理学n维向量空间PPT学习教案

1、会计学1 理学理学n维向量空间维向量空间 1212 , TT nn b bb 向量和相等 对应分量都相等 1 ii bin 222 , T nn bbb和:的 1 2 0,0,0 , T T n 零向量 负向量 向量称为 的 - - 1 12 ,k, T n kkkk向量数与数乘 第1页/共63页 1 ; 2:; 3; 4; 5 1; 6; 7 O O k lkl kkk 加法交换律: 加法结合律 向向量量加加法法和和向向量量与与数数的的数数乘乘运运算算规规律律 : : 8klkl 第2页/共63页 n nn R 维实向量 所有 空间维实向量的集合称为。 定4. 记为 义1 1212 , T

2、n nn R 为实数 n nn C 所有 维复向量的集合称为。向量空间 记为 维复 12n12n ,z,z T n Cz zz z为复数 第3页/共63页 向量的线性表示向量的线性表示 12 12 ,4, , .2 m m n k kk 设都是 维向量， 定 若存在数使得 义 , , , , 1122 mm kkk 12 12 , , m m 称可由 或 线性表示 线性的合称组是 第二节 向量的线性表示与线性相关 第4页/共63页 12 34 12 123 34 4 = -3,2,0,5, (1,0,0,0) ,(0,1,0,0) , (0,0,1,0) ,(0,0,0,1) . , 205

3、T TT TT ee ee e ee eee e e 例向量 可由线性表示： =-3 1 122 12 12 (1,0,0),(0,1,0),(0,0, , 1) n n n n e x ex ex ee nx e xx 一般地， 对任意 维向量 第5页/共63页 向向 量量 线线 性性 表表 示示 与与 线线 性性 方方 程程 组组 的的 关关 系系 11 112 1112 2122 211 21 122222 12 1 1 nnm 2 , mm mm nnnmmn mn a xxxb xxxb xxxb 给定具有 个变量的 个线性方程组成的方程组 记 12 1 22 n 22 m 11 n

4、 , b m m m m b xxx 1 b 方程组写成： m 第6页/共63页 ()(,) ()( (1) ,) rankrank rankrankm 12m12m 12m12m 12m 12m 1 (1)向量可由向量线性表示 的充要条件是： (2)向量 定 可由向量地线 性表示的充要条件是： 可 理4.1 惟 量 一 由向证： , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 12 12 , (), () m m T mx xx AX AX xx x xx x 2m mm 121 m 12 2 线性表示 存在 个数，使得 方程组 有解

5、其中 , , , , , , , , , , , 第7页/共63页 1 12 2 , ( )( ) (2) , ( ()(,) (), () m m AA rank Arank A mx xx AX A xxx rankrank 12 12 m 1 m 2 mm 1212 mm 1212 矩阵 即： 可由向量线性表示 存在 个惟一的数，使得 方 惟 程组 有惟一 一 解 其中 地 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ), () ( )( ) ()() ()(,) , T Xx xx AA rank Arank Am rankrankm

6、 m12m mm 12 m 12 m 1212 矩阵 即： , , , , , , , , , , , , , , , , , 第8页/共63页 12 34 4123 1234 123 (1,2, 3,1) ,(5, 5,12,11) (1, 3,6,3) ,(2, 1,3,4) 15121512 25310311 312630000 111340000 ()( 4.2 TT TT rankrank 设 问：是否可由，线性表 例 解： 示？ ， ， 1234 4123 )23 ， 可由，线性表示, 但表示式子不惟一 第9页/共63页 12 12 : 0, 4 k .3 0 m mm nA k

7、kk kk A 12m 12 设有 维向量组 如果存一组不全为 的数 ，使 称向 义 量组 定 得 , , , 线线性性相相关关 12 12 k 0 0 m mm kkk kk A 12 仅当时 成立 称向量组 线线性性无无关关 第10页/共63页 1 4.2 定理 仅仅含含一一个个向向量量 的的向向量量组组线线性性相相关关 = 0 2 含含有有零零向向量量的的向向量量组组线线性性相相关关 3至少 向向量量组组线线性性相相关关有有一一个个向向量量可可由由其其他他 向向量量线线性性表表示示 4 部部分分向向量量向向量量组组 向向 线线性性相相关关线线性性相相关关 线线性性无无量量组组任任意意部部

8、分分向向量量关关线线性性无无关关 第11页/共63页 12 12122 , m,0 m mmm k kkkk 1 证（3）：若向量线性相关，则存在不全为0 的 个数使得 k 1 2 12 11 1 0, m m k kk k k 不妨设于是 可用向量组的其它向量线性表示。 122 mm cc反之，若 122 10 mm cc 12 , m 则线性相关 第12页/共63页 112 1 2 1122 2 12 12 1 12 1 2 , , 0 , ,0,0 0 , 0 , 00 m m k k k kk kkkm km c cc c cc ccc ccc (4): 若向量组，中部分向量 ，线性相

