大学高数公式终极整理

1、导数公式:高等数学公式(tgx); sec2 x(ctgx)二-csc2 x (secx) = secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax) = ax In aZl 、1(log ax)xln a,、1(arcsin x) 1 -x21(arccos x)=, - 1 - x21(arctgx) -21 x1(arcctgx) =21 x基本积分表：三角函数的有理式积分:tgxdx = -ln cosx +Cjctgxdx =ln sin x +Csecxdx =ln secx+tgx + Cdx.2-cos xdx.2 sin x2=sec xdx = tgx C2=

2、csc xdx = -ctgx Csecx tgxdx = secx Ccscxdx =ln cscx - ctgx +Cdx.-2 a xq2 x -adx.2 a -xdx,a21, x仆二一 arctg Ccscx ctgxdx - -cscx C1. x -a 八In C2aln2ax aa xCa -xxaxdx =-a- Cln ashxdx = chx Cchxdx = shx C.x _=arcsin- C adx 2/(xx2.a2) C,x - aIn712=sinn xdx0712cos0,x2 a2dxI ,，x2 -a2dxn2旦22 aln(x, x2a2) Cln

3、 x 7x2 -a2 +C, a2 -x2dxx 22a x 222 axarcsin C2a以 2usinx -一2,1 u1 -U2 cosx = .，x 2duu tg,dx-2y21 u2专业整理2013高等数学公式一些初等函数:两个重要极限:13 / 12x_x双曲正弦：shx=e2sin x lim 一 x w x二1x双曲余弦：chx =-21 xlim (1 -)=e =2.718281828459045j x双曲正切：thx =淞=ex e chx e earshx =ln( x/x2 1)archx = ln( x，= x2 -1)arthx1 , 1 x= -ln2 1

4、-x三角函数公式: ,诱导公式：如数 角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:和差化积公式sing 二 P) =s

5、in : cos 匚二 cos： sin :cos(二：)=cos- cos : -sin 二 sin :R a + P a -Psin-： sin = 2sincos22tg(- - -)=tg二 tg :1 二 tg： tg ：R 0f + 0sin - - sin - 2cos2a - Psin2ctg(二 )=ctg : ctg : - 1ctg1 二 ctg ;Q a十Pcoss cos- - 2cos2a - cos2R 0( + P a - Pcos二-cos : = 2sinsin22倍角公式:sin2： = 2sin 二 cos：3sin3： = 3sin二 一4sin，22

6、2. 2cos2： =2cos 二-1 =1 2sin =cos 二一sin 二ctg2：,2ctg 1-12ctg.)tg2：2tg：1 -tg 2a3cos3：= 4cos 二 一3cos23,c 3tg -tg 工tg3： =-1-3tg2：半角公式:asin 2_1 -cos：二一 2,:1 -cos：1 -cos：tg2. 1 cos 二 sin ;sin。：1 cos：1 cos： cos=22,：1 cos：1 cos：tg2,1cos 二sin：sin。：1 - cos：正弦定理：_a_ =_ =_c_ =2Rsin A sin B sin C余弦定理：c2 = a2 b2 -

7、 2abcosC反三角函数性质:一 冗.arcsin x =arccosx2JTarctgx =arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式:n(n)- 八 k (n -k) (k)(uv)八 Cnu vk=S(n)(n 4.) - n(n ,(n . . . . n(n )(n k d) (n_k) (k) .(n)=u v nu v u v u v uv2!k!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：f(b) -f (a) -f ( )(b-a)柯西中值定理:f(b)-f(a) f ()F(b)-F(a) F() 当F(x)=x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧

8、微分公式：ds =,1 + y%x,其中y = tgs化量；As： MM弧长。平均曲率：K =也从M点到M点，切线斜率的倾角变sM点的曲率：对|丝| = |空|=以.s0ls| Idsl (1y2)3直线：K =0;，一 一一 1半径为a的圆：K .a定积分的近似计算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)abb a ,、(y。 yiyn)nb -a1 /一(y。 yn) yi，- ymn 2抛物线法：f (x)ab -a(y。yn) 2(y2 V4yn/) 4(yi V3yn)3n定积分应用相关公式：功：W = F s水压力：F = p八引力：F=kmm2,k为引力系数r1 b函数的平均值

