数列的极限98618PPT学习教案

1、会计学1 数列的极限数列的极限98618 例例3. ,.12,.,5 ,3, 1:12 nnun ,. )1( ,., 4 3 , 3 4 , 2 1 , 2: )1( n n n n u nn n 例例4. 若若un满足满足u1u2unun+1u2unun+1, 则称则称un 是单调是单调递减递减的，记为的，记为un ; 若不等式中的严格不等号换成不严格不等号时称若不等式中的严格不等号换成不严格不等号时称un是单调不增的是单调不增的. 单调递增、单调不减、单调递减、单调不增的数单调递增、单调不减、单调递减、单调不增的数 列统称为单调数列列统称为单调数列. 第1页/共26页 例例1. ,. 2

2、 1 ,., 8 1 , 4 1 , 2 1 : 2 1 nnn u （递减数列）（递减数列） 例例2. ,. 1 ,., 3 1 , 2 1 ,1: 1 nn un （递减数列（递减数列 ） 例例3. ,.12,.,5 ,3, 1:12 nnun递增数列递增数列 ,. )1( ,., 4 3 , 3 4 , 2 1 , 2: )1( n n n n u nn n 例例4. 摆动摆动 如果存在一个常数如果存在一个常数m，使得对一切，使得对一切n，恒有，恒有 un m 则称数列则称数列 un 有下界，有下界，m 就是其中的一个下界；就是其中的一个下界； 如果存在一个常数如果存在一个常数M，使得对

3、一切，使得对一切n，恒有，恒有 un M 则称数列则称数列 un 有上界，有上界，M 就是其中的一个上界就是其中的一个上界. 第2页/共26页 例例3 3：讨论数列讨论数列1+(1)n的单调性和有界性的单调性和有界性. 显然，显然，1+(1)n不单调，但有界不单调，但有界(可取可取M=2). 如果存在两个常数如果存在两个常数m和和M，使得对一切，使得对一切n，恒有，恒有 Mum n 则称数列则称数列 un 有界有界. 例例1. ,. 2 1 ,., 8 1 , 4 1 , 2 1 : 2 1 nnn u 2/10 n u 例例2. ,. 1 ,., 3 1 , 2 1 ,1: 1 nn un

4、10 n u 二、数列极限的定义二、数列极限的定义 ., 1 , 3 1 , 2 1 , 1: 1 nn 考考察察数数列列 ,. 1 ,., 3 1 , 2 1 , 1:/1 n n 第3页/共26页 ,. 1 )1( ,., 3 1 , 2 1 , 1:/)1( n n nn 上述数列有的单调增加，有的单调减少，有的摆动，上述数列有的单调增加，有的单调减少，有的摆动， 可是当可是当 n 越来越大时，数列的各项越来越接近于零，常越来越大时，数列的各项越来越接近于零，常 数零就称为数列的极限数零就称为数列的极限. 设有数列设有数列 un，如果当，如果当 n 无限增大时，无限增大时，un无无 限接

5、近于常数限接近于常数 A ，则称数列，则称数列un 以以A 为极限，记为为极限，记为 )( ,lim nAuAu nn n 或或 如何理解：当如何理解：当 n 无限增大时，无限增大时，un无限接近于常数无限接近于常数 A？ 我们以我们以 (n+1)/n 为例，说明当为例，说明当 n 无限增大时，无限增大时， 数列数列 (n+1)/n无限接近于常数无限接近于常数 1 的含义的含义. . 0 2 1 lim ; 0 1 lim n nn n 第4页/共26页 若要若要 | (n+1)/n 1| 100 即可，即可， 若要若要 | (n+1)/n 1| 10000 即可即可 ， (n+1)/n接近于

6、常数接近于常数 1 的程度，可以用的程度，可以用| | 的的 大小进行衡量，大小进行衡量，n 越大，上述的绝对值越小越大，上述的绝对值越小. 若对于任意小的正数若对于任意小的正数 ,要使要使| (n+1)/n 1| 1/ 设有数列设有数列 un和常数和常数A，如果对于任意给，如果对于任意给 定的正数定的正数 ，总存在正整数，总存在正整数 N ，当，当 n N时，恒有时，恒有 Aun 成立，则称常数成立，则称常数 A 为数列为数列un 的极限，记为的极限，记为 )( ,lim nAuAu nn n 或或 此时，又称数列此时，又称数列 un 收敛，如果不存在这样的常数收敛，如果不存在这样的常数 A

