浙江专版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆学案新人教A版选修2_1

1、2.2 椭圆2. 2. 1椭圆及其标准方程课前自主学习站軽才摊楼丽预习课本P3842,思考并完成以下问题1. 平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么?2椭圆的标准方程是什么?新知初探1. 椭圆的定义平面内与两个定点 Fi, F2的距离的和等于常数（大于|FiF2|）的点的轨迹叫做椭圆这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.点睛定义中的条件2a|FiF2|0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边 得出来的.否则： 当2a= | FiF2|时，其轨迹为线段 F1F2； 当2ab0) a b2 2y x= 1( ab0)a b焦点坐标(c, 0)，(c

2、, 0)(0， c)， (0， c)a， b， c 的关系2 2 . 2 c = a b小试身手1.判断下列命题是否正确.（正确的打“V”，错误的打“ x”） 平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆（） 已知椭圆的焦点是 F,F2, P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q使得I PQ = | PR|，则动点Q的轨迹为圆()2 2x y(3)方程a2+ b2 = 1(a0，b0)表示的曲线是椭圆()答案： x (2) V (3) x2 2x y2 若椭圆-+ m= 1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为()A. 1B. 2C. 4D . 6答案：C2 23椭圆 丄+ 扫 =1的焦点

3、坐标是 .25169题型一求椭圆的标准方程典例求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(一4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0); 焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).2 2一x y解(1)因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为a? + b= 1( ab0).将点(5,0)代入上式解得a= 5,又c= 4, 所以 b2= a2 c2= 25 16= 9.2 2故所求椭圆的标准方程为25+ 9 =1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为2 2y x孑+ f= 1( ab0)因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),40a2+b2=1,所以0

4、1a2+b2 =1a2= 4,b2= 1.故所求椭圆的标准方程为2y 1 2彳 + x = 1 .423确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1) “定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2) “定量”是指确定 a2, b2的具体数值，常根据条件列方程求解.-活学活 r一一一一一一一一一一_-一一-求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 经过两点(2，- 2) , 1，罟 ；2 2(2) 过点(3 , - 5)，且与椭圆25+ x9 = 1有相同的焦点.2592 2解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为

5、 + p = 1(ab0).42尹 b= 1，由已知条件得114尹 4?= 1，2解得a2 = 8,b2 = 4.所以所求椭圆的标准方程为 x+y=1.842 2若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 打+1(ab0).a b由已知条件得1荷解得2= 8,a = 4.则a b0矛盾，舍去.2 2综上，所求椭圆的标准方程为 x + y = 1.84法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2 + By2 = 1(A0, B0, A E).将两点(2 ,1,甘代入，得4A+ 2E= 1 ,14A+4E= 1 ,解得1所以所求椭圆的标准方程为2 2x y+ = 1 8十4.2 2因为所求椭圆与椭圆+x=

6、1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2=25-9=16.设它的标准方程为2 2y x扌+ 金二 1(ab0)因为 c = 16,且 c = a b，故 a b = 16.又点(.3, 5)在椭圆上，所以 + = 1,3b2=1.由得b2= 4, a2 = 20,所以所求椭圆的标准方程为220+=1.椭圆的定义及其应用2 2典例如图所示，已知椭圆的方程为/ PF1F2 = 120,求厶PFR的面积.解由已知得a= 2, b=、/3,所以 c= a2 b2 = 4 = 1, I F1F2I = 2c= 2. 在厶PFR中，由余弦定理，得|PFd2= IPFI2 + | F1F2I 2 2| PF

7、I F1F2I cos 120 即 |PR|2 = | PF1I2 + 4+ 2|PF| .由椭圆定义，得| PF| + | PF| = 4, 即 | PR| = 4 | PF| .将代入解得刊=5.所以 SA PFF2= 2| PF| F1F2I sin 120即厶PFR的面积是(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体.|(2)涉及焦点三角形面积时， 可把| PF| , | PR|看作一个整体，运用| PF| 2+ | PF| 2= (| PF| |:iI + | P冋)2 2| PF| | P冋及余弦定理求出| PF| | P冋，而无需单独求解.

