-t2(t-20)=-t2

38、2+70t-550.+70t-550. 1 2 1 2 2 3 t , 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 t ,t0,10 , 2 s30t150,t(10,20 , t70t550,t(20,35 . 综上，可知 (3)t(3)t0,100,10时时,s,smax max= = 10102 2=150=150650,650, t(10,20t(10,20时，时，s smax max=30 =3020-150=45020-150=450650,650, 当当t(20,35t(20,35时，令时，令-t-t2 2+70t-550=650.+70t-550=650. 解得解得t t1 1=3

39、0,t=30,t2 2=40.20=40.20t35,t=30.t35,t=30. 沙尘暴发生沙尘暴发生30 h30 h后将侵袭到后将侵袭到N N城城. . 3 2 【变式备选】【变式备选】某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品 A A上市销售上市销售4040天内全部售完，该公司对第一批产品天内全部售完，该公司对第一批产品A A上市后的市上市后的市 场销售进行调研，结果如图场销售进行调研，结果如图(1)(1)、(2)(2)所示其中所示其中(1)(1)的抛物线的抛物线 表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；(

40、2)(2)的折线表示的折线表示 的是每件产品的是每件产品A A的销售利润与上市时间的关系的销售利润与上市时间的关系 (1)(1)写出市场的日销售量写出市场的日销售量f(t)f(t)与第一批产品与第一批产品A A上市时间上市时间t t的关系的关系 式；式； (2)(2)第一批产品第一批产品A A上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，上市后的第几天，这家公司日销售利润最大， 最大利润是多少最大利润是多少? ? 【解析】【解析】(1)(1)设设f(t)=a(t-20)f(t)=a(t-20)2 2+60,+60,由由f(0)=0f(0)=0可知可知a= a= 即即 f(t)= (t-20)f(t)

41、= (t-20)2 2+60= +6t(0t40,tN);+60= +6t(0t40,tN); 3 20 3 20 2 3 t 20 (2)(2)设销售利润为设销售利润为g(t)g(t)万元，则万元，则 当当30t4030t40时，时，g(t)g(t)单调递减；单调递减； 当当0t300t30时，时，g(t)= g(t)= 易知易知g(t)g(t)在在(0(0， ) )单调递单调递 增，增，( 30)( 30)单调递减，而单调递减，而tNtN，故比较，故比较g(26),g(27),g(26),g(27),经计经计 算，算，g(26)=2 839.2g(27)=2 843.1g(26)=2 83

42、9.2g(27)=2 843.1，故第一批产品，故第一批产品A A上市后的上市后的 第第2727天这家公司日销售利润最大，最大利润是天这家公司日销售利润最大，最大利润是2 843.12 843.1万元万元. . 2 2 3 2t(t6t)(0t30tN) 20 g(t), 3 60(t6t)(30t40,tN) 20 ， 2 9 t24t, 10 80 3 80 , 3 【满分指导】【满分指导】函数模型应用解答题的规范解答函数模型应用解答题的规范解答 【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011江苏高考江苏高考) )请你设计一个包装盒请你设计一个包装盒. .如图如图 所示所示,AB

43、CD,ABCD是边长为是边长为60 cm60 cm的正方形硬纸片的正方形硬纸片, ,切去阴影部分所示切去阴影部分所示 的四个全等的等腰直角三角形的四个全等的等腰直角三角形, ,再沿虚线折起再沿虚线折起, ,使得使得A,B,C,DA,B,C,D四四 个点重合于图中的点个点重合于图中的点P,P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E.E、 F F在在ABAB上上, ,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点. . 设设AE=FB=x(cm).AE=FB=x(cm). (1)(1)某广告商要求包装盒的侧面积某广告商要求包装盒的

44、侧面积S(cmS(cm2 2) )最大，试问最大，试问x x应取何值应取何值? ? (2)(2)某厂商要求包装盒的容积某厂商要求包装盒的容积V(cmV(cm3 3) )最大，试问最大，试问x x应取何值应取何值? ?并并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值求出此时包装盒的高与底面边长的比值. . 【解题指南】【解题指南】解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示 成成x x的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解. . 【规范解答】【规范解答】设包装盒的高为设包装盒的高为h(cm)h(cm)，底面边长

45、为，底面边长为a(cm),a(cm),由已由已 知得知得 (1)S=4ah=8x(30-x)(1)S=4ah=8x(30-x)4 4分分 =-8(x-15)=-8(x-15)2 2+1 800,+1 800, 所以当所以当x=15x=15时时,S,S取得最大值取得最大值. .6 6分分 602x a2x,h2(30-x) 0 x30. 2 2 ， 分 (2) (2) 8 8分分 V= (20-x).V= (20-x). 由由V=0V=0得得x=0(x=0(舍舍) )或或x=20.x=20.9 9分分 当当x(0,20)x(0,20)时时,V,V0;0;当当x(20,30)x(20,30)时时,

46、V,V0.0. 所以当所以当x=20 x=20时时,V,V取得极大值取得极大值, ,也是最大值也是最大值. .1111分分 此时此时 即包装盒的高与底面边长的比值为即包装盒的高与底面边长的比值为 1212分分 232 Va h2 2( x30 x ), 6 2x h1 . a2 1 . 2 【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以 得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议： 失失 分分 警警 示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分： (1)(1)忽视实际问题对变量忽视实际问题对变量x

47、 x的限制即定义域的限制即定义域. . (2)(2)将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确将侧面积、容积求错，从而造成后续的求解不正确. . 备备 考考 建建 议议 解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失 分，在备考中要高度关注：分，在备考中要高度关注： (1)(1)读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型. . (2)(2)对涉及到的相关公式，记忆错误对涉及到的相关公式，记忆错误. . (3)(3)在求解的过程中计算错误在求解的过程中计算错误. . 另外需要熟练掌握求解方程、不等式

48、、函数最值的方法，另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法， 才能快速正确地求解才能快速正确地求解. . 1.(20121.(2012青岛模拟青岛模拟) )牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同，牛奶保鲜时间因储藏时温度不同而不同， 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系假定保鲜时间与储藏温度是一种指数函数型关系. .若牛奶放在若牛奶放在 00的冰箱中，保鲜时间约是的冰箱中，保鲜时间约是192 h,192 h,而在而在2222的厨房中则约是的厨房中则约是 42 h42 h，则保鲜时间，则保鲜时间y(h)y(h)关于储藏温度关于储藏温度x()x()的函数解析式是的函数解析式是 ( )(

49、) x 22x 22 x 22x 22 3232 (A)y192 (B)y192 77 77 (C)y192 (D)y192 3232 （）（） （）（） 【解析】【解析】选选D.D.设设y=ay=ab bx x. .则由已知得：则由已知得： 0 x 22 1 22 22 a192 192a b 7 ,y192 7 32 b42a b 32 解得（） （） 2.(20122.(2012黄山模拟黄山模拟) )某种产品市场产销某种产品市场产销 量情况如图所示，其中量情况如图所示，其中l1 1表示产品各年表示产品各年 年产量的变化规律；年产量的变化规律；l2 2表示产品各年的表示产品各年的 销售情况，下列叙述：销售情况，下列叙述： (1)(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行产品产量、销售量均以直线上升