MATLAB优化工具箱

1、 MATLAB优化工具箱 Optimization Toolbox 1.1 背景 一、优化工具箱简介 n优化理论是一门实践性很强的学科。它被广泛 应用于生产管理、军事指挥和科学实验等各种 领域，如工程设计中的最优设计，军事指挥中 的最优火力配置问题等。优化理论和方法奠基 于20世纪50年代。 nMATLAB的优化工具箱提供了对各种优化问题 的一个完整的解决方案。其内容涵盖线性规划， 二次规划、非线性规划、最小二乘问题、非线 性方程求解、多目标决策、最小最大问题、以 及半无限问题等的优化问题。其简洁的函数表 达、多种优化算法的任意选择、对算法参数的 自由设置，可使用户方便灵活地使用优化函数。 二

2、、常用的优化功能函数二、常用的优化功能函数 l求解求解线性规划线性规划问题的主要函数是问题的主要函数是linprog。 l求解求解二次规划二次规划问题的主要函数是问题的主要函数是quadprog。 l求解求解无约束非线性规划无约束非线性规划问题的主要函数是问题的主要函数是fminbnd、fminunc 和和fminsearch。 l求解求解约束非线性规划约束非线性规划问题的主要函数是问题的主要函数是fgoalattain和和 fminimax。 三、一般步骤三、一般步骤 建立目标函数文件 针对具体工程问题建立优 化设计的数学模型 不等式约束条件表示成g(X)0的形式 建立调用优化工具函 数的命

3、令文件 文件内容：文件内容：必须的输入参数、描述目标函数表达式等 存储：存储：以自定义的目标函数文件名存储在文件夹中 建立约束函数文件 文件内容：文件内容：必须的输入参数、约束函数表达式等 存储：存储：以自定义的约束函数文件名存储在文件夹中 将优化设计的命令文件复制到MATLAB命令窗口中进行运算求解。 分析优化设计的数学模型，选择适用的优化工具函数 文件内容：文件内容：初始点，设计变量的边界约束条件， 运算结果输出等内容 存储：存储：以自定义的命令文件名存储于文件夹中。 n模型输入时需要注意问题： （1） 目标函数最小化； （2） 约束非正； （3） 避免使用全局变量。 主要函数 输入变量

4、输出变量 1.2 线性规划问题 一、线性规划数学模型一、线性规划数学模型 1.主要应用对象：主要应用对象： （1）在有限的资源条件下完成最多的任务； （2）如何统筹任务以使用最少资源。 2.数学模型形式：数学模型形式： min f TX s.t. AXb （线性线性不等式约束条件） AeqX=beq （线性线性等式约束条件） lb X ub （边界约束条件） 约束条件约束条件 决策变量决策变量 目标函数目标函数 非负数 线 性 3.MATLAB中函数调用格式中函数调用格式 xopt, fopt=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options) 最

5、优解最优解 最优值最优值 目标函目标函 数各维数各维 变量系变量系 数向量数向量 初始点初始点 可选项可选项 二、例题二、例题 生产规划问题：某厂利用a,b,c三种原料生产A,B,C三种产品，已 知生产每种产品在消耗原料方面的各项指标和单位产品的利 润，以及可利用的数量，试制定适当的生产规划使得该工厂 的总利润最大。 生产每单位产品所消耗的原料现有原料数 量（千克） ABC a342600 b212400 c132800 单位产品利润 （万元） 243合计 1800千克 x1x2x3 2x14x23x3 3x14x22x3 2x1 x1 x2 3x2 2x3 2x3 + + + + + + +

6、 + + + + + + + 3.确定约束条件：确定约束条件： X=x1,x2,x3T 4.编制线性规划计算的编制线性规划计算的M文件文件 f= 2, 4, 3 A=3,4,2;2,1,2;1,3,2; b=600;400;800; Aeq=;beq=; lb=zeros(3,1); xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)； 二、例题二、例题 解：解： 1.确定决策变量：确定决策变量： max2x1+4x2+3x3 3x1+4x2+2x3600 2x1+x2+2x3400 x1+3x2+2x3800 设生产A、B、C三种产品的数量分别是x1,x2,x3，决策变量

