经济高数51PPT学习教案

1、会计学1 经济高数经济高数51 一、问题的提出一、问题的提出 二、定积分的定义二、定积分的定义 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 第一节第一节 定积分概念与性质定积分概念与性质 四、定积分的性质四、定积分的性质 第1页/共28页 ? A 实例实例1 (1 (求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积) ) )(xfy ),0)()( xfxfy 曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线 . , 所围成所围成 轴与两条直线轴与两条直线 bx axx a bx y o 第2页/共28页 a bx y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩

2、形总面积越接近曲边梯形显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形 面积面积 （四个小矩形）（四个小矩形） （九个小矩形）（九个小矩形） 第3页/共28页 曲边梯形如图所示曲边梯形如图所示 ， , , 1210 bxxxxxa ba nn 个分点，个分点， 内插入若干内插入若干在区间在区间 a b x y o i i x 1 x 1 i x 1 n x ; , , 1 1 iii ii xxx xx nba 长度为长度为 ，个小区间个小区间 分成分成把区间把区间 ，上任取一点上任取一点 在每个小区间在每个小区间 i ii xx , 1 iii xfA )( 为高的小矩形面积为为高的小矩形面积为为

3、底，为底，以以)(, 1iii fxx 第4页/共28页 i n i i xfA )( 1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为 i n i i xfA )(lim 1 0 时，时，趋近于零趋近于零 即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细 )0( ,max , 21 n xxx 曲边梯形面积为曲边梯形面积为 第5页/共28页 实例实例2 2 ( (可变边际成本的总成本问题可变边际成本的总成本问题) ) 设某产品的边际成本是设某产品的边际成本是 / ( )Cf x 是是产量的产量的 函数，当产量由函数，当产量由x a 增加到增加到x b 时总成本时总成本 的增加

4、量是多少？的增加量是多少？ 思路：把产量区间分割成若干小段，每小段上思路：把产量区间分割成若干小段，每小段上 成本看作不变，求出各小段的成本再相加，便成本看作不变，求出各小段的成本再相加，便 得到总成本增加量的近似值，最后通过对产量得到总成本增加量的近似值，最后通过对产量 区间的无限细分过程求得产量增加量的精确值区间的无限细分过程求得产量增加量的精确值 第6页/共28页 (1)(1)分割分割 0121nn axxxxxb 1iii xxx ( ) iii Cfx 部分增加成本值部分增加成本值某产量的边际成本某产量的边际成本 (2)(2)求和求和 11 ( ) nn iii ii CCfx (3

5、)(3)取极限取极限 12 max, n xxx 0 1 lim( ) n ii i Cfx 成本增加量的精确值成本增加量的精确值 第7页/共28页 实例实例3 3 ( (求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程) ) 设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度 )(tvv 是时间间隔是时间间隔, 21 TT上上t的一个连续函的一个连续函 数，且数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经，求物体在这段时间内所经 过的路程过的路程. . 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变

6、，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值 第8页/共28页 (1)(1)分割分割 212101 TtttttT nn 1 iii ttt iii tvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度 (2)(2)求和求和 ii n i tvs )( 1 (3)(3)取极限取极限,max 21n ttt i n i i tvs )(lim 1 0 路程的精确值路程的精确值 第9页/共28页 记记,max 21n xxx ， 并作和并作和

7、 ii n i xfS )( 1 ， 定义定义 0121 ( ), , nn f xa ba b axxxxxb a bn 设函数在上有界，在中任意插入 若干个分点 把区间分成 个小区间，各小区间的长度依次为 1 iii xxx，), 2 , 1( i， 在各小区间上任取在各小区间上任取 一点一点 i （ ii x ）， 作乘积作乘积 ii xf )( ), 2 , 1( i , ba如果不论对如果不论对 第10页/共28页 b a Idxxf)( ii n i xf )(lim 1 0 被积函被积函 数数 被积表达被积表达 式式 积分变量积分变量 为积分区间为积分区间,ba 积分上限积分上限

8、 积分下限积分下限 积分和积分和 上的定积分，记为上的定积分，记为在区间在区间 为函数为函数，我们称这个极限，我们称这个极限确定的极限确定的极限 总趋于总趋于时，和时，和怎样的取法，只要当怎样的取法，只要当点点 上上小区间小区间怎样的分法，也不论在怎样的分法，也不论在 ba xfII S xx i ii , )( 0 , 1 第11页/共28页 注意注意 (1)(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关积分值仅与被积函数及积分区间有关， b a dxxf)( b a dttf)( b a duuf)( ( (2 2) )定义中区间的分法和定义中区间的分法和 i 的取法是任意的的取法是任意的. .

