K形图的前世今生之一线三角问题

1、 “k”形图的前世今生之一线三角问题 响应号召不出门，没事在家写论文。用这难得的时间研究、思考，归纳、总结。今天说一说：相似经典题型之一线三等角问题“k”形图是相似三角形命题的热点之一，在中考中也常常出现，下面我们就认真研究一下它的前世今生。请看下图如图，直线be与acd组成一个“k”字，如果b=acd=e，这个图形即为“k”形图。特征是“一线三等角”，易得abcced。 以下是简要证明过程 证明：ace=a+b 即acd+dce=a+b 又b=acd dce=a 又b=e abcced （注：若ca=cd。则有abcced。）下面就让我们一起见识一下k形图的常见题型吧。lets go！三直角

2、型三直角型是最经典的k形图题，常常与矩形、平面直角坐标系或直角梯形等相结合，识别度很高。例1 如图，正方形abcd中，ab=4，点e在ab上，def=90若bf=1，试 求ae的长。解析：当def=90时，a=def=b，符合一线三等角，ade与bef组成“k”形图，易证两三角形相似，故有ad:be=ae:bf，即4 ：（4-ae）= ae:1，得ae=2。例2 如图，在矩形abcd中，cd=2，ad=3，点p是ad上一动点，且不与a、d重合，过点p作pcpe，pe交边ab于点e。设pd=x，ae=y，求y与x的函数关系式，并求出y的最大值。解析：由题意，a=d=epc，符合一线三等角条件，故

3、ape与dcp组成“k”形图，易证两个三角形相似，因而有ae:pd=ap:dc，即y：x = （3-x）: 2 ，得y=-0.5x2+1.5x。当x=3/2时，y最大，y=9/8。练习a：如图，在平面直角坐标系中，a（0，6），b(8，2)，bcx轴于点c，点p为线段oc上一点，且papb，求点p的坐标。练习b：如图，点a（1，2）在反比例函数y=2/x （x0），点b在反比例函数y=-8/x （x0）上，且oaob。求点b的坐标。提示：图中有一线三等角，aco和dob组成k形图，设b(x，y)，易得ac:od=oc:bd，故有1：（-y）=2：x，（注意od=-y）。得y=-0.5x，把y=

4、-0.5x代入y=-8/x，可求出x的值，进而求出点b的坐标。等腰型k形图也常常与等腰三角形相结合，利用等腰三角形的底角来构造k形图，一线三等角的特征较为隐蔽，我们要特别留意。例题3 如图，abc中，ab=ac，bc=8，点d是bc边上一点，点e、f分别在ab、ac上，且edf=c，已知bd=6，be=4。求cf的长解析：由题意易得，edf=c=b，符合k形图的一线三等角条件，易证bedcdf，且cd=bc-bd=8-6=2，故有be:cd=bd:cf，即4：2=6：cf，可得cf=3练习c：如图，在等边abc中，点d、e分别在边bc、ac上，ade=60，bd=2，ce=1，求abm形图m形

5、图与k形图是“亲兄弟”，外形极像，我也顺便把它也点点名，以防把这俩哥俩弄混了。先看图如图，若b=d，acb=ecd，则abcedc，我们称之为m形图，并可得ab:de=bc:dc，与k形图中的对应关系不同，要认真辨别，不要把两种图形和对应关系混淆。（在k形图中，由相似三角形可得ab:cd=bc:de） 例4 在直角梯形abcd中，abcd，daab，cd=2，ab=3，ad=7。在ad是否存在点p，使pab和pcd相似？若能，共有几个符合条件的点p?请求出相应线段pd的长；若不能，请说明理由。解析：pab和pcd组成k形图或m形图时，两个三角形都会相似，下面我们一一分析。（1）当cpb=90时，a=cpb=d，符合三线一角，pab和pcd组成k形图，pabcdp，可得cd:pa=pd:ba，设pd=x，则有2：（7-x）=x：3，即x2-7x+6=0，解方程可得x=1或6。（2）当cpd=bpa时，pab和pcd组成m形图，易证pabpdc，可得cd: ba =pd: pa，设pd=x，则有2：3=x：（7-x），得x=2.8.由上可知，符合条件的点p有三个，即当pd=1，6或2.8时，pab和pcd是相似三角形。练习d（练习a的变式）：如图，在平面直角坐标系中，a（0，4），b(9，2)，bcx轴于点c，点p为线段oc上一动点，问当p在何位置时，pao与pbc