7、： 根据三种单位产品的利润情况，按照实现总的利润最大化， 建立关于决策变量的函数： 2.建立目标函数：建立目标函数： 根据三种资料数量限制，建立三个线性不等式约束条件 5.M文件运行结果：文件运行结果： Optimization terminated successfully. xopt =0.0000 66.6667 166.6667 fopt=-766.6667 x1,x2,x30 xopt, fopt=linprog( f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options) - - - 1.3 二次规划问题 1.研究意义：研究意义： （1）最简单的非线性规划问题；

8、 （2）求解方法比较成熟。 2.数学模型形式：数学模型形式： s.t. AXb （线性线性不等式约束条件） AeqX=beq （线性线性等式约束条件） lb X ub （边界约束条件） XCHXX 2 1 )X(fmin TT 一、二次规划问题数学模型一、二次规划问题数学模型 约束条件约束条件 决策变量决策变量 目标函数目标函数 二次 函数 3.MATLAB中函数调用格式中函数调用格式 xopt, fopt=quadprog(H,C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options) 最优解最优解 最优值最优值 目标函目标函 数的海数的海 赛矩阵赛矩阵 初始点初始点 可

9、选项可选项 目标函目标函 数的一数的一 次项系次项系 数向量数向量 结果 xopt=2.571,1.143,0.000 fopt=-16.4898 二、例题 求解约束优化问题 321 2 3 2 2 2 1 xxx2xx2x2)X( f 6x2x3x)X(g 321 4xxx2)X(h 321 0 x,x,x 321 s.t. XCHXX 2 1 )X( f TT 解：(1)将目标函数写成二次函数的形式 ，其中： 3 2 1 x x x X 200 042 024 H 1 0 0 C xopt, fopt=quadprog( H, C, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0,

10、options) (2)编写求解二次规划的M文件： H=4,-2,0;-2,4,0;0,0,2; C=0,0,1; A=1,3,2; b=6; Aeq=2,-1,1; beq=4; lb=zeros(3,1); xopt,fopt=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,l b) 1.4 无约束非线性规划问题 无约束非线性规划问题的MATLAB函数有 fminbnd 要求目标函数为连续函数要求目标函数为连续函数 只求解单变量问题只求解单变量问题 fminunc 可求解单变量和多变量问题可求解单变量和多变量问题 适用于简单优化问题适用于简单优化问题 可求解复杂优化问题可求解复杂优化问题

11、 fminsearch 1.使用格式：使用格式： xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2,options) 1.4.1函数函数fminbnd 设置优化选项参数设置优化选项参数 迭代搜索区间迭代搜索区间 目标函数目标函数 返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解 2.例题：例题： 求解一维无约束优化问题f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex) 在区间0,1中的极小值。 解解：(1)编制求解优化问题的编制求解优化问题的M文件。文件。 %求解一维优化问题 fun=inline(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),x);%

12、目标函数 x1=0;x2=1;%搜索区间 xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2) (2)编制一维函数图形的编制一维函数图形的M文件。文件。 ezplot(fun,0,10) title(x3+cosx+xlogx)/ex) grid on 1.4.1函数函数fminbnd 运行结果： xopt = 0.5223 fopt = 0.3974 1.使用格式：使用格式： xopt,fopt=fminsearch(fun,x0,options) 1.4.2函数函数fminsearch 设置优化选项参数设置优化选项参数 初始点初始点 目标函数目标函数 返回目标函数的最优值返回目标函数的

13、最优值 返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解 2.例题：例题：求解二维无约束优化问题 f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2 +6)的极小值。 解解：(1)编制求解二维无约束优化问题的编制求解二维无约束优化问题的M文件。文件。 %求解二维优化问题求解二维优化问题 fun=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6; x0=0,0; %初始点初始点 xopt,fopt=fminsearch(fun,x0) (2)讨论。讨论。 将目标函数写成函数文件的形式：将目标函数写成函数文件的形式： %目标函数文件目标函数文

14、件search.m function f=search(x) f=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6; 则命令文件变为：则命令文件变为： %命令文件名称为命令文件名称为eg9_4.m x0=0,0; %初始点初始点 xopt,fopt=fminsearch(search,x0) 1.4.2函数函数fminsearch 运行结果： xopt = 1.0000 2.0000 fopt = 4.0000 1.使用格式：使用格式： x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(fun,x0,opti

