第九知识块统计、概率(第8课时-第10课时) (3)

1、第第1010课时随机变量的均值和方差课时随机变量的均值和方差. . 理理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念/ /能计算简单离散型随能计算简单离散型随 机变量的均值机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题方差，并能解决一些实际问题/ /了解正态分布曲线的特点及了解正态分布曲线的特点及 曲线所表示的意义曲线所表示的意义 【命题预测【命题预测】 高高考对本课时内容的考查主要在离散型随机变量及服从二项分布和两点分考对本课时内容的考查主要在离散型随机变量及服从二项分布和两点分 布的分布列、数学期望与方差，以实际问题为载体，考查离散型随机变量的布的分布

2、列、数学期望与方差，以实际问题为载体，考查离散型随机变量的 数学期望与方差的计算与应用数学期望、方差是应用数学考查的主流题型，数学期望与方差的计算与应用数学期望、方差是应用数学考查的主流题型， 高考对这方面考查的深度与难度有明显加强的趋势，这也是今后高考的一大高考对这方面考查的深度与难度有明显加强的趋势，这也是今后高考的一大 热点热点以填空题的形式考查正态分布曲线的特点及概率以填空题的形式考查正态分布曲线的特点及概率 【应试对策【应试对策】 1对对离散型随机变量离散型随机变量X的期望应注意的期望应注意： (1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均；期望是算术平均值概念的推广，是概率意

3、义下的平均； (2)EX是一个实数，由随机变量是一个实数，由随机变量X的分布列唯一确定，即作为随机变量的分布列唯一确定，即作为随机变量X是可变的是可变的， 可取不同值可取不同值，而而EX是不变的是不变的，它描述它描述X取值的平均状态取值的平均状态；(3)EXx1p1x2p2 xnpn直接给出了直接给出了EX的求法的求法，即随机变量取值与相应的概率值分别相乘后相加即随机变量取值与相应的概率值分别相乘后相加 2对离散型随机变量对离散型随机变量X的方差应注意的方差应注意：(1)V(X)表示随机变量表示随机变量X对对EX的平均偏离程度的平均偏离程度， V(X)越大表明平均偏离程度越大越大表明平均偏离程

4、度越大，说明说明X的取值越分散，反之的取值越分散，反之V(X)越小越小，X的取的取 值越集中在值越集中在EX附近附近统计中常用统计中常用V(X)来描述来描述X的分散程度的分散程度(2)V(X)与与EX一样也一样也 是一个实数是一个实数，由由X的分布列唯一确定的分布列唯一确定(3)在记忆公式在记忆公式V(aXb)a2V(X)时，时，请注请注 意意V(aXb)aV(X)b，V(aXb)aV(X) 3随机变量随机变量X的线性函数的线性函数YaXb的期望为的期望为E(aXb)aEXb，此式可有如，此式可有如 下几种特殊的形式：下几种特殊的形式： (1)当当b0时，时，E(aX)aEX.此式表明常量与随

5、机变量乘积的数学期望，等于此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于 这个常量与随机变量的期望的乘积这个常量与随机变量的期望的乘积 (2)当当a1时，时，E(Xb)EXb.此式表明随机变量与常量的和的期望，等于此式表明随机变量与常量的和的期望，等于 随机变量的期望与这个常量的和随机变量的期望与这个常量的和 (3)当当a0时，时，E(b)b.此式表明常量的期望等于这个常量此式表明常量的期望等于这个常量 4求离散型随机变量的数学期望与方差的一般步骤为：求离散型随机变量的数学期望与方差的一般步骤为：(1)求出随机变量求出随机变量X的分的分 布列；布列；(2)利用公式先求利用公式先求EX，再求，再求V

6、(X)，其中，其中EXx1p1x2p2xnpn.若随若随 机变量服从两点分布，则机变量服从两点分布，则EXp，V(X)p(1p)，若随机变量服从二项分布，若随机变量服从二项分布 XB(n，p)，则，则EXnp，V(X)np(1p)利用二项分布的期望、方差计利用二项分布的期望、方差计 算公式及性质可以简化某些特殊的期望、方差的计算，但务必准确运用，防算公式及性质可以简化某些特殊的期望、方差的计算，但务必准确运用，防 止出现不该有的失误止出现不该有的失误 5数学期望和方差是两种表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动数学期望和方差是两种表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动 的程度的

