基与维数的几种求法

1、线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V中，如果有n个向量1, n满足：1, 2, n线性无关。V中任一向量总可以由1, 2, , n线性表示。那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dim v n，并称 ,2, n为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设V X AX 0，A为数域P上m n矩阵，X为数域P上n维向量，求V 的维数和一组基。解 设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组 AX 0的任一基础解系都是 V的基，且V的 维数为n r。0 a例2数域P上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加

2、法及数与矩阵的乘法所组成a b的线性空间，求此空间的维数和一组基。0 1 000a解易证为线性空间V1 a,bp的一组线性无关的向1 0 01ab0a亠0a0100量组，且对V中任一兀素有a+ babab1001按定义0 1 , 0 0为v的一组基，V的维数为2。10 0 1方法二 在已知线性空间的维数为 n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线 性空间的基。例3假定R x n是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，2n 1证明：1, x 1 , x 1 ,L , x 1 构成R x n的基。n 1证明考察 k, 1 k2 x 1 L kn x 10由xn 1的系数为

3、0得kn 0，并代入上式可得xn 2的系数kn 1 0依此类推便有kn kn 1L k10，故1, x 1 ,L , x 1 n 1 线性无关n1又r x的维数为n ,于是1, x 1丄,x 1为R x的基。nn方法三 利用定理：维数。数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的例4证明：由实数域上的矩阵 A 的全体实系数多项式 f A 组成的1 与复 数域 C 作为 实数 域 R 上 的 0线性空间Vabi| a,b R同构，并非求它们的维数。证明V 中任一多项式可记为 f A =aE bA, a,b R ，建立 V的如下映射1 a1 b1if1 A a1E b1 A a1

4、,b1 R易证是V到V上的单射，满射即一一映射。再设a1 a2b1 b2 ia1 a2 E b1 b2 A2 a2 b2i, a2,b2 R,K R ，则有ka1 kb1ika1 E ka1A kx1故是V到V的同构映射，所以V到V同构另外，易证V的一个基为1，i，故dimV2QV;VdimV 2方法四 利用以下结论确定空间的基：设1, 2丄,n与1, 2丄,n是n维线性空间V中两组向量，已知1, 2,L , n可由1, 2,L , n 线性表出：1 a11 1 a21 2 Lan1 n2a121a222 Lan2 nna1n1a2n2 Lann na11a12La1 n令Aa21a22La2

5、nan1an2Lann如果1,2丄Jn为V的一组基，那么当且仅当 A可逆时,2,L , n也是V的一已知1,x,x23,x是p x 4的一组基，证明1,1 x, 1 x 2, 13x 也是p x 4的一组基。证明因为x2x3x2x3x2x31000110012101321所以1,1 x, 13也为p x 4的一组基。组基。方法五 如果空间V中一向量组与 V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组 基。例6设R x 2表示次数不超过 2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明x2 x,x2 x, x 1为这空间的一组基。证明 k1 x2 x k2 x2 x k3 x 1

6、 0贝 Vk1 k2 0K k2 k30k30解得 k3 k2 k10于是x2 x,x2 x, x 1线性无关，它们皆可由x2,x,1线性表示，因此x2 x,x2 x, x 1与x2,x,1等价，从而 Rx2中任意多项式皆可由x2 x,x2 x,x 1线性表示，故x x, x x, x 1为R x 2的基。利用下面两个定理:方法六定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个 m n矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵:Ir0B，其中Ir表示r阶单位矩阵。0依据这两个定理，我们可以很方便地求出V1 I V2的一个基，从而确定了维数。例7设V

7、1 L1 , 2 ,V2 L1, 2是数域F上四维线性空间的子空间，且数。1,2,1,0 , 2 1,1,1,12, 1,0,1 , 21, 1,3,7 .求 V1 I V2 的一个基与维解若r V1 I V2，则存在x,y1, y2r 为1X22 y1 1 y2 2(1)即有x1 1X22 y1 1 y2 2 0( 2)若 1, 2,1,2线性无关，（2）仅当xX2y1y20时成立那么V1 I V是零子空间，因而没有基，此时维数为0,V1 V2是直和若存在不全为零的数x1, x2, y1, y2使（2）成立，则V1 IV2有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r。以 1,

8、2 ,1,2为列向量作矩阵A ,经行初等变换将 A化为标准阶梯形矩阵112 11 0 01211 10 1 04A行初等变换A11030 0 1301170 0 002121A。r 1 4 2 3 1 2 5,2,3,4 是 V1 I V2 的一个基dim V1 I V21同时知，1, 2是V的一个基，dimV121, 2是5的一个基，dim V221, 2, 1, 2是V V2的一个基，dim V1 V2秩 A =3方法七 在线性空间 V 中任取一向量 ，将其表成线性空间 V 一线性无关向量组的线 性组合的形式， 必要的话需说明向量组是线性无关的。 这一线性无关向量组就是我们要找的 基。例8

9、求V L( 1,2)与V2 L( 1,2)的交的基和维数。1 (1,2,1,0) 1 (2， 1,0,1) 设,2 ( 1,1,1,1)2 (1, 1,3,7)解 任取V1 I V2 ,则V1,x11x22,且V2,y11y22,x1 1 x2 2 y1 1 y2 (注：此时a虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在V1、V2中的表示，并非本题所求，即要在空间 V V2中将a线性表出)x1 1 x2 2 y1 1 y20,求 x1,x2,y1,y2x1x2 2 y1y202x1x2 y1y20x1屜3y20X2%7 y20解得 (x1, x2, y1, y2)(k,4k,3k, k )k( 1

10、 4 2)k(312 ) k(5, 2,3, 4)故 V1 IV2是一维的，基是(5,2,3,4)易知 (5, 2,3,4) 是非零向量,是线性无关的。方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数 公式 ： 如果 V1,V2 是 有 限 维线 性 空间 V 的两 个子 空 间， 那 么dim V1dimV2dimV1V2dim V1 I V2例9已知13, 1,2,1,20,1,0,2 11,0,1,3 , 22,3,1, 6 求由向量41 , 2 生成的 p4的子空间V1L1, 2 与向量 1,2 生成的子空间 V2L 1, 2 的交与和空间的维数的一组基。解 因为 V1V2 L1, 2

11、, 1,2 ，对以 1, 2, 1, 2为列的矩阵施行行初等变换：3012000011031103AB2011001112360003秩A秩B3，所以 V1V2的维数是3且12, 12 为极大线性无关组，故它们是 V1V2 的一组基。又由i, 2线性无关知 V的维数为2，同理V2的维数也为2，由维数公式知 Vi I V2的 维数为 2 23 1。从矩阵B易知1212 2,故123, 3,2, 3是VV公有的非零向量，所以它是交空间 V1 I V2 的一组基。方法九 由替换定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组 1, 2,L , r 线性无关， 并且 1, 2,L , r 可由向量组 1, 2

12、,L , s 线性表出，那么1 r s2必要时可适当对1, 2,L , s中的向量重新编号，使得用1, 2,L , r替换1, 2,L , r后所得到的向量组1, 2丄，r, 1丄,s与向量组1, 2丄，s等价。特别，当r s时，向量组1, 2,L , s与向量组1, 2,L , s等价。例 10 已知向量组 1 2,0,1,3 , 2 0,3,1,0 , 3 1,2,0,2 , 4 2,6,3,3 , 设它们是向量组 1, 2, 3的线性组合，又设向量组1,2丄,rm与向量组1, 2, 3等价，试求r1,r2,L , rm生成的空间的交空间的基和维数。201304110701解01310031003102021202120226