15、ons,P1,P2) 1.4.3函数函数fminunc 设置优化选项参数设置优化选项参数 初始点初始点 调用目标函数的函数文件名调用目标函数的函数文件名 目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵 返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解 附加参数附加参数 管道截面积：其中设计变量： 1.4.3函数函数fminunc 2.例题：例题： 已知梯形截面管道的参数是：底边长度c，高度h，面积 A=6451

16、6mm2，斜边与底边夹角为。管道内液体的流速与管 道截面的周长s的倒数成比例关系。试按照使液体流速最大确 定该管道的参数。 解解：(1)建立优化设计数学模型建立优化设计数学模型 管道截面周长 h c sin h2 cs 64516ctghchA 2 hctg h 64516 c sin h2 hctg h 64516 smin x1x2 2 1 21 1 xsin x2 ctgxx x 64516 f(X) h x x X 2 1 目标函数的文件目标函数的文件(sc_wysyh.m)： function f=sc_wysyh(x) %定义目标函数调用格式定义目标函数调用格式 a=64516;h

17、d=pi/180; f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd); %定义目标函数定义目标函数 1.4.3函数函数fminunc 2.例题：例题： 解解：(1)建立优化设计数学模型建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的编写求解无约束非线性优化问题的M文件文件 2 1 21 1 xsin x2 ctgxx x 64516 )X( f x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminbnd(fun,x0,options,P1,P2) 求最优化解时的命令程序求最优化解时的命令程序： x0=25,45;

18、 %初始点初始点 x,Fmin=fminunc(sc_wysyh,x0); %求优语句求优语句 fprintf(1,截面高度截面高度h x(1)=%3.4fmmn,x(1) fprintf(1,斜边夹角斜边夹角 x(2)=%3.4f度度n,x(2) fprintf(1,截面周长截面周长s f=%3.4fmmn,Fmin) 计算结果计算结果 截面高度截面高度h x(1)=192.9958mm 斜边夹角斜边夹角 x(2)=60.0005度度 截面周长截面周长s f=668.5656mm xx1=linspace(100,300,25); xx2=linspace(30,120,25); x1,x2

19、=meshgrid(xx1,xx2); a=64516;hd=pi/180; f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd); subplot(1,2,1); h=contour(x1,x2,f); clabel(h); axis(100,300,30,120) xlabel(高度高度 h/mm) ylabel(倾斜角倾斜角theta/(。) 1.4.3函数函数fminunc 2.例题：例题： 解解：(1)建立优化设计数学模型建立优化设计数学模型 (2)编写求解无约束非线性优化问题的编写求解无约束非线性优化问题的M文件文件 (3)编写绘制一维函数图形的编写绘制一

20、维函数图形的M文件文件 title(目标函数等值线目标函数等值线) subplot(1,2,2); meshc(x1,x2,f); axis(100,300,30,120,600,1200) title(目标函数网格曲面图目标函数网格曲面图) 控制参数控制参数options 序号功能默认值及其含义说明 1输出形式0，无中间结果 输出 Options(1)=1,按照表格输出结果 Options(1)=-1,隐藏警告信息 2解x的精度1e-4Options(2)设置x解的终止条件 3函数f的精度1e-4Options(3)设置函数f的终止条件 4约束g的精度1e-6Options(4)设置约束g的

21、终止条件 5选择主要算法0Options(5)选择主要优化算法 6搜索方向算法0fmin()函数为无约束优化搜索方向提 供3种算法： Options(6)=0,拟牛顿法BFGS公式 Options(6)=1,拟牛顿法DFP公式 Options(6)=2,梯度法 7步长一维搜索0fmin()函数为无约束优化的步长一维 搜索提供2种算法： Options(7)=0,二次和三次混合插值法 Options(7)=1,三次多项式插值法 123 控制参数控制参数options 序号功能默认值及其含义说明 8函数值输出Options(8)输出最终迭代函数值 9梯度检验0，不检验Options(9)比较梯度

22、10函数计算次数Options(10)输出函数计算次数 11梯度计算次数Options(11)输出函数梯度计算次数 12约束计算次数Options(12)输出约束计算次数 13等式约束个数0，等式约束为0 Options(13)输入等式约束个数 14最大迭代次数100n （n为变量维数） Options(14)输入最大迭代次数 15目标个数0Options(15)输入目标个数 16差分步长 最小值 1e-8Options(16) 步长的下限或变量的最小梯度值 17差分步长 最大值 0.1Options(17) 步长的上限或变量的最大梯度值 18步长Options(18) 步长参数，第1次迭代时

