2017027平面向量的数量积练习题含答案

1、平面向量的数量积练习题、选择题21已知|b| = 3, a在b方向上的投影是3,则a b为（）B.3C. 3D. 2解析：由数量积的几何意义知所以a b = 3 X3 = 2.答案：D2. 设向量 a，b 满足 |a+ b|= 10, |a b|= ：6,贝U a b=()A . 1B . 2C. 3D . 5解析：因为 |a+ b|2= (a + b)2= a2+ b2+ 2a b= 10, |a b|2= (a b)2= a2 + b2 2a = 6，两式相减得:4a b =4，所以 a b= 1.答案：A3. 已知向量a, b满足|a|= 2, |b|= 1, a b= 1,则向量a与a

2、 b的夹角为（）7tA6B.n3D.d3解析：|a b|=寸(a b) 2 = a2 + b2 2a b ,设向量a与a b的夹角为0,则a (a b)22 13CO S|a|a b| 2x 32n 又0 0, n,所以A .6答案：A4. (2015陕西卷)对任意向量a, b，下列关系式中不恒成立的是()A . |a b| 毛|b|B. |a b| |b|C. (a+ b)2=|a+ b|2D. (a + b) (a b)= a2 b2解析：根据a b= |a|b|cos 0又cos 1知|a b|毛|b|, A恒成立.当向量 a和b方向不相同时，|a b|a| |b|, B不恒成立.根据|

3、a + b|2= a2+ 2a b+ b2= (a+ b)2, C恒成立根据向量的运算性质得 (a + b) (a b) = a2 b2, D 恒成立.答案：B5. 若向量a与b的夹角为60 |b|= 4，且(a + 2b) (a 3b) = 72,贝U a的模为()A . 2B . 4C. 6D . 12解析：因为(a + 2b) (a 3b)= a2 a b = 6b2 =|a|2 |a| |b|cos 60 6| b|2 =|a|2 2|a| 96 = 72,所以 |a|2 2|a| 24= 0,所以 |a|= 6.答案：CA . 5 3B. 3 ;5C. 2 ；5D . 2 .2解析：

4、因为a / b,所以4+ 2x= 0,所以 x= 2, a b= (1, 2) ( 2, 4) = (3, 6),所以 |a b|= 3 5.答案：B7. （2015杭州模拟）如图，在圆 0中，若弦AB = 3，弦AC = 5,则AO BC的值是（）A . 8B. 1C. 1D. 8答案D解析取 BC 的中点 D,连接 AD、OD ,则有 OD 丄 BC, AD = 2（AB + AC）, BC = ACAB,AO BC= (AD + DO) B C= AD BC+ DO BC = AD BC= $(AB + AC) (AC AB)=2(Ac2 Ab2)=冷2 32)= 8,选 D .& (2

5、015 福建卷)设 a= (1, 2), b= (1, 1), c= a+ kb.若 b c,则实数 k 的值等于()3d.2解析：c= a + k b= (1 + k, 2+ k)，又 b c,3 所以 11 + k) + 1*2 + k)= 0，解得 k= 2.答案：A9.已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1 , 2)、B(4, 1)、C(0, 1)，则 ABC 的形状为（ ）A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .以上均不正确解析：AC = （ 1, 3）, AB = （3, 1）.f f因为 AC AB= 3+ 3 = 0,所以AC丄AB.ff又因为

6、|AC|=10, |AB|=10,所以AC= AB.所以 ABC为等腰直角三角形.答案：Cuuv uuv uuv uuv uuv uuv10.点O是厶ABC所在平面上一点，且满足 OA OB OB OC OA OC，则点O是厶ABC的（）A .重心B .垂心C .内心D .外心解析：因为OA OB= OB OC ,f f f所以OB (OA OC)= 0,f ff f即 OB CA= 0,则 OB 丄 CA.f同理 OA 丄 BC, OCX AB.所以O是厶ABC的垂心.答案：B11.在 ABC所在的平面内有一点ULUTP,满足PAULLJ ULUVUUTPB PC = AB，则 PBC与厶A

7、BC的面积之比是()1123a.3B.1C.2d3f f f f解析：由 PA+ PB + PC= AB,f f f f得 PA+ PB+ BA+ PC= 0,即PC = 2AP,所以点P是CA边上的三等分点，如图所示.故S竺=匹=2Sabc AC 3.答案：Cuuuuiv uuuvuuu/ULU/UUV UUV UUV12. O是平面 ABC内的一定点，P是平面 ABC内的一动点，若(PBPC)(OBOC)(PCPA) (OA OC)=0,贝y O ABC 的()A .内心B .外心C .重心D .垂心f f f f解析：因为(PB PC) (OB + OC)= 0,f f f f贝U(OB

8、 OC) (OB+ OC) = 0,所以 OB2 OC2= 0,所以 |OB|= |0C|.ff同理可得|0A|= |0C|,fff即 |0A|= |0B|= |0C|. 所以0 ABC的外心.答案：B 二、填空题ULUV UJIVUUUV UJV13. 如图所示， ABC 中/ C= 90。且 AC= BC = 4,点 M 满足 BM 3MA，则 CM CB =f f f i f f i f f i f f f i f解析：CM CB = CA+ 4AB CB = 4AB CB = 4(CB CA) C B = 4CB2= 4.答案：4UJV UUVUUV ，一14. 如图所示，已知点 A(

