12二次函数的图象与性质（1）

1、1.2二次函数图象和性质（二次函数图象和性质（1） 1、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0) 2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？ 2 xy 42 3 1 2 xxy 1 2 xxy 2 xxy x xy 1 2 回顾知识回顾知识: : 一、正比例函数一、正比例函数y=kx（k 0）其图象是什么。）其图象是什么。 二、一次函数二、一次函数y=kx+b（k 0）其图象又是什么。）其图象又是什么。 正比例函数正比例函数y=kx（k 0）其图象是一条经过）其图象是一条经过原点原点 的直线。的直线。 一

2、次函数一次函数y=kx+b（k 0）其图象也是一条直线。）其图象也是一条直线。 三、反比例函数三、反比例函数 （k 0）其图象又是什么。）其图象又是什么。 x k y 反比例函反比例函数数 （k 0）其图象是双曲线。）其图象是双曲线。 x k y (1)一次函数的图象是一条一次函数的图象是一条_，反比例函数的图象是，反比例函数的图象是_. (2) 通常怎样画一个函数的图象？通常怎样画一个函数的图象？ 直线直线双曲线双曲线 (3) 二次函数的图象是什么二次函数的图象是什么 形形 状呢？状呢？ 列表、描点、连线列表、描点、连线 结合图象讨论结合图象讨论 性质是数形结合的性质是数形结合的 研究函数的

3、重要方研究函数的重要方 法我们得从最简法我们得从最简 单的二次函数开始单的二次函数开始 逐步深入地讨论一逐步深入地讨论一 般二次函数的图象般二次函数的图象 和性质和性质 画二次函数画二次函数y=x2 2的图象的图象 列表：列表：由于自变量由于自变量x可以取任意实数，因此让可以取任意实数，因此让x取取0和一些负数，一些正数，和一些负数，一些正数， 并且算出相应的函数值，列成下表：并且算出相应的函数值，列成下表： x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3 y=y=x2 29 94 41 10 01 14 49 9 x y 0 0 -4-3-2-11234 10 8 6 4 2 -2 描

4、点描点, ,连线连线 y= =x2 2 ? 观察和分析：观察和分析：从图（从图（1）看出，点）看出，点A和点和点A ，点，点B和点和点B ，它，它 们有什么关系？们有什么关系？ 点点A和点和点A关于关于y轴对称，点轴对称，点B 和点和点B 也是也是 由此你能作出什么猜测？由此你能作出什么猜测？ 我猜测我猜测 的图象关于的图象关于y轴对称轴对称y= =x2 2 从图还可看出，从图还可看出，y y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？ 纵坐标随着增大纵坐标随着增大 在在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗轴右边的所有点都具有这样的性质吗

5、？ 我猜想都有这一性质我猜想都有这一性质 可以证明上述两个猜测都是正确的，即可以证明上述两个猜测都是正确的，即 的图象关于的图象关于y 轴对称；图象在轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大， 简称为简称为“右升右升” y= =x2 2 我们已经正确画出了的图象，因此，现在可以从图象（见图）看 出的其他一些性质（除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升” 外）： 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为 “左降”； 对称轴与图象的交点是_； 图象的开口向_； O(0,0) 上 减小 当 x =_时，函数值最_

6、0 小 y= =x2 2 y= =x2 2 2 xy 二次函数二次函数 y=x2的图象的图象 形如物体抛形如物体抛 射时所经过射时所经过 的路线的路线,我们我们 把它叫做把它叫做抛抛 物线物线 这条抛物线关于这条抛物线关于 y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物 线的交点叫做线的交点叫做 抛物线的顶点抛物线的顶点. 类似地，当a0时，的图象也具有上述性质， 于是我们在画 的图象时，可以先画出图 象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、 连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性 质） 2 y

7、ax 2 0y ax a 你会用描点法画二次函数 的图象吗的图象吗? ? 观察观察 的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算并计算 相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表： 2 1 2 yx 2 1 2 yx x32.5210.500.5122.53 4.53.12520.50.12500.1250.523.1254.5 2 1 2 yx 1 234 1234 1 2 3 4 5 x 2 1 2 yx 3 4.5 2.5 3.125 2 2 1 0.5 0.5 0.125 0 0 0.5 0.125 1 0.5 2 2 2.5 3.125 3 4.5 描点：描点： 在平

8、面直角坐标系内，在平面直角坐标系内， 以以x取的值为横坐标，相应的取的值为横坐标，相应的 函数值为纵坐标，描出相应的点，函数值为纵坐标，描出相应的点， 如图如图 列表列表 连线：连线： 连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺轴右边各点顺 次连接起来；然后利用对称性，画出图象在次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把轴左边的部分（把y轴左边的轴左边的 对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象。如图的图象。如图 2 1 2 yx 1

9、 234 1234 1 2 3 4 5 议一议议一议 (2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当x0呢？ (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？ 观察图象,回答问题： 2 xy x y O (1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 2 xy 当当x0 (在对称轴的在对称轴的 右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而 增大增大. 当当x=-2时，时，y=4 当当x=-1时，时，y=1 当当x=1时，时，y=1 当当x=2时，时，y=4 抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的 上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点 是它的最低点是它的

10、最低点,开口开口 向上向上,并且向上无限并且向上无限 伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y 的值最小的值最小,最小值是最小值是0. 驶向胜利 的彼岸 例例1、已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。 解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得 -8=a(-2)2,解出解出a= -2, 所求函数解析式为所求函数解析式为 y= -2x2. （

11、2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。不在此抛物线上。 2 ) 1(24 （3）由）由-6=-2x2 ,得得x2=3, 所以纵坐标为所以纵坐标为-6的点有两个，的点有两个， 它们分别是它们分别是 3x ) 6, 3() 6, 3( 与 练习练习: 1.已知二次函数已知二次函数y=ax2(a0)的图像经过点的图像经过点(- 2,-3). (1)求求a的值，并写出这个二次函数的解析的值，并写出这个二次函数的解析 式式. (2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置开口方向和图像的位置. 驶向胜利 的彼岸 2.若抛物线若抛物线y=ax2 （a 0），过点（），过点（-1，3）。）。 （1）则）则a的值是的值是 ； （2）对称轴是）对称轴是 ，开口，开口 。 （3）顶点坐标是）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的，顶点是抛物线上的 。 抛物线在抛物线在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。 在坐标系中画出二次函数在坐标系中画出二次函数及及的图象的图象 2 2yx 2 1 4 yx x00.512 00.528 2 2yx 描点描点 连线连线 列表列表 x01234 014 2 1 4 yx 1 4 9 4 描