23、置1 123 1.5 约束非线性规划问题 1. 数学模型形式：数学模型形式： min f （X） s.t. AXb （线性线性不等式约束）不等式约束） AeqX=beq （线性线性等式约束）等式约束） C(X)0 （非线性非线性不等式约束条件）不等式约束条件） Ceq(X)=0（非线性非线性等式约束）等式约束） Lb X Ub （边界约束条件）（边界约束条件） 约束条件约束条件 2.使用格式：使用格式： x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) 设置优化选项

24、参数设置优化选项参数 初始点初始点 调用目标函数的函数文件名调用目标函数的函数文件名 目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵 返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解 附加参数附加参数 非线性约束条件的函数名非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵线性等式约束的系数矩阵 线性不等式约束的常数向量线性不等

25、式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵线性不等式约束的系数矩阵 无定义时以空矩阵无定义时以空矩阵 符号符号“ ”代替代替 控制参数控制参数options 序号功能默认值及其含义说明 1输出形式0，无中间结果 输出 Options(1)=1,按照表格输出结果 Options(1)=-1,隐藏警告信息 2解x的精度1e-4Options(2)设置x解的终止条件 3函数f的精度1e-4Options(3)设置函数f的终止条件 4约束g的精度1e-6Options(4)设置约束g的终止条件 5选择主要算法0Options(5)选择主要优化算法 6搜索方向算法0fmin()函数为无约束优化搜索方向提

26、 供3种算法： Options(6)=0,拟牛顿法BFGS公式 Options(6)=1,拟牛顿法DFP公式 Options(6)=2,梯度法 7步长一维搜索0fmin()函数为无约束优化的步长一维 搜索提供2种算法： Options(7)=0,二次和三次混合插值法 Options(7)=1,三次多项式插值法 控制参数控制参数options 序号功能默认值及其含义说明 8函数值输出Options(8)输出最终迭代函数值 9梯度检验0，不检验Options(9)比较梯度 10函数计算次数Options(10)输出函数计算次数 11梯度计算次数Options(11)输出函数梯度计算次数 12约束计

27、算次数Options(12)输出约束计算次数 13等式约束个数0，等式约束为0 Options(13)输入等式约束个数 14最大迭代次数100n （n为变量维数） Options(14)输入最大迭代次数 15目标个数0Options(15)输入目标个数 16差分步长 最小值 1e-8Options(16) 步长的下限或变量的最小梯度值 17差分步长 最大值 0.1Options(17) 步长的上限或变量的最大梯度值 18步长Options(18) 步长参数，第1次迭代时置1 例例1-6 某二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速级输入功率某二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速级输入功率P1=6.2kW，转，转 速

28、速n1=1450r/min；总传动比；总传动比i=31.5，齿轮宽度系数，齿轮宽度系数a=0.4，齿轮，齿轮 材料和热处理：大齿轮材料和热处理：大齿轮45号钢正火号钢正火187207HB，小齿轮，小齿轮45号钢号钢 调质调质228255HB，工作寿命，工作寿命10年以上。要求按照总中心距年以上。要求按照总中心距a最最 小来确定齿轮传动方案。小来确定齿轮传动方案。 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： 将涉及总中心距将涉及总中心距a齿轮传动方案的齿轮传动方案的6个独立参数作为设计变量个独立参数作为设计变量 X=mn1,mn2,z1,z3,i1,T=x1,

29、x2,x3,x4,x5,x6T 目标函数：目标函数： 减速器减速器总中心距总中心距a最小为目标函数最小为目标函数 6 1 542531 xcos2 )x5 .311(xx)x1(xx )X( fmin 二、例题二、例题 约束条件约束条件:含性能约束和边界约束含性能约束和边界约束 0 xxx10079. 3xcos)X(g 3 5 3 3 3 1 6 6 3 1 0 xx10071. 1xcosx)X(g 3 4 3 2 4 6 32 52 0 xxx110939. 9xcos)X(g 2 3 3 15 5 6 2 3 ）（ 0 xxx5 .3110076. 1xcosx)X(g 2 4 3 2

