高等数学A CH11-1(软件外包)

1、第十一章第十一章 积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分 积分域积分域 区区 间间 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分 曲线弧曲线弧曲面域曲面域 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 曲面积分曲面积分 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分 第十一章 1.引例引例: :曲线形构件的质量曲

2、线形构件的质量 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L . sM 匀质之质量匀质之质量 1、分割、分割 ), 2 , 1(nisnL i 个个子子弧弧段段任任意意分分成成将将 ,),( iii s 任取任取 .),( iiii sM .),( 1 n i iii sM .),(lim 1 0 n i iii sM 近似值近似值 精确值精确值 个子弧段的长度个子弧段的长度表示第表示第isi 2、近似、近似 3、求和、求和 4、取极限、取极限 0 i s 一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念 ),(yx ,),( ,),( , ),(,.

3、 ,. ),(, 1 121 n i iii iii iii n sf sf i si nLMMMLL yxfxoyL 并并作作和和 作作乘乘积积 点点个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一 为为第第又又个个小小段段的的长长度度为为设设第第个个小小段段 分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在 函函数数面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧为为设设 2.定义定义 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L ,0这和的极限存在这和的极限存在时时若当各小弧长的最大值若当各小弧长的最大值 .),(lim),( ,),(, ),( 1 0 n i iii L

4、 L sfdsyxf dsyxf Lyxf 即即记作记作第一类曲线积分第一类曲线积分积分或积分或 上对弧长的曲线上对弧长的曲线在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数 .),(lim),( 1 0 n i iii L sfdsyxf 被积函数被积函数 积分弧段积分弧段 积分和式积分和式 1.推广推广 曲曲线线积积分分为为 上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf .),(lim),( 1 0 i n i iii sfdszyxf .),( ),(.2 L dsyxf Lyxf 记记为为 上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分在在闭闭曲曲线线函函数数 曲线形构件

5、的质量曲线形构件的质量.),( L dsyxM .),(lim),( 1 0 n i iii L sfdsyxf 3.存在条件：存在条件： .),( ,),( 存存在在弧弧长长的的曲曲线线积积分分 对对上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当 L dsyxf Lyxf 规定：规定： )(,)( 21 LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若 .),(),(),( 2121 LLLL dsyxfdsyxfdsyxf ),(),( ),(),( ABLBAL dsyxfdsyxf 第一类曲线积分与第一类曲线积分与L的方向无关的方向无关 注意：注意： 4. 性质性质 szyxfd),() 1

6、( （, 为常数) szyxfd),()2( ( 由 组成) 21 , 则上设在),(),()3(zyxgzyxf ( l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度) ),(zyxg szyxfd),(szyxgd),( l 21 d),(d),( szyxfszyxf szyxgszyxfd),(d),( sd)4( 二、对弧长曲线积分的计算二、对弧长曲线积分的计算 定理定理 )()()()(),(),( 0)()(, ,)(),()( ),( ),( ,),( 22 22 dtttttfdsyxf tt ttt ty tx LLyxf L ，则则且且具具有有一一阶阶连连续续导导数数 上上在在其其中中

7、方方程程为为 的的参参数数上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设 0 基本思路基本思路:计算定积分计算定积分 转转 化化 求曲线积分求曲线积分 x y O xd yd sd 注意到注意到 22 )()(dydxsd tdtt)()( 22 x 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. 注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限 .,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf 特殊情形特殊情形 .)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),( 2 dxxxxfdsyxf b aL )(ba .)(:

8、)2(dycyxL .)(1),(),( 2 dyyyyfdsyxf d cL )(dc )()()()(),(),( 22 dtttttfdsyxf L （3）如果方程为）如果方程为极坐标极坐标形式形式: ),()(: rrL 则则 sdyxf L ),( )sin)(,cos)(rrf d)()( 22 rr (5)可利用区域对称与函数奇偶性化简一类曲线积分可利用区域对称与函数奇偶性化简一类曲线积分： 为为偶偶函函数数关关于于若若 为为奇奇函函数数关关于于若若 则则轴轴对对称称关关于于设设分分段段光光滑滑曲曲线线一一类类曲曲线线积积分分 )(,),(2 )(, 0 ),( :,)(: 1

9、xyfdsyxf xyf dsyxf yxL L L (4)推广推广: )().(),(),(: ttztytx )( )()()()(),(),(),( 222 dtttttttfdszyxf 0 y 例例1. 计算计算,d L sy其中其中 L 是抛物线是抛物线 2 xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(: 2 xxyL L syd 1 0 xxxd)2(1 2 xxxd41 1 0 2 1 0 2 3 2 )41 ( 12 1 x )155( 12 1 上点上点 O (0,0) O1 L x y 2 xy ) 1 , 1 (B .)(1)(,),(