9、：y =f b -a a(x)dx均方根：,b：aa2dt空间解析几何和向量代数:空间2点的距离:d = M iM 2I = J(x2 xi)2 +(y2 yi)2 +(Z2 zi)2向量在轴上的投影：PrjuAB=AB cosQ中是AB与u轴的夹角Pr ju(ai a2)=Pr jai Pr ja2a b = a b cos =axbx +ayby +azbz,是一个数量两向量之间的夹角:cos1_axbxaybyazbz222222axayazbxbybzic = a 父 b = ax bxj k一ay az, c = a bsinH.例：线速度:by bzax向量的混合积：abc = (

10、a父b) c = bxcxay azby bz = a x b -c cos F为锐角时,cy cz代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式:A(xx0) B(y y0) C(z-z0)=0,其中 n = A,B,C, M。d，y。4)2、一般方程： Ax By Cz D =03、截距世方程：- =1 a b c平面外任意一点到该平 面的距离：d = lAX0+By0+CzilD.、A2 B2 C2x = x0 + mt空间直线的方程：x0 = -一y0 = z0 =t,其中s =m,n, p;参数方程： y = y0 + nt m n pz= z0 + pt二次曲面： 2221、椭球面：/

11、当4 =1a2 b2 c2222、抛物面： L =z,(p,q同号)2p 2q3、双曲面：222单叶双曲面：勺=1a b c222双叶双曲面：W+J=k马鞍面)a b c多元函数微分法及应用全微分：dz = dx dy:x；yL,L,u uu .du =dx dy dz .x；y.z全微分的近似计算：z dz = fx(x, y) x - fy(x, y) y多元复合函数的求导法：z = fu(t),v(t)z = fu(x, y),v(x,y)dz：z：uFz v-rr F dt：:uFtNFt.r,L,L,z二z二 u二 z=F十.x：:u：:xvFv.x当u=u(x,y), v=v(x,

12、 y)时,u u du dx dy 二 x二 y隐函数的求导公式:v v , dv = dx dy隐函数F(x,y) =0,dy 一区, dxFyd2y dx2隐函数 F(x,y,z) =0,:zF-x F-:z:yFx. , -： ( Fx、dy 一(丁)+ 一(丁) x Fy :yFy dxFz隐函数方程组：/(x,y,u,v) =0G(x,y,u,v) =0cFJ 4F,G)布E(u,v)更cu:v.:GFvGv:v:u1?(F,G)=-*:xJ；(x,v).:u1f(F,G)=-,:yJ：:(y,v).v 1 ?(F,G)=-:xJF(u,x).:v1f(F,G)=-，-yJf (u,

13、 y)微分法在几何上的应用:x =空间曲线y3(t)在点M (x0,y0, z0)处的切线方程: Jz - (t)x - xoy -yo _ z-zo(to) 一(to)在点 M处的法平面方程：(to)(x xo)+中(to)(y yo) +8(to)(z zo) =o若空间曲线方程为：F(x,y,z)=o则切向量T=FyFz,Fz Fx,Fx FyG(x,y,z)=oGy Gz Gz Gx Gx Gy曲面 F(x, y,z)=o上一点 M(xo,yo,zo),则：1、过此点的法向量:n =Fx(x0, yo, zo), Fy(x0,yo,zo), Fz(x0, yo,z。)2、过此点的切平面

14、方程：Fx(xo,yo,zo)(x-xo) +Fy(xo,yo,zo)(y-yo) + Fz(xo,yo,zo)(z-zo)3、过此点的法线方程:x -xo_ y - yo _ z-zoFx(xo,yo,zo) Fy(xo, yo,zo)Fz(xo,yo,z)方向导数与梯度：函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：=f cos中十*f sin中 fl ：:x Fy其中华为珞由到方向l的转角。开函数 z = f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf(x,y)= i + jF xy它与方向导数的关系是：=grad f (x, y) e,其中e =