30、5 4 6 22 54 ）（ 0 x5 .31xxxxxxcos)50 x(2x)X(g 5425316155 ）（ 0 x2)X(g 16 0 x5 . 3)X(g 28 05x)X(g 17 06x)X(g 29 0 x14)X(g 310 022x)X(g 311 0 x16)X(g 412 022x)X(g 413 0 x8 . 5)X(g 514 07x)X(g 115 0 x8)X(g 616 015x)X(g 617 高速级齿轮接触强度条件高速级齿轮接触强度条件 低速级齿轮接触强度条件低速级齿轮接触强度条件 高速级大齿轮弯曲强度条件高速级大齿轮弯曲强度条件 低速级大齿轮弯曲强度条

31、件低速级大齿轮弯曲强度条件 大齿轮与轴不干涉大齿轮与轴不干涉 低速级齿轮副模数的下限和上限低速级齿轮副模数的下限和上限 高速级小齿轮齿数的下限和上限高速级小齿轮齿数的下限和上限 高速级小齿轮齿数的下限和上限高速级小齿轮齿数的下限和上限 低速级小齿轮齿数的下限和上限低速级小齿轮齿数的下限和上限 高速级传动比的下限和上限高速级传动比的下限和上限 齿轮副螺旋角的下限和上限齿轮副螺旋角的下限和上限 性性 能能 约约 束束 边边 界界 约约 束束 二、例题二、例题 (2)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fmincon(f

32、un,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) %两级斜齿轮减速器总中心距目标函数两级斜齿轮减速器总中心距目标函数 function f=jsqyh_f(x); hd=pi/180; a1=x(1)*x(3)*(1+x(5); a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5); cb=2*cos(x(6)*hd); f=(a1+a2)/cb; %两级斜齿轮减速器优化设计的非线性不等式约束函数两级斜齿轮减速器优化设计的非线性不等式约束函数 functiong,ceq=jsqyh_g(x); hd=pi/180; g(1)=cos(x(6)*hd)3-3.0

33、79e-6*x(1)3*x(3)3*x(5); g(2)=x(5)2*cos(x(6)*hd)3-1.701e-4*x(2)3*x(4)3; g(3)=cos(x(6)*hd)2-9.939e-5*(1+x(5)*x(1)3*x(3)2; g(4)=x(5)2.*cos(x(6)*hd)2-1.076e-4*(31.5+x(5)*x(2)3*x(4)2; g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(2)*x(3)-x(2)*x(4)*(31.5+x(5); ceq=; 文件名为：文件名为： Jsqyh_g.m 文件名为：文件名为： Jsqyh_f.m

34、二、例题二、例题 (2)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) x0=2;4;18;20;6.4;10;%设计变量的初始值设计变量的初始值 lb=2;3.5;14;16;5.8;8;%设计变量的下限设计变量的下限 ub=5;6;22;22;7;15;%设计变量的上限设计变量的上限 x,fn=fmincon(jsqyh_f,x0,lb,ub,jsqyh_g); disp *两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解两级斜齿轮传

35、动中心距优化设计最优解* fprintf(1, 高速级齿轮副模数高速级齿轮副模数 Mn1=%3.4fmmn,x(1) fprintf(1, 低速级齿轮副模数低速级齿轮副模数 Mn2=%3.4fmmn,x(2) fprintf(1, 高速级小齿轮齿数高速级小齿轮齿数 z1=%3.4fmmn,x(3) fprintf(1, 低速级小齿轮齿数低速级小齿轮齿数 z2=%3.4fmmn,x(4) fprintf(1, 高速级齿轮副传动比高速级齿轮副传动比 i1=%3.4fmmn,x(5) fprintf(1, 齿轮副螺旋角齿轮副螺旋角 beta=%3.4fmmn,x(6) fprintf(1, 减速器总

36、中心距减速器总中心距 a12=%3.4fmmn,fn) g=jsqyh_g(x); disp =最优点的性能约束函数值最优点的性能约束函数值= fprintf(1, 高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g1=%3.4fmmn,g(1) fprintf(1, 低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g2=%3.4fmmn,g(2) fprintf(1, 高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值 g3=%3.4fmmn,g(3) fprintf(1, 低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值低速级大齿轮齿根弯曲强