10、2 dxxxxfdsyxf b aL 例例2 2 .)2, 1()2 , 1(,4:, 2 一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsI L 解解 dy y yI 2 2 2 ) 2 (1 . 0 例例3 3 )20(.,sin ,cos:, 的一段的一段 其中其中求求 kzay axxyzdsI 解解 . 2 1 222 kaka xy4 2 dkaka 222 sincos 2 0 I )20 , 0(.,sin ,cos:, 22 2 aazay axds yx z I 的一段的一段 其中其中求求练习练习 ) 3 28 ( 3a 例例4. 计算,dsxI L 其中L为双纽线 )0()()

11、( 222222 ayxayx 解解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 ) 4 0(2cos: 1 arL 利用对称性 , 得 sxI L d4 1 4 0 22 d)()(cos4rrr 4 0 2 dcos4a 2 22a ,2cos: 22 arL O y x 4 4 例例5 5 . 0 , , 2222 2 zyx azyx dsxI为为圆圆周周其其中中求求 解解 由变量的对称性由变量的对称性, , 知知 . 222 dszdsydsx dszyxI)( 3 1 222 故故 ds a 3 2 . 3 2 3 a ),2(球球面面大大圆圆周周长长 dsa )0 , 0(.sin ,c

12、os:,)( 22 aay axLdsyxI L 的一段的一段 其中其中求求练习练习 )( 3 a 三、几何与三、几何与物理意义物理意义 ,),()3(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( L dsyxM ;,1),()1( L dsLyxf 弧长弧长 时时当当 ,),(),()2(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf .),( L dsyxfS柱面面积 柱面面积s L ),(yxfz 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念 .),(lim),( 1 0 i n i ii L sfdsyxf .),(lim),( 1 0 i n i iii

13、 sfdszyxf 的的长长度度表表示示曲曲线线 Lds L 几何意义几何意义 物理意义物理意义 质量质量 小结小结 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算(参数方程，直角坐标系，极坐标系参数方程，直角坐标系，极坐标系) )()()()(),(),( )( ),( ),( : 22 dtttttfdsyxf t ty tx L L .),( L dsyxfS柱面面积 柱面面积 计算法计算法(将重积分化为累次积分将重积分化为累次积分) 二重积分的计算二重积分的计算 .),(),( )( )( 2 1 D b a x x dyyxfdxdyxf （1）直角坐标系下）直角坐标系下（直线穿刺，摆

14、动扫描）（直线穿刺，摆动扫描） .),(),( )( )( 2 1 D d c y y dxyxfdydyxf .)sin,cos( )( )( 2 1 rdrrrfd ,: D).()( 21 r （2）极坐标系）极坐标系（射线穿刺，转动扫描）（射线穿刺，转动扫描） D dyxf ),( （X型区域）型区域） 垂直穿刺，左右摆动垂直穿刺，左右摆动 （Y型区域）型区域） 水平穿刺，上下摆动水平穿刺，上下摆动 利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算. 的的奇奇函函数数是是关关于于 的的偶偶函函数数是是关关于于 轴轴对对称称，则则：关关于于、且且设设 xf xfdxdyyxf d

15、xdyyxf yDDDDD D D 0 ),(2 ),( ,)1 1 2121 x y 的的奇奇函函数数或或关关于于是是关关于于 的的偶偶函函数数且且关关于于是是关关于于 轴轴均均对对称称的的区区域域，则则：轴轴、是是关关于于设设 yxf yxfdxdyyxf dxdyyxf yxDDDDD D D 0 ),(4 ),( )2 1 4321 一一、选选择择题题: : 1 1、 x dyyxfdx 1 0 1 0 ),(= =( ( ) ) ( (A A) ) 1 0 1 0 ),(dxyxfdy x ； ( (B B) ) x dxyxfdy 1 0 1 0 ),(； ( (C C) ) 1

16、0 1 0 ),(dxyxfdy； ( (D D) ) y dxyxfdy 1 0 1 0 ),(. . 2 2、设设D为为 222 ayx , ,当当 a( ( ) )时时, , D dxdyyxa 222 . . ( (A A) ) 1 1 ； ( (B B) ) 3 2 3 ； ( (C C) ) 3 4 3 ； ( (D D) ) 3 2 1 . . 测测 验验 题题 D B 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 D dxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B) 3 1 , 2 1 yx ； (C) (

17、C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 D xy dxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e 1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e 1 ； (D) 1 . (D) 1 . A A B A ( (A A) ) 1 0 1 0 2 0 zdzrdrdI；( (B B) ) 11 0 2 0r zdzrdrdI； ( (C C) ) 11 0 2 0r rdrdzdI； ( (D D) ) z zrdrddzI 0 2 0 1 0 . . BD 期末考题期末考题 的的值值为为、二二重重积积分分 1 22 1 yx xdxdy 分分应应为为在在柱柱坐坐标标下下化化为为三三次次积积则则将将 的的公公共共部部分分，及及是是、若若 zdv zyxzzyx 22222