7、量在实际问题中，有时仅靠期望值还不能完全说明随机变量的分的程度的量在实际问题中，有时仅靠期望值还不能完全说明随机变量的分 布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度方差这部分内容的命题背方差这部分内容的命题背 景非常丰富：射击等体育竞技、学科考试、商品流通、资金投放等在复习景非常丰富：射击等体育竞技、学科考试、商品流通、资金投放等在复习 中，应注意提高阅读题意、分析提出信息、加工整理信息、建立数学模型、中，应注意提高阅读题意、分析提出信息、加工整理信息、建立数学模型、 解答数学模型等各方面的能力解答数学模型等各方面的能力 6关于正态分布，要注意熟练地掌握以

8、下知识并能灵活地加以运用：关于正态分布，要注意熟练地掌握以下知识并能灵活地加以运用： (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3) 0.997 4. (2)3原则：服从于正态分布原则：服从于正态分布N(，2)的随机变量的随机变量X只取只取(3， 3)之间的值，并称为之间的值，并称为3原则原则 (3)正态分布标准化的重要关系式：正态分布标准化的重要关系式：. (4)标准正态分布的概率公式：标准正态分布的概率公式：P(aZb)P(Zb)P(Za) 【知识拓展【知识拓展】 均值、方差的求法均值、方

9、差的求法 (1)对对离散型随机变量的数学均值应注意如下几点：离散型随机变量的数学均值应注意如下几点： 数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均 EX是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量的分布列唯一确定，即作为随机变量X是可变的，是可变的， 可取不同值，而可取不同值，而EX是不变的，它描述是不变的，它描述X取值的平均状态取值的平均状态 EXx1p1x2p2xnpn直接给出了直接给出了EX的求法即随机变量取值与相的求法即随机变量取值与相 应概率值分别相乘后相加应概率值分别相乘后相加 E(aXb)aEXb，说明随机

10、变量，说明随机变量X线性函数线性函数aXb的期望等于随机变的期望等于随机变 量量X数学期望的线性函数此式可有如下几种特殊形式：数学期望的线性函数此式可有如下几种特殊形式： 当当b0时：时：E(aX)aEX，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这 个常量与随机变量的数学期望的乘积个常量与随机变量的数学期望的乘积 当当a1时：时：E(Xb)EXb，此式表明随机变量与常量和的数学期望，等于，此式表明随机变量与常量和的数学期望，等于 随机变量的数学期望与这个常量的和随机变量的数学期望与这个常量的和 当当a0时：时：E bb.此式表明常量的数学期望等于

11、这个常量此式表明常量的数学期望等于这个常量 (2)对离散型随机变量的方差应注意如下几点：对离散型随机变量的方差应注意如下几点： V(X)表示随机变量表示随机变量X对对EX的平均偏离程度的平均偏离程度V(X)越大表明平均偏离程度越越大表明平均偏离程度越 大，说明大，说明X的取值越分散反之的取值越分散反之V(X)越小，越小，X的取值越集中在的取值越集中在EX附近，统计附近，统计 中常用来描述中常用来描述X的分散程度的分散程度 V(X)与与EX一样也是一个实数，由一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定的分布列唯一确定 教材中给出：教材中给出：V(aXb)a2V(X)，在记忆和使用此结论时，请注意，在

12、记忆和使用此结论时，请注意 V(aXb)aV(X)b，V(aXb)aV(X) (3)求离散型随机变量求离散型随机变量X的均值与方差的方法：的均值与方差的方法： 理解理解X的意义，写出的意义，写出X可能取的全部值；可能取的全部值；求求X取每个值的概率；取每个值的概率；写写 出出X的分布列；的分布列；由均值的定义求由均值的定义求EX；由方差的定义求由方差的定义求V(X) (4)当断定随机变量当断定随机变量X服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列， 直接求出直接求出EX与与V(X) (5)在计算离散型随机变量的均值和方差时，首先要搞清其分布特征及分在计