9、(3 3) )当函数当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时， 而与积分变量无关而与积分变量无关. 称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积. . 第12页/共28页 . , )( , , )( 1 上可积上可积在在 则则上连续上连续在区间在区间若函数若函数定理定理 ba xfbaxf . , )( , , )( 2 上可积上可积在在有限个间断点，则有限个间断点，则 且只有且只有有界有界在区间在区间若函数若函数定理定理 baxf baxf 第13页/共28页 , 0)( xf b a Adxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 , 0)( xf b a Adxxf)

10、(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 的负值的负值 1 A 2 A 3 A 4 A 4321 )(AAAAdxxf b a 第14页/共28页 积取负号积取负号 轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在 数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线 的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于 xx bxax xfx , )( 几何意义几何意义 第15页/共28页 四、定积分性质四、定积分性质 对定积分的对定积分的补充规定补充规定: : （1）当）当ba 时，时，0)( b a dxxf； （2）当）当ba 时，时， a b b a dxxfdxx

11、f)()(. 说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小 第16页/共28页 证明证明 b a dxxgxf)()( iii n i xgf )()(lim 1 0 ii n i xf )(lim 1 0 ii n i xg )(lim 1 0 b a dxxf)(.)( b a dxxg ( (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) ) . )( )( )()( 1dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 性质性质 第17页/共28页 证证 明明 b a

12、dxxkf)( ii n i xkf )(lim 1 0 ii n i xfk )(lim 1 0 ii n i xfk )(lim 1 0 .)( b a dxxfk .)()( 2 b a b a dxxfkdxxkf性质性质 第18页/共28页 例如例如 若若, cba c a dxxf)( c b b a dxxfdxxf)()( b a dxxf)( c b c a dxxfdxxf)()( .)()( b c c a dxxfdxxf （定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性） 则则 .)()()( 3 b c c a b a dxxfdxxfdxxf bca

13、，则，则如果如果性质性质 . , 总成立总成立的相对位置如何，上式的相对位置如何，上式补充：不论补充：不论cba 第19页/共28页 证明证明, 0)( xf, 0)( i f ), 2 , 1(ni , 0 i x , 0)( 1 ii n i xf ,max 21n xxx ii n i xf )(lim 1 0 . 0)( b a dxxf ).( 0)( 0)( , 5 badxxf xfba b a ，则，则上上如果在如果在性质性质 .1 4abdxdx a a b a 性质性质 第20页/共28页 性质性质5 5的推论的推论 ： 证明证明 ),()(xgxf , 0)()( xfx

14、g , 0 )()( dxxfxg b a , 0)()( b a b a dxxfdxxg即即 于是于是 dxxf b a )( dxxg b a )(. .)()( ),()( , )1( b a b a dxxgdxxf xgxfba则则上上若在区间若在区间 第21页/共28页 证证 明明 , )()()(xfxfxf , )()( )(dxxfdxxfdxxf b a b a b a ).( )()( )2(badxxfdxxf b a b a ).( )()( badxxfdxxf b a b a 即即 第22页/共28页 证明证明 ,)(Mxfm ,)( b a b a b a M

15、dxdxxfdxm ).()()(abMdxxfabm b a （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围） ).()()( )( 6 abMdxxfabm xfmM b a 最大值及最小值，则最大值及最小值，则 在上的在上的分别是函数分别是函数及及设设性质性质 第23页/共28页 证证 明明 Mdxxf ab m b a )( 1 )()()(abMdxxfabm b a 由介值定理由介值定理, , ).)()( , , )( ) ( 7 abfdxxf ba baxf b a ，使得，使得上至少存在一点上至少存在一点连续，则在连续，则在 上上在在若函数若函数积分

16、中值定理积分中值定理性质性质 ，使，使上至少存在一点上至少存在一点在区间在区间 , ba 1 ( )( ), b a ff x dx ba ( )( )().() b a f x dxfbaab 即 第24页/共28页 积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释： x y oa b )( f . )( )( , , , 的一个矩形的面积的一个矩形的面积为为 边高边高梯形的面积等于同一底梯形的面积等于同一底 为曲边的曲边为曲边的曲边曲线曲线 为底，以为底，以使得以区间使得以区间 上至少存在一点上至少存在一点在区间在区间 f xfy ba ba 1 ( )( )( ) , b a ff x dxxa b ba 称为函数在区间上的平均值 第25页/共28页 解解, sin )( x