棱柱棱锥的面积和体积精编版

1、 柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导： 等底面积等高的几个柱体等底面积等高的几个柱体 被平行于平面被平行于平面的平面所的平面所 截截面面积始终相等截截面面积始终相等 体积相等体积相等 V长方体 长方体 abc V柱体 柱体 Sh 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 h1 S1 h2 S2 h S h S 取任意两个锥体，它们取任意两个锥体，它们 的底面积为的底面积为S S，高都是，高都是h h 平行于平面平行于平面的任一平面去截的任一平面去截 截面面积始终相等截面面积始终相等 两个锥体体积相等两个锥体体积相等 定理一、等底面积等高的两个锥体体积

2、相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 h1S1 h1 S2 h S h S ， SS SS 21 SS 21 证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S S，高都是，高都是h h。 把这两个锥体把这两个锥体 放在同一个平面放在同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平平行的同一个平 面内，面内，用平行于平面 用平行于平面的任一平面去截它们，的任一平面去截它们， 截面分别与底面相似，截面分别与底面相似， 设截面和顶点的距离分别是h1，截面面积分别是S1，S2 根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。根据祖搄原理，这两

3、个锥体的体积相等。 2 2 12 2 2 11 , h h S S h h S S 锥体的体积公式锥体的体积公式 定理三：如果一个锥体的底面积是定理三：如果一个锥体的底面积是S S， 高是高是h h，那么它的体积是，那么它的体积是 V V锥体 锥体 ShSh 3 1 棱锥的侧面积和体积棱锥的侧面积和体积 1 1、正棱锥的侧面积：、正棱锥的侧面积：S= chS= ch 2 2、等底面积等高的两个棱锥的体积相等。、等底面积等高的两个棱锥的体积相等。 3 3、如果一个棱锥的底面积是、如果一个棱锥的底面积是S,S,高是高是h h， 那么它的体积是那么它的体积是 V V锥体 锥体 ShSh 3 1 2

4、1 例1：三棱柱的底面是边长为5的等边三角 形，其中一条侧棱与底面两边都成600的 角，侧棱长为4，求三棱柱的侧面积。 AB C AB C 例例2.2.如图是一石柱如图是一石柱, , 石柱顶上部是一个正四石柱顶上部是一个正四 棱锥棱锥, ,下部是一个正四棱柱下部是一个正四棱柱. . 已知正四已知正四 棱柱底面边长棱柱底面边长0.50.5米米, , 高高1 1米米, , 正四棱锥正四棱锥 的高是的高是0.30.3米米. .石料比重石料比重d d为每一立方米为每一立方米 24002400千克千克. . 求这个石柱的重量求这个石柱的重量. . 解解: V棱锥 棱锥= V棱柱 棱柱= .025. 03

5、 . 05 . 0 3 1 32 米米 ,25. 015 . 0 32 米米 所以石柱的重量所以石柱的重量 P=(V棱柱棱柱+V棱锥棱锥)d=660(千克千克). 0.5米米 1米米 0.3米米 例例3.3.在三棱锥在三棱锥V-ABCV-ABC中中,AC=BC=13,AB=10,AC=BC=13,AB=10，三，三 个侧面与底面所成的二面角均为个侧面与底面所成的二面角均为6060o o,VO,VO平平 面面ABC, ABC, 交平面交平面ABCABC于于O.OO.O在三角形内部。在三角形内部。 B A C V E O F D OD为为VD在平面在平面ABC内的射影内的射影, 根据根据 三垂线定

6、理三垂线定理, 得得VDAB.于是于是VDO为侧面为侧面VAB 与底面所成二面角的平面角，与底面所成二面角的平面角，VDO= 60o. 同理同理VEO=VFO=60o. C V 解解:（1） 过过O在平面在平面ABC 内分别内分别 作作AB、AC、BC的垂线的垂线,D、F、E 为垂足为垂足. 连结连结VD、VF、VE. A E O F D B 因为因为VO平面平面ABC,OD AB, 显然显然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即点即点O到到 ABC三边距离相等三边距离相等. 因此因此 O是是ABC的内心的内心. .3 3 10 60 . 3 10 .60 ,12 13)2( 22

7、 ODtgVOh OD ABCS ADACCD DOC COACBC ABC 内内切切圆圆半半径径 的的易易知知得得 共共线线、则则 ，连连 C V E O F D . 3 3200 3 310 60 3 1 3 1 ) 3( hSV ABCABCV A B 例例4. 4. 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面 角为角为120120o o, , 底面边长底面边长a, a, 求它的高、体积求它的高、体积. . AB C D S E O AB C D S E O 解解：连结连结ACAC、BDBD交于交于O O，连结，连结SOSO， 则则SOSO为正四棱锥的高为正四棱锥的