9、关 则存在 + + 不全为 的数使得 则不全为零 证 向向量量组组线线性性相相关关 12 , , . m 反之 若线性无关, 如果它有某一个部分 向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关, 所以,. 它它的的任任意意一一个个部部分分向向量量组组也也必必线线性性无无关关 引起矛盾 第13页/共63页 12 1122 12 12 1122 12 , (,) , (, ,) m mm m m mm m xxxO rankrm xxxO rankm 定理4.3 向量组线性相关 方程有非零解 向量组线性无关 方程只有零解 证：由齐次方程组是否有非零解的充要条件可证。 第14页/共63页 1212 1

10、2 1 ,det,0 det,0 nn n 线性 无线性 相关 关 12 2, m mnn 当时, 维向量组必定线性相关 证明(2) 12 12 12 , , , m m m n ranknm 矩阵只有 行 它的秩 所以向量组线性相关 第15页/共63页 12 12 12 12 12 12 1122 , , , , , , 4.4 0 m m m m m m mm n pn c cc ccc 设 维向量组线性相关， 是矩阵，则向量组 也线性相关； 反之，若向量组线性无关， 则向量组线性无关 ： 若线性相关 则存在不全为零的 数使 定理 证 AAAA AAA 第16页/共63页 1122 0 m

11、m ccc 两 边 左 乘 矩 阵 A 1122 0 mm cccAAA 12 , m 线性相关AAA 12 12 12 (,) , , m m m AAA 若线性相关线性相关 引起矛盾 反之，若线性无关， 原向量组也必线性无关 AAA 第17页/共63页 11,11 21,22 11 1, 211 12222 12 , , , , , , , 1 T rn T rn T m r r mmrmrmnm aaa aaa aaa a a a n 则这 ， 推论（ 些向量的个 ， 成 若 的 ） 组向量 维维向向量量组组 线线性性相相关关 前前r分r分量量 r nrr, 任取则可表示成 的线性组合，

12、即存在一组数C 使得 ran ( ( k 矩阵( 1 121 12 2 ,), ,),) , , (, ) , , ) m r m r rr OOO rank O r O rank(rank( ( 所以， 第35页/共63页 12 12 1 2 22 2 rank rank , (1), , ,), , ) , , , ri r m r i r m i r rank A ri nkr m ra 1 1 11 充分性。已知 ：线性无关， 且对任意 线性相关， ( , , , , 1 1 可可知知A A 是是A A的的最最大大线线性性无无关关组组 第36页/共63页 12 12 :, 1 rank

13、 2 ( ), 4.7 m m rank Arrank A 1 1 设有向量组 则 的任意包含 个向量的线性无关部分 向量组都是 的 任意包含相同个数的向量。 ：(1) 设向量组A 含有A中任意r个线性无 关向量, 则(组构成的矩阵 定理4.8 。 证 ） 由定 明 理知，是 的 A , , , , A A A r r 极极大大线线性性无无关关组组 极极大大 极极大大 线线性性 线线性性无无关关组组 无无关关组组. . 第37页/共63页 12 rank m r (2) 因为 的任意最大线性无关组都 恰好包含= 个向量. A , , 例:求向量组的极大无关组. ) 1, 1 , 4(),1 ,

14、 3, 2(),1, 2 , 1 ( 321 12 124124 ,231011 111000 A 3 , 32)(Ar 123 , 线性相关。 1212 , 但线性无关，是一个极大无关组； 1313 , 也线性无关，也是一个极大无关组。 第38页/共63页 12 12 T m m 矩阵的秩 它的列向量组的秩. 又因 的秩等于的秩， 矩阵 的秩 它的行向量组的秩. A= , , = , , AA A = 12m 定义4.6 向量组A:的秩 。 秩定 定义为 只有零向量的向量组义0的为 它它的的最最大大线线性性无无关关组组所所包包含含向向量量的的个个数数 , , 由定理由定理 4.74.7可知可

15、知 第39页/共63页 1rankrank 2rankrankrank 3rankrank. 4 可由 线性表示 可由 线性表示 可由 线性表示 线性无关 BAA BA BABA BA BABA BA B. s r 等等价价的的线线性性无无关关向向量量组组含含有有相相同同个个数数的的向向量量 12125 , r A= , ,B, 定理定理4.9 证证 明明 第40页/共63页 1 11 1 rankrankrank. ran 1 k rank 21. 31 43 若 可由 线性表示，取 中最大线性无关组 ， 可由线性表示也可由线性表示 的最大线性无关组 也可用线性表示 所以也可用 线性表示.