15、cos中i +sin中 j,为l方向上的Fl单位向量。二f是gradf (x,y)在l上的投影。.:l多元函数的极值及其求法：设 fx(xo,yo) = fy (xo, yo) =0,令：fxx(xo,yo) = A,fxy (xo, yo) = B, f yy (xo , yo) = C_ 2r rAC B A0时,则：AC -B2 0时,A 0)的引力：F = Fx,Fy,Fz,其中:|x = r cos 柱面坐标：4 y =r sin 9,z = z设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：,x=9(t)Q E八则hi f (x, y,z)dxdydz = F (r,二，z)rdrd

16、二dz, 6Q其中： F (r,1,z) = f (r cosi, r sin i, z)|x 二 r sin 丁 cos 二球面坐标： y =r sin 中sin, dv = rd 中 rsin 中 d 日 dr = r2 sin 中 drd 中d z = r cos 中 J 2 二 二 r(111 f (x, y, z)dxdydz = F (r, :, 1)r2sin drd d 二- d? d : F(r, ,i)r2sin dr:：000111.重心： x =一 x：dv, yydv, z z： dv,其中 M =x=: dv- M - M - -转动惯量：Ix=(y2 z2) ;?

17、dv,Iy= (x2 z2) ;?dv,Iz =(x2y2):?dvQQQ曲线积分：第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：x =tJ小t)Pf(x,y)ds=f中(t)W，92。)”2dt ( P)特殊情况：)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为二中，则：y =(t)PP(x,y)dx Q(x,y)dy = j P ： (t),二(t) t) Q ：(t),二(t)二(t) dtL：两类曲线积分之间的关系：jPdx +Qdy = j(P cos o( +Q cos P)ds,其中 ot和P分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式:(-Q- - P-)dxdy =cPdx

18、 +Qdy 格林公式: d: x:ylD(f 4)dxdy=- Pdx QdyL当p=_y,Q=x,即：且_至_=2时，得到D的面积:,二 x二 y平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；A = dxdyd-ydx2、P(x,y), Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！，且EQ =不。注意奇点，如 (0,0),应；:x；:y二元函数的全微分求积在Q-= 更_时，Pdx十Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:：:xjy(x,y)u (x, y ) = jP(x,y)dx + Q(x,y)dy,通常设 x0 = y0 =0。(X。，y

19、)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y, z)ds= f x, y,z(x, y) , 1 zj(x, y) z2 (x, y)dxdy、Dxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx - R(x, y,z)dxdy,其中：EJjRlx, y, z)dxdy = Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正号；.二.D xy口P(x, y, z)dydz = JjPx(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正号；、DyzQ(x, y, z)dzdx = JfQx, y(z,x), zdzdx,取曲面的右侧时取正号。、Dzx两类曲面积分之间的

20、关系：/Pdydz+Qdzdx + Rdxdy = JJ(P cosa+Q cos P + Rcos?)dszz高斯公式：:P :OFR111 ()dv = : Pdydz Qdzdx Rdxdy = ： (Pcos-，, Q cos - Rcos )ds【x二 y二 z、高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div，=2+丝+史，即：单位体积内所产生的流体质量，若div50,则为消失.一 .一x : y：z通量：A nds = JJAnds = 口(Pcos +QcosP +Rcos，)ds,z z z _因此，高斯公式又可写 成：用divAdv = 9/Ands斯托克斯公式一一曲线积分与曲面

21、积分的关系:()dydz+( 一二更)dzdx +(2p 一. _.)dxdy =qPdx +Qdy +Rdz 为 江cz.exexyrdydz dzdx dxdycosot cos P cos 手上式左端又可写成：（LiCGC=HLi,一,一CGGtxcyczzexcyczPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：理=翌，cP _ cRcQ _ cP一 ， 一y友czxexcyikrotA =ex到改PQR旋度:向量场A沿有向闭曲线的环流量：寸Pdx十Qdy+Rdz = ,A tdsrr常数项级数:n等比数列：1-q-q2- qn1 二 q i -q等差数列：1 2 -3+-、-+n = （

