吉林大学 高等数学 课件05

1、 第二章 ,0时xxxxsin,3 2 都是无穷小. 第三节 0 x ,0,0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大 定义定义1. 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,若 0 0 xx)(xf 则称函数 是当)(xf 0 xx 时的无穷小量. )(xf 当 时，有 时, 有,min 21 一、一、 无穷小及其性质无穷小及其性质 性质性质1. 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小 . 证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim 0 xx ,0lim 0 xx ,0,0 1 当 10 0 xx时 , 有 2 , 0 2 当 20 0 xx时 , 有 2 取则当 0 0 xx 22 因

2、此 .0)(lim 0 xx 这说明当 0 xx 时,为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 ! 例如，例如， nnnn n n 222 1 2 11 lim 1 ( P38, 题 5 (2) ) 解答见课件第二节解答见课件第二节 例例 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 性质性质2 . 有界变量与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),( 10 xx Mu 又设,0lim 0 xx 即,0,0 2 当),( 20 xx 时, 有 M 取,min 21 则当),( 0 xx

3、 时 , 就有 uu M M 故,0lim 0 u xx 即u是 0 xx 时的无穷小 . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 性质性质3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o y x 例例1. 求. sin lim x x x 解解: 1sinx 0 1 lim xx 利用性质 2 可知.0 sin lim x x x x x y sin 说明说明 : y = 0 是 x x y sin 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 0 lim( ), xx f xA ( )( ).f xAx ( )( ).f xAx 0

4、 lim( ) xx f xA ( )( ).f xAx 证证: 0 lim( )0, xx x 0,0, 0 lim( )0. xx x 取 ( )( ),xf xA 当 0 0 xx ( )( ),xf xA 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 设 则 时，有 其中 0 lim( )0 xx x 0,0, 0 0 xx ( )( ),f xAx 0 lim( ). xx f xA 且有 设 则当 时，有 即 第二章 ,0时xxxxsin,3 2 都是无穷小,引例引例 . x x x3 lim 2 0 ,0 2 0 sin lim x x x , x x x3 sin lim 0

5、, 3 1 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无穷小的比较二、无穷小的比较 ,0limC k 定义定义2. ,0lim 若则称 是比 高阶高阶的无穷小, )(o ,lim 若 若 若 , 1lim 若 ,0limC 或 ,设是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶低阶的无穷小; 则称 是 的同阶同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶阶无穷小; 则称 是 的等价等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 , 当 )(o 0 x时 3 x 2 6xxsin; x xtan;x xarcsinx 2 0 cos1

6、 lim x x x 2 2 0 sin2 lim x x 又如又如 ， 2 2) (4 x 2 1 故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小, xcos1 2 2 1 x 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明: 当0 x时,11 n x x n 1 证证: lim 0 x 11 n x x n 1 0 lim x 11 n n x x n 1 1 1 n n x 2 1 n n x 1 1 ,0时当 x11 n xx n 1 nn ba)(ba 1 ( n aba n 2 ) 1 n b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 设, 且 lim存在 , 则

7、lim lim 证证: lim lim lim lim lim lim 例如例如, x x x5sin 2tan lim 0 x x x5 2 lim 0 5 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明: 无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若 ,则 例如, xx x x 3 sin lim 3 0 x x x3 lim 0 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 ,limlim 且 .时此结论未必成立但 例如, 11

8、 sin2tan lim 0 x xx xx xx x 2 1 0 2 lim 2 (3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x 界, 则)(limx)(limx 例如, . sintan lim 3 0 x xx x 3 0 lim x xx x 原式 3 0 )cos1 (tan lim x xx x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 2 1 0 lim x xx x 例例3. 求 0 1 sinlim 1 sinarcsinlim 00 x x x x xx 解解: 原式 2 3 1 x 2 2 1 x 例例4. 求. 1cos 1)1 ( lim 3 1

9、 2 0 x x x 解解:,0时当x 1)1 ( 3 1 2 x 2 3 1 x 1cosx 2 2 1 x 0 lim x 原式 3 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Mxf)( 三、无穷大三、无穷大 定义定义2 . 若任给任给 M 0 ,0 0 0 xx一切满足不等式的 x , 总有 则称函数)(xf当 0 xx 时为无穷大, 使对 .)(lim 0 xf xx 若在定义中将 式改为 Mxf)( 则记作 )(lim )( 0 xf x xx )(lim( )( 0 xf x xx )(Xx )(x )(lim( xf x (正数正数 X ) , 记作 , )(Mxf 总存在 机动

10、目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf )2(nf)(n 当 n2 但0)( 2 nf 所以x时 ,)(xf不是无穷大 ! ox y xxycos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 若)(xf为无穷大, )( 1 xf 为无穷小 ; 若)(xf为无穷小, 且,0)(xf 则 )( 1 xf 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 0 lim ,0 , , )0(C ,1 ,0lim C k 1. 无穷小的比较 设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k