8、高. . 过过B B作作BESC, EBESC, E为垂足为垂足. .连结连结DE,DE, 则则DEBDEB为二面角为二面角D-SC-BD-SC-B的平面角的平面角, , 所以所以DEB=120DEB=120o o. . A S B C D E O . 6 1 2 1 3 1 3 1 . 2 1 2 1 4 3 . 2 3 , 3 1 3 6 60 , 2 2 32 22 3 1 2 1 2 aaaShV aaOCSCSO aSCSCECOCSOCRT aECaBEOEB aOCOBaAB 中中 又又 连结连结OE, 例例5.5.如图三棱锥如图三棱锥V-ABCV-ABC中中, D, D为为BC

9、BC上一点上一点,E,E为为 AV AV上一点上一点, BCED, BCAV, ED AV, BCED, BCAV, ED AV, 已知已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求求: :三棱锥的体积三棱锥的体积. . V A B C D E V A B C D E BC=6, ED=4, AV=8. 32)( 3 1 , AEVESV VVV BCEVA EDVABCVA BCEABCV BCEABCEVABCV 平面 解： E V A B C D BC=6, ED=4, AV=8. 32)( 3 1 , CDBDSV VVV VADBC

10、VABCEDBC VDAABCV VDACVDABABCV 平面平面 例例6、如图、如图,在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,G为为 A1B1上的点上的点,E、F在棱在棱AB上上,H在在C1D1上上. (1).若点若点G在在A1B1上滑动上滑动, H在在C1D1上滑动上滑动,线段线段 EF在在AB上滑动上滑动,则则VH-EFG的值有何变化的值有何变化? (2).若点若点G滑动到滑动到B1,E、F滑动到滑动到A、B点点,H滑动滑动 到到D1点点,则则VH-EFG体积为多少体积为多少? A B C D A1 B1 C1D1 G H EF A D B C E 证明：在平面证明：在平面BC

11、DBCD内，作内，作DE BCDE BC，垂足为，垂足为E E， 连接连接AE, DEAE, DE就是就是AEAE在平面在平面BCDBCD上的射影。上的射影。 根据三垂线定理，根据三垂线定理，AE BCAE BC。 AEDAED。 例例7 7：已知：三棱锥：已知：三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥 三棱锥 S S ABCABCADcos ADcos 3 1 S S AB CAB C ADcos ADcos 3 1 BC AEcos AD BC AEcos AD 2 1

12、3 1 V V三棱锥 三棱锥 S S B CD B CD AD AD 3 1 BC DE AD BC DE AD 1 3 1 2 3 1 例例8 8：已知：已知: :三棱锥三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥 三棱锥 S S ABCABCADcos ADcos A D B C E 问题问题1 1、ADcosADcos有什么几何意义？有什么几何意义？ F 结论：结论： V V三棱锥 三棱锥 S S AB C AB C DF DF 3 1 3 1 例例9 9、已知：三棱锥、已

13、知：三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥 三棱锥 S S ABCABCADcos ADcos A D B C E 结论：结论： V V三棱锥 三棱锥 V VC-AED C-AED V VB-AED B-AED 问题问题2、解答过程中的、解答过程中的 BC AEcos AD BC AEcos AD其中其中 AEcos ADAEcos AD可表示什么意思？可表示什么意思？ 2 1 2 1 3 1 AEcosED S AED EDAD 2 1 又又BE与与CE都垂直平面都垂直平

14、面AED，故，故BE、CE 分别是三棱锥分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。的高。 分析：分析： 练习练习1 1： 将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？ （请列出三棱锥体积表达式）（请列出三棱锥体积表达式） A B CD A C B D 问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？ 问题问题2、如果这是一、如果这是一 个平行六面个平行六面 体呢？或者体呢？或者 四棱柱呢？四棱柱呢？ 练习练习2:2: 从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得从一个正方体中，

15、如图那样截去四个三棱锥，得 到一个正三棱锥到一个正三棱锥A-BCDA-BCD，求它的体积是正方体体，求它的体积是正方体体 积的几分之几？积的几分之几？ C D A B 问题问题2、如果改为、如果改为求求 棱长为棱长为a a的正四面的正四面 体体A-BCDA-BCD的体积。的体积。 你能有几种解法？你能有几种解法？ 问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？ 解一、补形，将三棱解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。锥补成一个正方体。 解二、利用体积公式解二、利用体积公式 V四面体 四面体 S BCDh 3 1 解三、将四面体分割为解三、将四面体分割为 三棱锥三棱锥C-ABE和三棱和三棱 锥锥D-ABE E 练习：练习： 1 1、四面体、四面体O-