8、|7 活学活用1-一-一-一-一-一-一2 2设F1, F2是椭圆16+ 12= 1的两个焦点，P是椭圆上一点，且| P冋一| P冋=2.则PFF2 是 ()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D 等腰直角三角形解析：选B由椭圆的定义得| P冋+ | P| = &又|PF| |PF = 2,.|PF| = 5, | PF = 3,又I F1F2I = 2c = 4，故 PFF2为直角三角形.題型三与椭圆有关的轨迹问题2 2x y典例(1)已知P是椭圆匚+2= 1上一动点，0为坐标原点，贝懺段0P中点Q的轨迹48方程为(2)已知圆 M (x + 1)2 + y2 = 1,圆N： (x 1)

9、2+ y2= 9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.求C的方程.解析(1)设 P(xp, yp) , Qx, y),由中点坐标公式得Xpx= i,xp= 2x, 所以2 2又点 P在椭圆X + y8 =1上，所以2x2y 28=1,yp= 2y,2即 x2+= 1 2答案：2 y .x+2=1(2)解：由已知得圆 M的圆心为 M 1,0)，半径1= 1;圆N的圆心为 N1,0)，半径2 =3.设圆P的圆心为P(x, y)，半径为 R动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以 | PM +1 PN = (R+1) + (2 R) =计2= 4.由椭圆定义可知，曲线C是以M N为

10、左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭2 2圆(左顶点除外)，其方程为X + 3 = 1(x工2) 解决与椭圆有关的轨迹问题的两种种方法(1) 定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆 的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.(2) 相关点法：只要把所求动点的坐有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.! !一活学活用-一 一-一一一一一一一一一. 2 2 .求过点P（3,0）且与圆x + 6x + y -91 = 0相内切的动圆圆心的轨迹方

11、程.解：圆方程配方整理得（x+ 3）层级一学业水平达标2 2 设P是椭圆姑沪1上的点，若F1, F2是椭圆的两个焦点，则1 PF| + 1 PF21等于（）A. 4B. 5C. 8D . 10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF| + | PR| = 2a= 2X 5= 10,故选D. x 22.已知 ABC勺顶点B, C在椭圆3 + y2= 1 上,顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在BC边上，则 ABC勺周长是（）A. 2 3 B . 6C. 4 3D . 12解析：选C由于 ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F,利用椭圆的定义，| BA+ IBF = 2筋，ICA + IC

12、F = 2羽，便可求得 ABC勺周长为.3命题甲：动点 P到两定点A, B的距离之和| PA + |PB = 2a（a0,常数）；命题乙：P 点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分且必要条件D .既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义.若 P点轨迹是椭圆，则| PA + |PB = 2a（a0,常数），二甲是乙的必要条件. + y2 = 102，圆心为C（ 3, 0），半径为R= 10.设所求动消去 r 得 R | PC = | CG| ? | PC圆圆心为C（x, y），半径为r,依题意有|PC_r，|CC| = R r,+ | CC| = R

13、,即 | PC +1 CC| = 10.又P(3,0) , C( 3,0)，且|PG| = 60,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为：仅当2a|AB时，P点轨迹才是椭圆； 而当2a=|AB时，P点轨迹是线段 AB当2ab”是“方程 却+ b= i表示椭圆”的(A.充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充要条件 D .既不充分条件又不必要条件解析：选A2 2若ab,则a2工b2，方程a +蒼=1表示椭圆，是充分条件，若方程yb2=1表示椭圆，得不到 ab,不是必要条件.5.已知P为椭圆C上一点，F1, F2为椭圆的焦点，且IF1F2I = 2护，若| PF|与|PF2|的等 则椭圆C的

14、标准方程为()差中项为IF1F2I,2 2X- +匚129A.B.C.D.2 2x , y 48+ 452 21或45+法1解析：选B 由已知2c= | F1F2I = 2飞,；3,.C=3./ 2a = | PF| + | PF| = 2| F1F2| = 4筋，a= 2 *3. . b = a C = 9.2 2 2 2故椭圆c的标准方程是話+9 = 1或x9+12=1.2 26. 椭圆+ y = 1的焦距是2，则m的值是m 4解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2= m b2= 4, c2= m-4，又2c= 2,. c = 1.n 4= 1, m= 5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2= 4,

15、 b2= m.c = 4m= 1,.m= 3.答案：3或57. 已知椭圆 C经过点 A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆 C的标准方程为解析：法一：依题意，可设椭圆2 2x yC的方程为孑+ f= 1（ ab0），且可知左焦点为 F （2,0) c= 2,c = 2,从而有，解得2a=|AF| + | AF | = 3+ 5= 8,a= 4.又 a2= b2 + c2,所以 b2 = 12,2 2故椭圆C的标准方程为 話+12 = 1.法二：依题意，可设椭圆c的方程为2x2 +a2yf= 1( ab0),49a2 + b2 = 1,解得b2 =a2 b2 = 4,2 212或b2=