7、,则称数列则称数列 un 发散（即极限不存在）发散（即极限不存在）. P79 4 1 1 n n 第5页/共26页 AuAAu nn | 这就表明当这就表明当 n N 时，数列的各项都落入以时，数列的各项都落入以 A 为中为中 心心,以以 为半径的小邻域内，至多只有有限个点为半径的小邻域内，至多只有有限个点(N个个) 落在邻域落在邻域( A- ,A+ )之外之外. 下面，我们给出数列极限的几何意义：下面，我们给出数列极限的几何意义： 例例5. 用分析的定义证明用分析的定义证明2 1 2 lim n n n 分析：由数列极限的定义可知，对给定的分析：由数列极限的定义可知，对给定的 ，要，要 找到

8、正整数找到正整数N，使得当，使得当 nN 时，恒有时，恒有 |un-2| 0,存在存在 N=2/ ,当当nN时时 恒有恒有 /2 22 1 2 |2 1 2 | nnn n 成立，由数列极限的定义可知成立，由数列极限的定义可知 2 1 2 lim n n n 例例6 6：给定数列给定数列 , )1( 1, 5 4 , 4 5 , 3 2 , 2 3 , 0: )1( 1 nn nn 即即时时当当, 1 )1( 1, n n n . 1 )1( 1 lim n n n . 1 1 lim n n n 例例7 7： 第7页/共26页 在我国春秋战国时期的在我国春秋战国时期的庄子庄子 天下篇天下篇

9、中有这样一段话：中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半， 万世不竭万世不竭”. 意思是说，一根一尺长的木棒，意思是说，一根一尺长的木棒， 每天截取一半，永远取不完每天截取一半，永远取不完. 为什么 ？ , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 32 n 我们将每天截下的长我们将每天截下的长度表示出来度表示出来： . 2 1 n 即数列即数列 (记作记作n), 截下的长度无限地变小以截下的长度无限地变小以 至无限地接近于至无限地接近于0( ). n 2 1 0 2 1 n 记作记作 由观察可得到，当由观察可得到，当n无限增大时无限增大时 需要指出的是，虽然无限接近于需要指

10、出的是，虽然无限接近于0，却永，却永 远不会等于远不会等于0，这就是，这就是“万世不竭万世不竭”的意思的意思 . n 2 1 第8页/共26页 下面是两个数列发散的例子：下面是两个数列发散的例子： 例例8 8：数列数列n2: 1, 4, 9, 16, , n2, . 随着随着 n 的无限增大，的无限增大，n2 也无限地增大，不也无限地增大，不 会趋于任何常数，因此该数列发散会趋于任何常数，因此该数列发散. 例例9 9：数列数列1+(1)n: 0, 2, 0, 2, , 1+(1)n , .总在 总在0与与2之间相互交错，随着之间相互交错，随着 n 的无限的无限 增大，不会趋于任何常数，因此该数

11、列发增大，不会趋于任何常数，因此该数列发 散散.三、数列极限的性质三、数列极限的性质 1. 唯一性定理：唯一性定理：若数列若数列un的极限存在，则极的极限存在，则极 限值必唯一限值必唯一. 第9页/共26页 2. 有界性定理：有界性定理：若数列若数列un收敛收敛，则，则un必有界必有界. 注：注：(1) 无界数列必发散无界数列必发散. (2) 有界的数列不一定收敛有界的数列不一定收敛. 例如例如1+(1)n. 3. 保号性定理保号性定理 ： ).0( 0, , 0),0( 0,lim 或或时时当当 自然数自然数则则或或若若 n n n xNn Naaax ).0(0,lim),0(0 或或则则

12、存在存在且且或或若若aaxx n n n 推论推论 ： 第10页/共26页 . 0 1 lim, 0 1 , 1 ).0(0 ,lim),0(0 n Zn nn a axx n n n n 但但有有例如例如或或 也只能保证也只能保证存在时存在时且且或或当当注：注： 4. 单调收敛准则：单调收敛准则：单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 作业作业: B类类P39 2. 3. 4. 思考思考 P39 5. 1. )1|(|0lim qq n n 2. )0(1lim aa n n 3. )0(0 1 lim n n 四、常见的收敛数列四、常见的收敛数列 4.常数列的极限是其本常数列的极限是其