22、n-1）n-2调和级数：1 1 1 1是发散的 23 n级数审敛法：1、正项级数的审敛法设：P =lim n/U7，则 nn2、比值审敛法：设：p=iim Un+,则 n U n根植审敛法（柯西判jp1时，级数收敛D .1时，级数发散7 =1时，不确定P1时，级数收敛7 .1时，级数发散P =1时,不确定别法）：3、定义法: sn =u1 +u2 + un; limsn存在，则收敛；否则发 散。交错级数U1 -U2 +u3 -U4+（或-U1 +u2-U3 +，Un A 0）的审敛法莱布尼兹定理：如果交错级数满足（UnUn；，那么级数收敛且其和SWU1,其余项rn的绝对值WUn书。lim un

23、 =0nT： n绝对收敛与条件收敛：u1 +u2 +un+,其中un为任意实数; U1 +U2I +3|+un +如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：工1发散，而 工(1)n收敛； nn.一一 1 一级数：、-2收敛； np级数:Ep _1时发散p .1时收敛2哥级数:x 2 3X x nx/|X 4 时,收敛于 j1+x+x +x + x +(1 -x|x21时，发散对于级数(3)a0 +a1x +a2x2 +anxn +，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全,|xR时发散，其中R称为收敛半径x=R时不定求收敛

24、半径的方法：设lim 亘 = P,其中 an, T anan书是(3)的系数，则一， 1P=0时，R =一 PP = 0时，R=FP = 一时，R = 0函数展开成哥级数：函数展开成泰勒级数：f (x)= f (x0)(x-x0) f (x0) (x -x0)2 - -(x0) (x - x0)n 2!n!f (n 1)( )余项：Rn =( +；/(x x0)n*, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn =0x0 =0时即为麦克劳林公式：f (x) = f (0)十f (0)x +-f(-0)x2+-一(-0)xn十2!n!一些函数展开成哥级数：m .m(m -1) 2 .

25、m(m -1) (m - n 1) n(1 x) 1 mx x -x(-1 ： x ：1)2!n!352 n 4x xnxsin x = x. ( -1)(_ ： - ； x ； , ： )3!5!(2n -1)!ix-ixe ecos x 二2ix-ixe _ esin x 二欧拉公式：eix =cos x i sin x三角级数：专业整理2013高等数学公式17 / 12qQf (t)=AoC An sin( n，t n)二n A其中，a0 = aAo,a 八 (an cos nx bn sin nx)2 nlan = An sin Pn, bn = An cos Pn, (ot=x。正交

26、性：1,sin x,cos x,sin 2x,cos2xsin nx,cosnx 任意两个不同项的乘积 上的积分=0。傅立叶级数：在-二，二f (x)=ran其中bna0.、 (an cos nx bn sin2 nJ1 二，、,二一 f (x) cos nxdx兀41 二=1 f(x)sin nxdx1 -2- -2- .352JInx),周期=2二(n =0,1,2)(n =1,2,3)1 . 12242162-正弦级数:二0,余弦级数:bn2412212211-2T34, 1 13242十_ 2二二一(相力口)6_ 27r (相减)12周期为212 二bn = f ( x) sin nx

27、dx 二。2 二an = f (x) cos nxdx 二 0的周期函数的傅立叶级数:f(x)琮n 二x(an cos -n 土l,lbn.n 二 x sin 一),周期n =1,2,3-n =0,1,2f (x) = bn sina 0 _ . f(x)二万八nx是奇函数an cos nx是偶函数an其中bn1n-：x.二一 f (x) cosdxl,l1 ln，=-f (x) sindxl,l(n =0,1,2 )(n =1,2,3 )微分方程的相关概念：一阶微分方程：y = f (x, y)P(x, y)dx Q(x, y)dy可分离变量的微分方程g(y)dy = f (x)dx:一阶微分方程可以化为g(y)dy = f