16、 3（舍去），从而a2= 16所以椭圆C的标准方程为16+ y2= 1.答案：2 2x y+ = 116 12&椭圆的两焦点为 F1（ 4,0） , F2（4,0），点P在椭圆上，若 PFF2的面积最大为12 ,则椭圆方程为.解析：如图，当P在y轴上时 PFF2的面积最大，128 b= 12,二 b= 3.又T c= 4,. a2= b2+ c2= 25.2 2椭圆的标准方程为2x5+卷=1.2 2x y答案：25+ 9 = .下列说法中正确的是 （2 2 .一9.设F1, F2分别是椭圆C：字+ = 1（ab0）的左、右焦点.设椭圆C上一点 3,石3 到两焦点F1, F2的距离和等于4，写出

17、椭圆C的方程和焦点坐标.込2解：由点 ：3,二3在椭圆上，得 冷 + = 1,丫 2ab2 2x y又2a= 4，所以椭圆C的方程为+ 3 = 1，焦点坐标分别为（一1,0） , （1,0）10.已知椭圆C与椭圆X2+ 37y2= 37的焦点Fi, F2相同，且椭圆C过点 色，,-6 求椭圆C的标准方程；n 若P C,且/ FiPB=w，求 FiPB的面积.32X2解： 因为椭圆37+ y = 1的焦点坐标为（一6,0）,（6,0）所以设椭圆2 2xy2C的标准方程为-2+ 2一 1( a 36).a a 36将点字，63-6的坐标代入整理得 4a4 463a2 + 6 300 一 0,解得a

18、2= 100或a2一罟（舍去）,2 2所以椭圆C的标准方程为 盒+6-4= 1.（2）因为P为椭圆C上任一点，所以 I PF| + | PF = 2a = 20.由（1）知 c= 6,在 PFF2 中，| F1F2I = 2c = 12,所以由余弦定理得：222n| F1F2I =|PF| + | PF| - 2|PF| |P冋cos ,3即 122=| PF|2 + | PH|2_|PF|P冋. - 2 2 2因为 | PF| + | PF| = (| PF| + | PF|) -2| PF| I PF| , 所以 122 = (| PF| + | PF|) 2- 3| PF| PF| .所

19、以 122 = 202- 3| PF| PF .2 2所以 |PF|PFd =岂 12 32X8 256M PFF2 = 1| PF| PF|sinn 1256=-x X323迈64击2 =3所以 RPR的面积为64泸层级二应试能力达标A.已知 F1( - 4,0) , F2(4,0)，平面内到F1, F2两点的距离之和等于 8的点的轨迹是椭B.已知 R( - 4,0) , F2(4,0)，平面内到F1, F2两点的距离之和等于 6的点的轨迹是椭C.平面内到点Fi（ 4,0） , F2（4,0）两点的距离之和等于点M5,3）到Fi, F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D.平面内到点Fi（ 4,0）

20、，F2（4,0）距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A中，| F1F2I = 8，则平面内到Fi, F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F, F2两点的距离之和等于 6,小于|FiFa| ,这样的轨迹不存在,所以B错误；C中，点M5,3）至U Fi, F2两点的距离之和为 ）5 + 4 2 + 32+5 4 2 + 32 M1 11 1 inI ULLILII I UUAU I 已知|PFi PF2 = 0,则厶 FiPR=4 ,10|FiF2| = 8,则其轨迹是椭圆，所以 C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线， 所以D错误故选C.2 22. 椭圆 + y

21、=1的焦点为Fi, F2, p为椭圆上的一点,259B. i2的面积为（）A. 9C. i0解析：选A二PF丄PF.|PF|2 + |PR|2 =|F冋2且|PF| + | PFF = 2a.又 a = 5, b= 3,. c = 4,| P 冋2+ |P冋2= 64,| PF| + | PF| = 10.2，得 2| PF| P冋=36, I PF| PF| = 18, FiPF的面积为S=|PF|I PF| = 9.3.若n20,，方程 x sina + y2COSa = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则 a的取值范围是nA.B.0,nD.7t2解析：选 A 易知sin a0, cos a 0

