双曲线知识点总结

1、双曲线知识点指导教师：郑军双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长（v IF1F2I ）的点的轨迹 （| PF-PF? =2a| FiF2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I的距离之比是常数e（e 1）时，这个动点 的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线图818双曲线的标准方程:2 2令_令/ (a 0, b 0)(焦点在x轴上);2 2笃务=1 (a 0, b 0)(焦点在y轴上);a b1. 如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.a不一定大于b.2

2、2 2 22. 与双曲线冷一為/共焦点的双曲线系方程是-Xy ia2 b2a2 +k b2 _k2 23. 双曲线方程也可设为：L_=i(mn0)m n2 2且过P(3,4)点，求双曲线C的例题：已知双曲线C和椭圆汁計1有相同的焦点,轨迹方程。点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系:1点与双曲线：2 2点P(x0,y。)在双曲线笃-每=1(a 0,b 0)的内部二2 X。2 aYo 1 b21a b2 222点Pgy。)在双曲线笃-每=1(a 0,b 0)的外部=x2-y； :：: 1a ba b2 2 2 2点P(x0,y0)在双曲线 笃 笃=1(a 0,b 0)上=寻-卑=1 a b

3、a b2直线与双曲线：(代数法)2 2设直线I : y =kx - m，双曲线 笃 = 1(a0,b0)联立解得a2 b2(b2 _a2k2)x2 _2a2mkxa2m2a2b2 =01) m=0时，- k :-直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点)；a ak 一，k乞- b，或k不存在时直线与双曲线没有交点；aa2) m = 0 时，k存在时，若b2 -a2k2 =0k二一-，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a若 b2 -a2k2 = 0，厶二(-2a2mk)2 -4(b2 -a2k2)(-a2m2 -a2b2)= 4a2b2(m2+ b2- a2 k2.：0时，m2

4、b2a2k2 . 0 ,直线与双曲线相交于两点; 二：0时，m2 b2 a2k2 : 0 ,直线与双曲线相离，没有交点；2 2:-0时m2 b2 a2k2 =0 , k2 = m-2直线与双曲线有一个交点;a若k不存在，a ： m ： a时，直线与双曲线没有交点；3.m a或m0, b0)若渐近线方程为a2y=双曲线可设为-渐近线方程:-渐近线方程:=0= y=_bxa2 2x yx y0b= 1(a0,b 0)五、1.4.若双曲线与a2 - b2二1有公共渐近线则双曲线的方程可设为上)双曲线与切线方程:a2b2=-C 0，焦点在x轴上，:： 0，焦点在y轴双曲线 =1(a 0,b 0)上一点

5、P(x0,y)处的切线方程是 a XqX畑b22.过双曲线22 =1(a 0,b 0)外一点P(x0, y0)所引两条切线的切点弦方程是a bXx yy2 .2=1a b3.双曲线-七=1(a 0,b 0)与直线Ax By C = 0相切的条件是A2a2 - B2b2二c2.a b双曲线标准方程(焦点在x轴)2 2X2 - y2 =1(a A0,b A0) ab标准方程(焦点在y轴)双曲线的性质:六、定义范围对称轴对称中心焦占坐八 、八、一I-标顶点坐 标离心率准线方 程2 y2 ax2b2= 1(a . 0,b . 0)第一定义：平面内与两个定点 Fi , F2的距离的差的绝对值是常数(小于

6、 F1F2 )的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M 呼-MF2 =2al 2a ：证第二定义：平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离的比是常数e,当e 1时, 动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e(e 1)叫做双曲线的离心率。ryy*/F；/xKFix 启a， yRya， xRx轴，y轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b原点 0(0,0)Fd-c,。)F2(c,0)F!(0,-c)F2(0,c)焦点在实轴上，c =Pa2 +b2 ;焦距：RF2 =2c(-a,0)( a,0)(0,- a,) (0， a)C(e 1)，c

7、a2 b2，e越大则双曲线开口的开阔度越大a2旦x 二Cjay 二c2 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：空-C顶点到 准线的 距离顶点A ( A2 )到准线li ( I2)的距离为a-C22_t 2 顶点A ( A2)到准线12 ( li)的距离为L+ac焦占至U 八、八、亠J准线的 距离22焦点Fi ( F2)到准线li ( I2)的距离为c a _bc c2焦点Fi( F2)到准线I2( ii)的距离为a_+cc渐近线方程.b (虚) y =_x()a实.b(虚)x=_y () a实共渐近 线的双 曲线系 方程2 2一与=k ( kO)ab2222=k ( kO)ab直线和