16、由即知 若 可用 线性表示，由知 若 可由 线性表示，且,由知 所以 线性相 BAAA AABA ABBA A BA BA B B A BA A B r s , s r 关. 第41页/共63页 有有齐齐次次线线性性方方程程组组 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 12 , T ijn m n AaXx xx 记, 0AX 方方程程解解是是一一个个n n维维向向量量 齐线组次次性性方方程程 第42页/共63页 齐次线性方程组的解的性质. 定定理理 4.10 4.10 1212 ,0,XXAX

17、c c都是的解，是任意数 1122 c Xc X也是方程组的解. 12 , s XXX1线性无关 12 , s XXX2 任意一个解可由线性表示 12 , s XXX为为方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系 线性组合 第43页/共63页 rank . rn nr 设 是齐次线性方程组 4.11 的系数矩阵 若，那么它有基础解系 且任意一个基础解系包含个解 A A -1-1 0 0 00 r r mn AX E E 存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ，使 于是，方程等价于 （） Q 0 PAQ = 00 PQ X = 0. 4.13 P P 定理定理 4.11 证明证明 第44页/共63页

18、-1 -1 -1 1-1 2 1 2 2 0 00 , . r nr E 因可逆，方程 4.13 等价于 （） 把分块: 那么，4.14 等价于 也就是说，方程的通解为 其中，是任意维向量 P Q X = 0. 4.14 Q X Y Q X = Y Y = 0. AX = 0 0 X = Q Y Y 第45页/共63页 0 0 r+1r+2n 12n r+1r+2n r+1r+2n-rn AX cAX 的任意解 都是向量的线性组合 又因 可逆，线性无关， 因此也线性无关， 所以是的一个基础解系. XQQQ QQQQ QQQ QQQ 1212 1 0 0 . nr+1r+2n-rn n r c

19、ccccc c c X =,QQQ 12n 设 的列向量是，QQ ,Q ,Q T 212n-r c ccY, 第46页/共63页 例4.16 0 rank( )rank( ) n n 若，矩阵为 列，证明AB = AB 证 rank,rank. rs B B的的每每一一列列都都是是方方程程AX = 0AX = 0的的解解. . AB AX = 0AX = 0的的基基础础解解系系包包含含n-rn-r个个解解 B B中中至至多多有有n-rn-r个个线线性性无无关关向向量量 s sn-rn-r，即即r+sr+sn.n. 第47页/共63页 设有非齐次线性方程组 11 112211 21 122222

20、 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 1212 , TT ijmm m n Aabb bbXx xx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 AXb （4.16） 第48页/共63页 定理 4.12 12121212 1 1 若若X ,XX ,X 是是 4.164.16 的的两两个个解解，则则= X - X= X - X 是是 对对应应的的齐齐次次方方程程组组AX = 0AX = 0的的解解； * * * * 2 2 若若X X 是是 4.164.16 的的一一个个特特解解，是是对对应应齐齐次次方方程程 组组的的通通解解，那那么么 4.

21、164.16 的的通通解解为为X =X =+ X+ X 证证 12 1AXbAXb由和得 1212 0,AA XXAXAX 0AX所以 是的解. 第49页/共63页 * 11 * 0 0 XXX AX X AX 11 2 若是 4.16 的任意一个解，由 1 知 是的解，所以含于通解中（即可 由中所 含的任意常数取特定值而得到） 4.16 的任意解可写成的形式， 这里 是的通解. 0AX若 是的通解，则 * AXAAXb * XAXb所以是的解，综合上述知 * XX 是 4.16 的通解. 反之反之 第50页/共63页 子子空空间间的的概概念念 VV n 设 是的非空子集，若 对向量加法与数乘

22、 封闭，即满足 R R ,VV 1,有； 2.VV n ，有R R V n 称 是的线性子空间R R 第51页/共63页 |0,WX AXX n R R n 是的子空间.R R 证证 1212 ,XXW n 设，,由定理4.10知R R 1122 .XXW 0WW n 又，是的子空间R R 4.20例 0Am nAX设 是矩阵，则方程的解集; 第52页/共63页 12r 设有向量组， ，则所有可由这个 向量组线性表示的向量组成集合 1122 |1,2,. rri Vir ，R R V n 仿照例4.21可以证明， 是的子空间，R R 12r ， ，由由向向量量组组生生成成的的子子空空间间 第5

23、3页/共63页 定理 4.13 1212 , rs LL ， ， AB2 向量组 与向量组 等价 1212 , rs LL ， ， 1212 :, rs AB 1：， ，可用线性表示 第54页/共63页 12 : r AV VA 设向量组， ，是子空间 中的线性 无关组，且 中任意向量是向量组 的线性组合， 称.向向量量组组A A为为子子空空间间V V的的一一组组基基 VArV rrV n 若的子空间 的一组基 包含 个向量，称 是 维子空间， 称为 的 . R R 维维数数 子子空空间间 0 0 的的维维数数定定义义为为0 0 子子空空间间的的基基、维维和和向向量量坐坐标标 基基 维维 第55页/共63页 例4.26 12 , 0|0, n r AXWX AX rank Arn nr W W Wnr X W nn 方程的基础解系包含个线性无关解 记为 中任意向量是 解集是的子空间 它们的线性组合 基础解系构成的一组基 中任意个线性无关解都是一组基 也是方程的一组基础解系. RRRR 第56页/共63页 例4.27 112233123 23 3 |, 1,2,0,2,3,1,1, 1, 1 TTT Vxxxx x x V 1 设，其中， 证明 是的子空间，且求它的一组基. n n R