37、度约束函数值 g4=%3.4fmmn,g(4) fprintf(1, 大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值 g5=%3.4fmmn,g(5) , , , , 文件名为文件名为 eg9_6.m 二、例题二、例题 (3) M文件运行结果文件运行结果 *两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解两级斜齿轮传动中心距优化设计最优解* 高速级齿轮副模数高速级齿轮副模数 Mn1=2.0461mm 低速级齿轮副模数低速级齿轮副模数 Mn2=3.6059mm 高速级小齿轮齿数高速级小齿轮齿数 z1=18.5156mm 低速级小齿轮齿数低速级小齿轮齿数 z2=16.0000mm 高速级齿

38、轮副传动比高速级齿轮副传动比 i1=5.8000mm 齿轮副螺旋角齿轮副螺旋角 beta=8.0000 减速器总中心距减速器总中心距 a12=317.4186mm =最优点的性能约束函数值最优点的性能约束函数值= 高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g1=0.0000mm 低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数值 g2=0.0000mm 高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值 g3=-1.0042mm 低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数值 g4=-15.1854mm 大齿

39、轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数值 g5=-761.8043mm 2mm 4mm 19 16 5.8 8 338.292mm340mm 9.838 (4) 优化结果处理优化结果处理 1.6 多目标优化问题 多目标优化问题的MATLAB函数有 fgoalattain 需确定各分目标的加权系数需确定各分目标的加权系数 需知各分目标的单个的最优值需知各分目标的单个的最优值 目标函数的最大值逐次减小目标函数的最大值逐次减小 fminimax 1.6.1 函数函数fgoalattain min v s.t. fi(X)-wiv goali i=1,2,t AXb （线性不等

40、式约束）（线性不等式约束） AeqX=beq （线性等式约束）（线性等式约束） C(X)0 （非线性不等式约束条件）（非线性不等式约束条件） Ceq(X)=0 （非线性等式约束）（非线性等式约束） Lb X Ub （边界约束条件）（边界约束条件） 一、多目标优化问题数学模型一、多目标优化问题数学模型 标量变量标量变量 各分目标函数各分目标函数 分目标函数的权重分目标函数的权重 各分目标函数的目标值各分目标函数的目标值 二、优化函数使用格式二、优化函数使用格式 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,

41、Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) 设置优化选项参数设置优化选项参数 各分目标权重各分目标权重 各分目标期望值各分目标期望值 目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵 返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解 附加参数附加参数 非线性约束条件的函数名非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量线性等式约束的常数向量 线性等式

42、约束的系数矩阵线性等式约束的系数矩阵 线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵线性不等式约束的系数矩阵 无定义时以空矩阵无定义时以空矩阵 符号符号“ ”代替代替 1.6.1 函数函数fgoalattain 初始点初始点 目标函数文件名目标函数文件名 三、例题三、例题 设计带式输送机传动装置上的普通设计带式输送机传动装置上的普通V带传动。已知电机额定功率带传动。已知电机额定功率P=4kW，转，转 速速n1=1440r/min，传动比，传动比i=3，采用，采用A型型V带，每天工作不超过带，每天工作不超过10小时。要求小时。要求 传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直

43、径和中心距尽量小）。传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： V带传动的独立设计变量是小带轮直径带传动的独立设计变量是小带轮直径dd1和带的基准长度和带的基准长度Ld X=dd1,LdT=x1,x2T 目标函数：目标函数： l小带轮直径：小带轮直径： l中心距中心距: l带的根数带的根数: L00 A 3 KK)PP( PK z)X(fmin 1.6.1 函数函数fgoalattain 2 2 112 aaaa)X(fmin 8 )1i (d 4 L a 1dd 1 8 )1i (d a 22 1d

44、 2 1.1 拟合直线拟合直线 P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW) 0.17kW KL=0.20639Ld0.211806 拟合幂函数方程拟合幂函数方程 拟合拟合 双曲双曲 线方线方 程程 395144.80549636. 0 K minf1(X)=dd1=x1 约束条件约束条件:含性能约束和边界约束含性能约束和边界约束 0 x100dd)X(g 11dmind1 025 60000 nd v 60000 nd )X(g 11d max 11d 2 0 x2 1180120 )1i ( 1dd 1180)X(g 1 min1min3 0ax8 . 2a)1i (d7 .