9、1 , 1)，单位圆上半部分上的点B满足0A 0B = 0,则向量0B的坐标为 解析：设 B(x, y), y0.x2+ y2= 1 ,Flx = 2 ，f所以OB =x+ y=0 ,2，2 y= 2，答案：2 ,22 *2uuuvuuvuuv一15.在 ABC 中，BC = a ,CA = b ,AB = c ,且满足:|a|= 1, |b|= 2 , |c|= 3 ,则 a b+ b c+ c a 的值为.解析：在厶 ABC 中，因为 |a|= 1, |b|= 2, |c|= 3,所以 ABC为直角三角形，且 BC丄BA，以BA, BC为x, y轴建立坐标系，则B(0, 0), A( 3,

10、 0),C(0, 1),所以 a= BC = (0, 1), b = CA = ( 3, 1), c= AB = (- 3, 0).所以 ab + b c+ ac= 1 3 + 0= 4.答案：4maruuvuuv uuy16. 在ABC中，已知|AB|=|AC|= 4，且 AB AC = 8，则这个三角形的形状是 .f f解析：因为 AB AC = 4X4 cos A = 8,所以cos A=；,所以/ A= n所以 ABC是正三角形.答案：正三角形三、解答题17. 已知向量 a= (2, 0), b= (1, 4). (1)求|a + b|的值；(2)若向量ka + b与a + 2b平行，

11、求k的值；若向量ka+ b与a+ 2b的夹角为锐角，求 k的取值范围.解：(1)因为 a= (2, 0), b= (1, 4),所以 a+ b = (3, 4),则 |a + b|= 5.(2) 因为 a= (2, 0) , b= (1 , 4),所以 ka+ b = (2k+ 1, 4) , a + 2b= (4 , 8);因为向量ka+ b与a+ 2b平行，1所以 8(2k+ 1) = 16 ,贝U k= 2.(3) 因为 a= (2 , 0) , b= (1 , 4),所以 ka+ b = (2k+ 1, 4) , a + 2b= (4 , 8);因为向量k a+ b与a+ 2b的夹角为

12、锐角，4 ( 2k+ 1)+ 320, 所以 1k2，解得k 9或k2.18如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点 A与M重合，设折痕为 形面积为64,求厶AEM的面积.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设 AM与EF交于点N,则点，又正方形边长为 8,所以 M(8, 4), N(4, 2).EF，若正方N是AM的中设点 E(e, 0)，则 AM= (8, 4), AN =ff(4, 2), AE = (e, 0), EN= (4 e, 2),由AM 丄EN得AM EN= 0,即(8, 4) (4- e, 2) = 0,解得 e= 5,即 |AE|=

13、5.1 t t 1所以 & AEM = 2|AE|BM|= 2/5X 159因为 0 180所以 sin 0= 1 cos20=1 生3 =p.所以3a b与a+ 3b夹角的正弦值为 厶乎.20. 在四边形 ABCD中，已知 AB= 9, BC = 6,t tt tCP= 2PD.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP BP的值;2t tt t(2)若四边形ABCD是平行四边形，且 AP BP = 6,求AB与AD夹角的余弦值.t t解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD DC = 0.t tt 1 t t - t2 t由 CP = 2PD，得 DP = 3DC , CP = 3CD =

14、3DC.t t t t t t所以AP BP= (AD + DP) (BC + CP)=AD + 3dCAD3DC =tAD23aD DC -紜2= 36 2 X81 = 18.-f f ff 1 -ff 1 -f(2)由题意，AP = AD + DP = AD + 3DC = AD + 3AB,-f -f -f -f 2 f f 2 fBP= BC + CP = BC+ ；CD = AD ；AB,所以AP BP =AD + ；ABAD - ；ABf1 f f厶,3AD2 3AB AD 9AB2= 36 3AB AD 18= 18 3AB -AD.f f 1 f f又AP BP = 6，所以

15、18 3AB AD = 6,f f所以 AB AD = 36.f f f f又 AB AD = |AB| |AD|cos 0= 9 X6 tos 0= 54cos 0,2所以 54cos 0= 36,即 cos 0=-.3所以AB与AD夹角的余弦值为2.21. (2015济宁模拟)已知向量a = (cos 0, si n0), 0 0, n,向量b= (3, 1).若a丄b，求0的值;若|2a b|m恒成立，求实数 m的取值范围.解析 / a丄 b,. 3cosB sin0,n得 tan 0= *3,又 0 0 , n, 0= 3.3/ 2a b= (2cosB叮3, 2sin 0+ 1),

16、|2a b|2= (2cos 0 3)2+ (2sin 0+ 1)21寸3冗=8 + 8(sin 0cos 0) = 8 + 8sin( 0 3),又 0 0 , n, 0扌 2 n,b|2的最大值为16.b|的最大值为4.又|2a b|4.22. (本题满分 12 分)(2015 厦门模拟)已知向量 a = (cos a, sin a, b= (cosx, sinx), c = (sinx+ 2sin a, cosx+2cos a)，其中 0 ax n.(1)若a=:,求函数f(x) = b c的最小值及相应的 x的值；若a与b的夹角为n，且a丄c,求tan2a的值.n 解析/ b= (co

17、sx, sinx), c = (sinx+2sina, cosx + 2cosa), a=-. f(x) = b c=cosxsinx+ 2cosxsin a+ sinxcosx + 2sinxcos a=2sin xcosx + J2(s inx+ cosx).n令 t = sinx+ cosx(4xn)贝U t (- 1,2),且 2sinxcosx = t2- 1. y=t2+ 2t 1 = (t + 22)2 2, t ( 1,2).当t =-3打2,ymin= 2 此时 sinx + cosx=专.即 2sin(x + n =, si n(x+4)= 2 ,n4x nn n 5 n 2x + 44.n 7 n 口戸 X+ 4=6,即11x=