13、本 身身. 第11页/共26页 2.22.2函数的极限函数的极限 一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限 考察数列：考察数列： n xn 1 与函数与函数 x y 1 . 0 1 lim n n 我们知道我们知道 x y 0 1 2 3 4 5 n n xn 1 x y 1 的极限的极限时时)(. 1xfx 第12页/共26页 而当而当 x 沿沿x 轴的正向无限增大时轴的正向无限增大时, 从图形从图形 x 1 . 0 1 lim x x 上可看出上可看出，的值越来越小以至无限地接的值越来越小以至无限地接 近近 于于0，我们记为，我们记为 从几何上看，如果从几何上看，如

14、果f(x)向右方延伸，越来越接近向右方延伸，越来越接近 于一条水平直线于一条水平直线y=c，则称常数，则称常数c为为x趋向正无穷大趋向正无穷大 时函数时函数 f(x)的极限，记为的极限，记为 cxf x )(lim 极极限限是是否否存存在在例例 x x a lim.1 ：由由指指数数函函数数的的增增减减性性知知解解 : . 0lim,10 x x aa时时当当 x y2 x y)(2 1 1 ;lim,1 x x aa时时当当 下面，我们给出下面，我们给出 的定义的定义 Axf x )(lim 第13页/共26页 若当若当 x 沿沿 x 轴正向轴正向(即即x0)无限增大时，无限增大时，f (x

15、)无限地接近于某个常数无限地接近于某个常数 A ，则称，则称 f (x)当当 x+ 时有极限值时有极限值A，记作：，记作： ,)(limAxf x )()(xAxf或或 设有函数设有函数 f(x)和常数和常数A，如果对于任意给定的正数，如果对于任意给定的正数 ，总存在正数，总存在正数 M ，当，当 x M时，恒有时，恒有 Axf)( 成立，则称成立，则称 x 趋向正无穷大时，趋向正无穷大时，f(x)以以A 为极限为极限 第14页/共26页 与数列的自变量与数列的自变量 n 不同的是，函数不同的是，函数 的自变量的自变量x也可以取负值。而当也可以取负值。而当x沿沿x 轴的负向无限减小时轴的负向无

16、限减小时, x 1 x 1 . 0 1 lim x x 的值也是无限地接近于的值也是无限地接近于0，我们，我们 记为记为 的极限的极限时时)(. 2xfx 从几何上看，如果从几何上看，如果f(x)向左方延伸，越来越接近于一向左方延伸，越来越接近于一 条水平直线条水平直线y=c，则称常数，则称常数c为为x趋向负无穷大时函数趋向负无穷大时函数 f(x)的极限，记为的极限，记为 cxf x )(lim 第15页/共26页 例例2. 作出作出 y=arctanx 的图的图 像像 观察观察 时的极限时的极限 x 请同学们自己写出请同学们自己写出 的定义的定义 Axf x )(lim 的极限的极限时时)(

17、. 3xfx 从几何上看，如果从几何上看，如果f(x)向左、右两方延伸，越来越向左、右两方延伸，越来越 接近于接近于同一条同一条水平直线水平直线y=c，则称常数，则称常数 c 为为 x 趋向趋向 无穷大时函数无穷大时函数 f(x)的极限，记为的极限，记为cxf x )(lim 是是否否存存在在？例例x x arctanlim.3 极极限限不不存存在在 解解 ,2/, ;2/,: yx yx 当当| x | 无限增大时，无限增大时，f (x) 无限地接近于某个常数无限地接近于某个常数 A， 0 y x y=arctanx 2 2 第16页/共26页 Axfxf Axf xx x limlim )

18、(lim.4存存在在的的充充要要条条件件为为 对对否否？为为什什么么？例例0 2 1 lim, 0 2 1 lim. 4 x x n n ;0 2 1 ,: x x解解 x x 2 1 , . 2 1 lim极极限限不不存存在在故故 x x x y2 x y)(2 1 1 极极限限是是否否存存在在？例例 x x a lim. 5 .lim,lim, 0lim1:不存在不存在故故时，时，当当解解 x x x x x x aaaa .lim, 0lim,lim,10不存在不存在故故时时当当 x x x x x x aaaa .,指指数数函函数数无无极极限限时时因因此此x 第17页/共26页 二、自