8、 双曲线 的位置2 2双曲线-r -笃=i与直线y =kx +b的位置关系：abr 22x y i利用 a2 b2转化为一元二次方程用判别式确定。y =kx +b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB的弦长 AB = Ji + k2寸& +X2)2 -4xiX2通径：AB | = | y2 - y*i过双曲 线上一 点的切 线:行u或利用导数a-Xb02X=i或利用导数弦长公式:七、若直线y =kx，b与圆锥曲线相交于两点A、B,且xnx2分别为A、B的横坐标，则AB.,(xi X2)2 (yi y2)2AB=Jk2 +1 % -x2=k2 K xX2 $ -4/2 二 1 k

9、，若 , y2分别为 A B 的纵|a|XX2坐标，则 ab =J*+i % -y2讥 +y2-4y212b 2通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A B两点，则弦长|ABFl 0a若弦AB所在直线方程设为x = ky+b，则AB = 4仆2|特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解,2 2例：直线y = x 1与双曲线_ -1相交于A, B两点，贝U AB =23八、焦半径公式：2 2双曲线 笃-与 (a0, b0) 上有一动点M(x0,y0) a b当 M (x0,y0)在左支上时 | MF1 |= _ex)-a, I MF2 卜-ex -

10、 a当 M (X0,y)在右支上时 | MR |二 ex a , | MF2 ex - a 注：焦半径公式是关于Xo的一次函数，具有单调性，当 M(x0,y0)在左支端点时IMFjc-a ,IMF2 |=c a，当 M(Xo，yo)在左支端点时 |MFi |=c a , | MF? |=c-a 九、等轴双曲线：2X2a则:2 一当=1 (a0, b0)当a二b时称双曲线为等轴双曲线；b21. a 二b ；2. 离心率e 2 ;3. 两渐近线互相垂直，分别为y=_x ;5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线：1.4. 等轴双曲线的方程x2-y2定义

11、：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共 轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线.2.3.方程：性质：共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆.它们的离心率的倒数的平方和等于1o2牛 -1 (a0;b0)的焦点为F1与F2，且p为曲线上任意一点， F1PF2二2二ob则 PF1F2 的面积 S = b2cot 二焦点三角形面积公式： S F;1PF2二bcot?，*，Fi PF2)双曲线1.2.点P处的切线PT平分 PFF2在点P处的内角.PT平分 PFF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点.3.4.以焦点弦P

12、Q为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P在右支；外切：P 在左支)2 2若P)(x, y。)在双曲线 令-占=1 (a0,b 0) 上,则过P)的双曲线的切线方程是a b若P)(xo,y。)在双曲线2 x2 ab26.7.8.9.=1 (a 0,b 0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切 点为Pi、P2,则切点弦P1P2的直线方程是 竽一缪=1.a b2 2双曲线 冷一吿=1 (a0,b o)的左右焦点分别为Fi, F 2，点P为双曲线上任意一 a b2 y点.F1PF2二，则双曲线的焦点角形的面积为 S f1PFb2cot-.设过双曲线焦

13、点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于 M N两点，贝U MFL NF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M, AP和AQ交于点N,贝U MFLNF.2 211. AB是双曲线 ；=1 (a0,b 0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y。)为AB的中点,a bb2b2贝 U KoM KaB 二 2 0 ，即 KaB 二 2 0。ay。ay。2 212. 若F0(x,y0)在双曲线 -2=1 (a0,b 0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是a b22泌 yy xy - - - ,2 .abab13. 目录14. 双曲线知识点 错误！未定义书签15. 1双曲线定义： 错误！未定义书签16. 2.双曲线的标准方程： 错误！未定义书签17.3.双曲线的标准方程判别方法是： 错误！未定义书签18. 4.求双曲线的标准方程 错误！未定义书签19. 5.曲线的简单几何性质 错误！未定义书签20. 6曲线的内外部 错误！未定义书签21. 7曲线的方程与渐近线方程的关系 错误！未定义书签22. 8双曲线的切线方