45、0)X(g 11d4 0 x80)X(g 15 0100 x)X(g 16 0 x630)X(g 27 04000 x)X(g 28 小带轮直径小带轮直径=推荐的推荐的A型带轮最小直径型带轮最小直径 最大带速最大带速120 带传动的中心距要求带传动的中心距要求 小带轮基准直径的下限和上限小带轮基准直径的下限和上限 带基准长度的下限和上限带基准长度的下限和上限 性性 能能 约约 束束 边边 界界 约约 束束 三、例题三、例题 1.6.1 函数函数fgoalattain 1.6.1 函数函数fgoalattain 三、例题三、例题 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量

46、：设计变量： X=dd1,LdT=x1,x2T 目标函数：目标函数： l小带轮直径：小带轮直径： l中心距中心距: l带的根数带的根数: L00 A 3 KK)PP( PK z)X(fmin 2 2 112 aaaa)X(fmin minf1(X)=dd1=x1 80100mm 320400mm 14 按容限值确定权重，按容限值确定权重， 以使目标函数值在以使目标函数值在 数量级上统一数量级上统一 2 2 2 T 2 2 2 T 3 2 1 5 . 1 40 10 2 14 2 320400 2 80100 w w w w 约束条件约束条件: (2)确定分目标和它们的权重确定分目标和它们的权重

47、 (3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) %V带传动多目标优化设计的目标函数文件带传动多目标优化设计的目标函数文件 function f=VDCD_3mb_MB(x) P=4;i=3;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，工况系数已知条件：功率，传动比，工况系数 f(1)=x(1); %f1-小带轮基准直径小带轮基准直径:目标函数目标函数1 a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1

48、)/8; a2=x(1)2*(i-1)2/8; a=a1+sqrt(a12-a2); f(2)=a; %f2,中心距中心距：目标函数：目标函数2 P0=0.02424*x(1)-1.1128789; %单根带额定功率单根带额定功率 DP0=0.17; %功率增量功率增量 alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角小带轮包角 Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数包角系数 KL=0.20639*x(2)0.211806; %长度系数长度系数 f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %f3-V带根数带

49、根数：目标函数：目标函数3 1.6.1 函数函数fgoalattain 三、例题三、例题 (3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 %V带传动多目标优化设计的约束函数文件带传动多目标优化设计的约束函数文件 functiong,ceq=VDCD_3mb_YS(x) i=3;n1=1440; %已知条件：传动比，转速已知条件：传动比，转速 g(1)=100-x(1); %小带轮直径小带轮直径=Ddmin g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25 %带速范围带速范围V=alpmin g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a; %中心距范围中心距范围a=amin ceq=; 1.6.1 函数

50、函数fgoalattain 三、例题三、例题 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) (3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 %V带传动多目标优化设计的带传动多目标优化设计的调用命令调用命令 P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，转速，工况系数已知条件：功率，传动比，转速，工况系数 x0=100;1250; %初始点（小带轮直径，初始点（小带轮直径，V带基准长度带基准长度） goal=75,2

51、80,2; %分目标分目标 w=10(-2),40(-2),1.5(-2); %分目标加权系数分目标加权系数 lb=80,630; %最小带轮直径和最小带轮直径和A型型V带的基准长度带的基准长度 ub=100;4000; %最大带轮直径和最大带轮直径和A型型V带基准长度带基准长度 xopt,fopt=fgoalattain(VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,lb,ub,VDC D_3mb_YS) 1.6.1 函数函数fgoalattain 三、例题三、例题 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,

52、A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) , , , , Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options. xopt = 1.0e+003 * 0.1000 1.2269 fopt = 100.0000 281.5296 3.5957 (4) M文件运算结果文件运算结果 1.6.1 函数函数fgoalattain 三、例题三、例题 (5) 优化结果处理优化结果处理 dd1 100mm 1227mm Ld 小带小带 轮基轮基 准直准直 径径 带传带传 动中动中 心

53、距心距 带带 的的 根根 数数 1250mm 圆圆 整整 4 圆圆 整整 %优化结果数据处理后部分参数计算优化结果数据处理后部分参数计算 Dd1=100;Dd2=Dd1*i;z=4;Ld=1250; v=pi*Dd1*n1/6e4; a1=Ld/4-pi*Dd1*(i+1)/8; a2=Dd12*(i-1)2/8; a=a1+sqrt(a12-a2); alpha=180-180*Dd1*(i-1)/pi/a; disp disp *计算结果计算结果* fprintf(1, 小带轮基准直径小带轮基准直径 Dd1=%3.0fmmn,Dd1); fprintf(1, 大带轮基准直径大带轮基准直径