22、,方程x sin22xa + y cos a = 1 可化为+1sin a2y1 _COS a1.因为椭圆的焦点在1 1y 轴上，所以 costsn，即 sina COS a 0 .又 an 一 n n 0, 2，所以 4 a b0）或?+ = 1（ ab0）,a= 4, 解得C = 2,2a= 5 + 3,由已知条件得2c 2= 52 32,2 2 2所以 b = a c = 12.2 2 2 2于是所求椭圆的标准方程为x6+鲁=1或1y6+12= 1.2 2 2 2法二：设所求的椭圆方程为xyy x2+ 2= 1( ab0)或 2+ 2= 1( ab0)，两个焦点分别为 F1,ababF2

23、.由题意知 2a=|PF| + | PF2| = 3 + 5= 8,所以 a = 4.2 2 . 2 ，、十xy亠人+b在万程-2+打=1中，令x= c,得|y| =-；2 2在方程-2+右=1中，令y= c,得 |x| =-依题意有-=3,得b2= 12 .a于是所求椭圆的标准方程为2 2,y y=1或16 122x=1.16 128. 如图在圆C: (x + 1)2+ y2= 25内有一点A(1,0) . Q为圆C上一点，AQ 的垂直平分线与 C, Q的连线交于点 M求点M的轨迹方程.解：如图，连接MA由题意知点 M在线段CC上，从而有|CQ = |MQ + | M(C.又 点M在AQ的垂

24、直平分线上，y 1则 |MA =|MQ，故 |MA + | MC =|CQ = 5.又A(1,0) , C( 1,0)，故点M的轨迹是以(1,0) , ( 1,0)为焦点的椭圆，且 2a = 5,故,c= 1, b2= a2 c2= 25-1 =442 2x y故点M的轨迹方程为 = 1.2521442 . 2. 2椭圆的简单几何性质1.椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴?2什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化?新知初探椭圆的简单几何性质1. 判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ X”)2 2x y 椭圆孑+舎=1( ab0)的长轴长等于a

25、()椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a c() 椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案： X (2) V (3) V2. 椭圆25x2+ 9y2 = 225的长轴长、短轴长、离心率依次是()4A. 5,3 , 53C. 5,3 , 54B. 10,6 ,5D . 10,6 , I答案：B2x 23. 若椭圆孑+ y = 1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为（）B.D.答案：Ax4.若焦点在y轴上的椭圆2m4 22y = 1的离心率为12，则m的值为答案：|求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写:I 出 a, b的数值，进而求出 c,求出椭

26、圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等: : !几何性质._ 活学活用 1一一一一一一-一_-一-一2 2已知椭圆C: 士; +行=1,设椭圆C2与椭圆C的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C210064的焦点在y轴上.(1) 求椭圆C的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2) 写出椭圆C2的方程，并研究其性质.2 2x y解： 由椭圆C： 100+ 64= 1可得其长半轴长为10,短半轴长为8，焦点坐标(6,0),3(6,0)，离心率 e= 5；2 2椭圆C 2解椭圆方程变形为冷+ 4 = 1, a= 3, b= 2, - c=-a b = 9 4= 5.椭圆的长轴长和焦距分别为2a

27、 = 6,2 c= 2、.：5,焦点坐标为 F1( ：5, 0) , F2(0),顶点坐标为 A( 3,0) , A(3,0) , B(0 , 2) , B(0,2), c y5离心率e= a=.：需+ 64=1，性质：范围：8w xw8, 10 yb0)或春 + = 1( ab0).由已知得2a= 10, a= 5.f C 4 又& a= 5，二 c=4.2 2 2/ b = a c = 25 16= 9.2 2 2 2I椭圆方程为靠+ = 1或 + = 1 .2592592 2一x y(2)依题意可设椭圆方程为 -+ 2= 1(ab0).a b如图所示， AFA为一等腰直角三角形，OF为斜

28、边AA的中线(高),且 | OF = c, |AA2| = 2b,贝U c = b= 3,2 .2 2 a = b + c = 18,2 2故所求椭圆的方程为+y= 1.189(1) 利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.(2) 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位I置或分类讨论一般步骤是：求出a2, b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方| 程.L_ 活学活用1一-一-一-一_-一-一求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1) 长轴长是短轴长的 5倍，且过点A(5,0).3(2) 离心率e=5,焦距为12.2 2解： 若椭圆焦点在x轴上，设其标准

29、方程为 倉+碁=1(ab0)，由题意得2a= 5X2 b,a= 5,250解得孑+孑=1,b=1.2X 2故所求椭圆的标准方程为25+ y = i ；2 2若焦点在y轴上，设其标准方程为 y2+器=1(ab0)，由题意，得2a= 5X2 b,a= 25,025解得尹 b2 = 1b= 5.2 2故所求椭圆的标准方程为 烹+ x = 1.625252 2 2综上所述，所求椭圆的标准方程为25+ y2= 1或625+ 25= 1.c 3(2)由 e= =-, 2c = 12,得 a= 10, c = 6, a 5222贝 U b = a - c = 64.当焦点在x轴上时，2 2所求椭圆的标准方程