19、变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限 的的图图形形作作例例 1 1 )(. 6 2 x x xf变变化化趋趋势势时时观观察察)(1xfx 解解:D(f)=(,1)U(1,+) ,1 时时当当 x. 1 1 )1)(1( 1 1 2 x x xx x x 有有 :从下图可见从下图可见2)(11xfx，的两侧的两侧从从 y x 1 1 0 1 2 1 1 2 x x y 此时，我们称常数此时，我们称常数 2 为为 函函 数数 f(x) 在在 x 趋向趋向 1 时的时的 极极 限，记为限，记为 2)(lim 1 xf x 第18页/共26页 注意：注意： 1 1 1 x x x

20、是指两个方面是指两个方面 从左边趋向从左边趋向1 从右边趋向从右边趋向1 .)( )( 0, 0, 0 )(: 0 0 为为极极限限以以常常数数时时成成立立则则称称 时时恒恒有有使使得得当当总总存存在在 ，如如果果对对任任意意给给定定的的和和常常数数设设有有函函数数定定义义 Axfxx Axf xx Axf )()(,)(lim 0 0 xxAxfAxf xx 或或记为记为 2 1 1 lim. 6 2 1 x x x 可记为可记为例例 注意：注意： （1） 用来刻画用来刻画 x 接近接近, 0 xx的的程程度度； 0 x ;A)(,)()2(的的距距离离可可以以任任意意地地小小与与表表示示x

21、fAxf 第19页/共26页 .)(,0)3( 000 无无定定义义也也可可有有极极限限在在 xxfxxxx CCxx xxxx 00 lim;lim. 7 0 两个常用极限：两个常用极限：例例 三三. 函数的左右极限函数的左右极限 在在 xx0 时函数时函数 f (x) 的极限定义中，自的极限定义中，自 变量变量 x 趋于趋于 x0 的方式必须同时考虑的方式必须同时考虑 x 从从 x0 的的 左、右两侧趋于左、右两侧趋于 x0 的情况，我们称这样的极限的情况，我们称这样的极限 为为“双侧双侧”极限。仅仅只考虑极限。仅仅只考虑 x 从从 x0 的某一侧的某一侧 趋于趋于 x0 时时 f (x)

22、 的极限称为的极限称为“单侧单侧”极限极限. 有时函数受定义域的限制，只能从一个方向趋向有时函数受定义域的限制，只能从一个方向趋向 ， 例如例如 0 x 2.2),2log()( 22), 2)(, 2 的左侧趋向的左侧趋向只能从只能从而对于而对于 ；的右侧趋向的右侧趋向只能从只能从 xxxf xyDxy 第20页/共26页 000 ,xxxxx记为记为左侧趋向左侧趋向从从 000 ,xxxxx记为记为右侧趋向右侧趋向从从 .)(lim 0 Axf xx 右极限右极限 ;)(lim 0 Axf xx 左左极极限限 或或 或或.)0( 0 Axf .)0( 0 Axf 注意，注意，这里这里 f

23、(x0+0)与与 f (x0 0)是两个记号是两个记号 ，分别表示，分别表示 f (x) 在在 x0 点的右极限和左极限，要点的右极限和左极限，要 与函数值区别开来。与函数值区别开来。 存存在在的的充充要要条条件件四四Axf xx )(lim. 0 AxfxfAxf xx )0()0()(lim 00 0 一般用于判断分段函数在分段点的极限是否存在一般用于判断分段函数在分段点的极限是否存在， 第21页/共26页 从上述定理可知，如果从上述定理可知，如果 )(lim)(lim 00 xfxf xxxx 与与 等，则等，则不存在不存在. )(lim 0 xf xx 中至少有一个不存在，或者虽然都存在但不相中至少有一个不存在，或者虽然都存在但不相 11 10 1 )(. 8 x x xx xf设设例例 )(lim),01(),01(: 1 xfff x 求求 )(lim)01(: 1 xff x 解解 , 1lim 1 x x , 11lim)(lim)01( 11 xx xff )01()01(ff1)(lim 1 xf x 第22页/共26