13、算离散型随机变量的均值和方差时，首先要搞清其分布特征及分 布列，然后准确应用公式特别是充分利用均值和方差的性质解题，能布列，然后准确应用公式特别是充分利用均值和方差的性质解题，能 避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度如避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度如V(X)EX2(EX)2. 1离散型随机变量离散型随机变量X的均值与方差的均值与方差 若离散型随机变量若离散型随机变量X的概率公布如表所示的概率公布如表所示 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值均值(数学期望数学期望) 称称 为离散型随机变量为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为的均值或数学期望，记为 E(X)或或，即

14、，即E(X) ，E(aXb) . x1p1x2p2xnpn x1p1x2p2xnpn aEXb (2)方差方差 称称 (其中其中pi0，i1，2，n，p1p2 pn1)为离散型随机变量为离散型随机变量X的方差，记为的方差，记为V(X)或或2，即，即V(X) (xi)2pi (x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn xpi2.V(aXb) V(X) (3)标准差标准差 随机变量随机变量X的方差的方差V(X)的算术平方根称为的算术平方根称为X的标准差，即的标准差，即 . 思考：思考：随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？ 提示：提

15、示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随 观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方 差差 (x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn a2 2两点分布、超几何分布与二项分布的均值、方差两点分布、超几何分布与二项分布的均值、方差 (1)若若X01分布，分布，E(X)p，则，则V(X) . (2)若若XB(n，p)，则，则E(X) ，V(X) . (3)若若XH(n，M，N)时，时，EX ，V(X) . p(

16、1p) np(1p)np 1若随机变量若随机变量X的分布列为的分布列为 X01 Pa 则则EX_. 解析：解析： a1，a ，EXa . 答案：答案： ， 2若若X的分布列为，的分布列为， 则则EX_. 解析：解析：EX00.820.140.10.6. 答案：答案：0.6 x024 p0.80.10.1 3若若X的分布列为，的分布列为， 则则V(X)_. 解析：解析：V(X) . 答案：答案： 4若若XN(5,9)，则，则P(X5)_. 答案：答案：0.5 X10 P 5(南通市高三期末调研南通市高三期末调研)若若x1，x2，x3，x2 008，x2 009的方差为的方差为3，则，则3(x12

17、)， 3(x22)，3(x2 0082)，3(x2 0092)的方差为的方差为_ 解析：解析：由由V(aXb)a2V(X)得，所求方差为得，所求方差为33227. 答案：答案：27 (1)求求离散型随机变量的期望一般分为四个步骤：第一步，写出离散型随机变量的期望一般分为四个步骤：第一步，写出X可能取的值；第可能取的值；第 二步，求二步，求X取每个值时的概率；第三步，列出取每个值时的概率；第三步，列出X的分布列；第四步，求数学期的分布列；第四步，求数学期 望望 (2)求离散型随机变量的方差一般先求期望再求方差求离散型随机变量的方差一般先求期望再求方差 【例【例1】 随随机变量机变量X的分布列如下

18、：的分布列如下： 其中其中a、b、c成等差数列，若成等差数列，若EX ，求，求V(X)的值的值 思路点拨：思路点拨：根据分布列的性质和已知条件，可求出根据分布列的性质和已知条件，可求出a、b、c，再根据方差定义，再根据方差定义 或性质求或性质求V(X) 解：解：由由题意得题意得 ，解得，解得 ， V(X) . X101 Pabc 变式变式1：已已知知X的分布列为：的分布列为： 且且YaX3，EY ，则，则a为为_ 解析：解析：先求出先求出EX 再由再由YaX3得得 EYaEX 3. 解得解得a2. 答案：答案：2 X101 P 1V(X)表表示随机变量示随机变量X对对E(X)的平均偏离程度的平

19、均偏离程度，V(X)越大表明平均偏离越大表明平均偏离 程度越大，说明程度越大，说明X的取值越分散；反之的取值越分散；反之，V(X)越小越小，X的取值越集中的取值越集中 在在E(X)附近附近，统计中常用来描述统计中常用来描述X的分散程度的分散程度 2随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变 量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产 实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相 同，再用方差来决定同，再用方差来决定 【例【例2】 现现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万万 元、元、1.18万元、万元、1.17万元的概率分别为万元的概率分别为 ；已知乙项目的利润与产品价；已知乙项目的利润与产品价 格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产，设乙项目产 品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次品价格