54、Dd2=%3.0fmmn,Dd2); fprintf(1, V带基准长度带基准长度 Ld=%3.0fmmn,Ld); fprintf(1, 传动中心距传动中心距 a=%3.2fmmn,a); fprintf(1, 小带轮包角小带轮包角 alpha=%3.2f度度n,alpha); fprintf(1, V带根数带根数 z=%3.0fmmn,z); (4) M文件运算结果文件运算结果 1.6.1 函数函数fgoalattain 三、例题三、例题 (5) 优化结果处理优化结果处理 *计算结果计算结果* 小带轮基准直径小带轮基准直径 Dd1=100mm 大带轮基准直径大带轮基准直径 Dd2=300m

55、m V带基准长度带基准长度 Ld=1250mm 传动中心距传动中心距 a=293.82mm 小带轮包角小带轮包角 alpha=141.00度度 V带根数带根数 z= 4mm (4) M文件运算结果文件运算结果 1.6.1 函数函数fgoalattain 三、例题三、例题 (5) 优化结果处理优化结果处理 (6) 最终方案最终方案 1.6.2 函数函数fminimax min max f1,f2,f3 s.t. AXb （线性不等式约束）（线性不等式约束） AeqX=beq （线性等式约束）（线性等式约束） C(X)0 （非线性不等式约束条件）（非线性不等式约束条件） Ceq(X)=0 （非线性

56、等式约束）（非线性等式约束） Lb X Ub （边界约束条件）（边界约束条件） 一、多目标优化问题数学模型一、多目标优化问题数学模型 各分目标函数各分目标函数 二、优化函数使用格式二、优化函数使用格式 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fminimax(fun,x0, A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) 设置优化选项参数设置优化选项参数 目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵 返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度 优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构 返回算法的终止标志

57、返回算法的终止标志 返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值 返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解 附加参数附加参数 非线性约束条件的函数名非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩阵线性等式约束的系数矩阵 线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的常数向量 线性不等式约束的系数矩阵线性不等式约束的系数矩阵 无定义时以空矩阵无定义时以空矩阵 符号符号“ ”代替代替 1.6.2 函数函数fminimax 初始点初始点 目标函数文件名目标函数文件名 三、例题三、例题 已知直径为已知直径为1单位长度的圆柱梁，

58、要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻 和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： 矩形截面的宽和高矩形截面的宽和高 X=x1,x2T 目标函数：目标函数： l重量重量截面积：截面积： l弯曲强度弯曲强度 矩形截面矩量矩形截面矩量: 1.6.2 函数函数fminimax 6/xx)X(fmin 2 212 minf1(X)=x1x2 r =1 x1 x2 约束条件约束条件:含性能约束和边界约束含性能约束和边界约束 1xx)X(h

59、2 2 2 1 0 x)X(g 11 01x)X(g 12 0 x)X(g 23 01x)X(g 24 变量变量x1的上下限的上下限 变量变量x2的上下限的上下限 等式约束等式约束性性 能能 约约 束束 边边 界界 约约 束束 1.6.2 函数函数fminimax 三、例题三、例题 (2)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fminimax(fun,x0, A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) %矩形截面梁两目标优化设计的目标函数文件矩形截面梁两目标优化设计的目标函数文件 fun

60、ction f=JXL_2mb_MB(x) f(1)=x(1)*x(2); %f1：梁的截面积：梁的截面积 f(2)=-x(1)*x(2)2/6; %f2:梁的截面矩量梁的截面矩量 %矩形截面梁两目标优化设计的约束函数文件矩形截面梁两目标优化设计的约束函数文件 function c,ceq=JXL_2mb_YS(x) ceq=x(1)2+x(2)2-1; %非线性等式约束非线性等式约束 c=; %所所有非线性不等式约束有非线性不等式约束 %矩形截面梁两目标优化设计矩形截面梁两目标优化设计 x0=1;1; lb=0;0; ub=1;1; xopt,fopt=fminimax(JXL_2mb_MB