微积分研讨课——通过双曲函数求积分

1、通过双曲函数求积分通过双曲函数求积分 电科四班 杜新川 例:(2008-2009第一学期-填空第四题) 0 0 0 0 x sec 2 1 2 sec isinxcosixix-isinix-cos dx ee dx ixdixi dx ix x 双曲函数双曲函数 双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切： 双曲余切： 双曲正割： 双曲余割： 2 sinh xx ee x 2 cosh xx ee x xx xx ee ee x x x cosh sinh tanh xx eex hx 2 sinh 1 csc 1sinhcosh 22 xx xx xx ee ee x x tanh 1 coth x

2、x eex hx 2 cosh 1 sec 等轴双曲线 双曲函数和三角函数的转化关系双曲函数和三角函数的转化关系 ixhx ixx ixix ixihx ixix ixix secsec coscosh sinsinh csccsc cotcoth tantanh 四则运算四则运算 xxx xxx xxx xxxxx yx yx yx yxyxyx yxyxyx 3 3 2222 sinh4sinh33sinh cosh3cosh43cosh coshsinh22sinh 1sinh21cosh2sinhcosh2cosh tanhtanh1 tanhtanh )tanh( sinhcoshc

3、oshsinh)sinh( sinhsinhcoshcosh)cosh( 求导法则求导法则 （sinhsinh x)= x)=coshcosh x x （coshcosh x)= x)=sinhsinh x x （tanhtanh x)=sech x)=sech2 2x=1-tanhx=1-tanh2 2 x x （cothcoth x)=-csch x)=-csch2 2x x （sechsech x)=- x)=-sechsech x x* *tanhtanh x x （cschcsch x)=- x)=-cschxcschx* *cothcoth x x 积分变换积分变换 Cxxdx C

4、xxdx Cxxdx Cxxdx C x hxdx Cxhxdx )ln(sinhcoth )ln(coshtanh coshsinh sinhcosh 2 tanhlncsc harctansinsec 玩一点高端的玩一点高端的 悬链线悬链线 与与达芬奇的时代时隔达芬奇的时代时隔170170年，久负盛名的雅各布年，久负盛名的雅各布伯努利在一篇论伯努利在一篇论 文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年 且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一

5、条抛物线，但问题一直悬 而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。 但但遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后，遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后， 雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰伯努利发伯努利发 表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不不 可能可能算是一算是一 个谦和的胜利者，因为他后来回忆说：个谦和的胜利者，因为他后来回忆说： 我我哥哥的努

6、力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解 开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？） 没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息不过第二天早晨，我就满不过第二天早晨，我就满 怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样， 始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再

7、折磨自己 去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。 可笑可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚整整一晚” 的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一 种种“奇耻大辱奇耻大辱”。 )cosh( a x ay 函数表达式：函数表达式： 这只是刚刚开始 我们试着从悬链线的下定点我们试着从悬链线的下定点 做渐开线会得到什么呢？做渐开线会得到什么呢？ 经过一堆巴拉巴拉的微分几何的运算经过一堆巴拉巴拉的微分几何的运算

8、sin) 42 lntan( cos aay ax 这个又是什么鬼？这个又是什么鬼？ 曳物线曳物线( (tractrixtractrix) ) 是指被是指被 曳拉物体受垂直于初始静曳拉物体受垂直于初始静 止状态时绳线方向的牵引止状态时绳线方向的牵引 力作用下的运动轨迹。力作用下的运动轨迹。 好吧，说人话好吧，说人话 悬链线的顶点的渐开线是曳物线 （tractrix).这条曳物线的渐进 线称为悬链线的准线 好，继续 最速降曲线最速降曲线 正交场离子运动 轮摆线 形成过程 类比到悬链线呢？类比到悬链线呢？ 悬链线悬链线是直线上滚动的抛物线是直线上滚动的抛物线 的焦点的运动轨迹的焦点的运动轨迹 试着旋转一下两种曲面呢试着旋转一下两种曲面呢 伪球面伪球面悬链面悬链面 回到这个题：回到这个题： 不难发现其实所要求的被积函数就是不难发现其实所要求的被积函数就是 1/2sechx1/2sechx，通过双曲函数的积分变换可求，通过双曲函数的积分变换可求 得原函数得原函数 4 0)nharctan(silim 2 1 )nharctan(si 2 1 sec 2 1 0