30、为 士+ y=1;10064当焦点在y轴上时，2 2一y x所求椭圆的标准方程为 ；00+ 64= 1.综上所述，所求椭圆的标准方程为典例1或紿2x641.2 2x v设椭圆C： a +話=1(ab0)的左、右焦点分别为 Fl, F2, P是C上的点,PR丄FiF2,Z PFF2= 30，贝y C的离心率为()A.6B.C.D.解析 法一：由题意可设|P冋=m结合条件可知|PF| = 2m IF1F2I =寸3卬 故离心c 2c| F1F2I寸3m J3牟、.a ” a_ 2a_ |PF| + |PF|2耐 m 3 法二：由PF1F2可知P点的横坐标为c,将x = c代入椭圆方程可解得 y=

31、b，所以ab?b?|PB|=.又由/ PFF2= 30可得 IF1F2I=3|P|，故2c-，变形可得73( a2-c2)aa=2ac,等式两边同除以a得. 3(1 e) = 2e,解得e=#或e= #3(舍去).答案D一题多变1.变条件若将本例中“ PF丄 F1F2,/ PFF2= 30” 改为 “/ PRR = 75,/ PFF2 =45 ”，求C的离心率.解：在 PFF2中，n/ PFF2 = 45,/ PFF1 = 75,%J片0 J玉/ RPF = 60,设|PF| = m |P冋=n, IF1F2I = 2c,椭圆的长轴长为 2a, 则在 PF1F2中，mn2c有sin 75 =

32、sin 45 = sin 60 ，m n 2csin 75 + sin 45 = sin 60 ，.-c_ 2C_sin60 e a 2a sin75 + sin 45 =：22 2.变条件，变设问若将本例中“ PF2丄F1F2，/ PFF2= 30”改为“ C上存在点P,使 / FiPF2为钝角”，求 C的离心率的取值范围.解：由题意，知cb,. c2b2.2 2 2 2 2 2又 b = a c，二 c a c ,即 2c2a2.224424故C的离心率的取值范围为求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a, c可直接利用e=c求解.若已知a, b或b, c可借助于a2 = b2

33、a: : 2c+ c求出c或a,再代入公式e=求解.a|(2)方程法：若a, c的值不可求，则可根据条件建立a, b, c的关系式，借助于 a2 = b21+ c2,转化为关于a, c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.层级一学业水平达标1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(一10,0)，则焦点坐标为()A. ( 13,0)B. (0 , 10)B. (0 , 13)D . (0 ,69)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a= 13, b= 10,则c= a2 b2= 69,故焦点坐标为(0

34、 ,69).2.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.B.解析：选A依题意， BFF2是正三角形,在 Rt OBF 中，| 0F| = c, | BF2| = a,/ OFB= 60,c 11 cos 60 = a= 2,即椭圆的离心率e= 2，故选A.3.已知椭圆x ya2+ b2 =1x与椭圆25+162x1 9 -=1的短轴长相等，则( )A.a2= 25,b2 = 16B.2 2a = 9, b = 25C.a2= 25,b2 = 9 或 a2=9, b2 =25D.a2= 25,b2 = 922 22li卄2 2=1有相同的长轴,椭圆2解析：选d

35、因为椭圆訂+ ?6=1的长轴长为10，焦点在2 2y xx轴上，椭圆+匸=1的短219382x4.已知椭圆a点B在椭圆上，且BF丄x轴,轴长为6，所以a2= 25, b2 = 9.2卜召=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为Ab直线AB交y轴于点I II III II tnUUUUUUIP.若 AP = 2 PB，则椭圆的离心率是(UJUIpttraUUJI解析：选D -=2_PB , | AP | = 2| PB | .又 PO/ BF, 兽=疇=3,IAB IAF 3aa+ c23c 1225. 椭圆 mx+ ny + mn= 0( nn0)的焦点坐标是()A. (0 , m- n)B .

36、( m-n, 0)C. (0 士 pn- n)D . ( 土寸n-m 0)2 2解析：选C化为标准方程是 +丄=1,-n - m/ rxn0 0- no),255X 16椭圆过点只-5,4)，-孑+右=1解得a2= 45.椭圆方程为2 2x y+ = 145 + 36lUULU IIULUU I由 |F1A = 5|F2B，得5又A, B均在椭圆上，所以有2m 2m+n=1，n+ 6.2 25n 2+ 一 = 13 十5，m= 0, 解得n= 1m= 0,或n=- 1,所以点A的坐标为(0,1)或(0，- 1).答案：(0,1)或(0，- 1)9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点,

37、焦点F1, F2在x轴上，离心率为过点F1的直线I交椭圆C于A, B两点，且 ABF的周长为16,求椭圆C的标准方程.解：设椭圆C的标准方程为2 2* b2= 1( ab0)J2 c x/2c2 1a2-b2 1 b2 1由e=亍知a=方，故a2=2，从而-a=2， a2=2.由 abf的周长为i ab +1 bfi +2| AFF = | AF| +1 AF + | BF| + | BF = 4a= 16, 得 a= 4,. b = 8.2 2故椭圆c的标准方程为+8 = 1.2 2x y,10 .椭圆孑+ b= 1( ab0)的右顶点是A( a, 0),其上存在一点P,使/ APO- 90

38、,求椭圆离心率的取值范围.解：设P(x, y)，由/ APO-90知，点 P在以OA为直径的圆上，圆的方程是22 zczx y = ax- x .2 2x y又P点在椭圆上，故_+ 2= 1 .a b把代入化简，得(a2- b2) x2- a3x+ a2b2= 0，即(x a)( a2- b2) x- ab2 = 0,t x* a, x*0, x=親，又 0xa,a b 0丿吕，即卩2b2a2.a b由 b2= a2-c2，得 a22c2, 又 0e11.层级二应试能力达标1.2 2 2x y 一 x 椭圆25+ 9 = 1与2y=1(0 kb0)，则c =5.a b又 2b= 2，即 b=

39、1，所以 a2= b2 + c2= 6,2则所求椭圆的标准方程为 x2+ y = 1.622x y4.(全国丙卷)已知0为坐标原点，F是椭圆C： -+ 2= 1(ab0)的左焦点，A B分别 a b为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFL x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，贝U C的离心率为()A.B.D.解析：选A如图所示，由题意得设 E(0 , m),由 PF 0E 得 fO? = FAQ，A a,0), 0a,O), F( c, 0).则IMF = m a c .1|OE |BO又由O曰MF得IMF I BFT“ m a+c 则IMF= 亦.

40、1由得 a c= 2(a+ c)，即 a= 3c,c 1e= _=.a 3故选A.5.已知椭圆2孑+ b = 1(ab0), A, B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABL BF,则椭圆的离心率为解析：在Rt ABF中,| AB = y/a + b, | BF = a, | AF| = a+ c,222由|AB +IBF =IAF ,zt=r2.22z、2得 a + b + a = (a+ c).亠，222,/口22将 b = a c 代入，得 a ac c = 0,即 e2 + e 1 = 0,解得 e= 2卫因为e0,所以e=5答案：三二6.已知椭圆的长轴长为 20,短轴长为16

41、,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围2 2x y解析：由题意，知 a= 10, b= 8,不妨设椭圆方程为 100+ 4= 1,其上的点 MX。，y。),2 2则| X0I w a= 10, |y| w b= 8,点M到椭圆中心的距离 d=，x0+ y0.因为希+ y = 1,所以22X016 2y0=64 1 100 = 64 x0，贝V d=216 29 22Xo + 64 25X0=25X0+ 64,因为 0w XoW 100,所以 64W 29?0 + 64W 100, 即卩 80)的离心率e=屮，求实数 m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标.2 2解：椭圆方程可

42、化为m+蛊=1，由mi-m0,可知 mm,所以 a2= m 子=二冀,c = : a2- b2=m+ 3由e=F，得2.3” zom 3=2，解得 m= 1.于是椭圆的标准方程为 x2+y-= 1十11，41xf3则 a= 1, b= 2，c=2_所以椭圆的长轴长为 2,短轴长为1;两焦点坐标分别为 -, 0 , ,0 ;四个顶点坐标分别为(1,0) , (1,0)0,2&设F1, F2分别是椭圆蒼=1( ab0)的左、右焦点，过点 F的直线交椭圆 E于 A, B两点，| AF| = 3| FB| .(1)若|AB = 4,A ABF 的周长为 16,求 | AR| ;若cos / AFB= 即(4 k) = (2 a 3k) + (2 a k) 5(2 a 3k) (2 a k