模态分析汇编

1、 第四章第四章 模态分析模态分析 4.1 引言 4.2 实模态分析 4.3 复模态分析 4.4 试验模态分析 绪论绪论 机械振动的研究对象、意义 数学准备和运动学 绪论绪论 机械振动的研究对象、意义 振动，是指物理量在它的平均值附近不断地 经过极大值和极小值而往复变化的过程。 机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附 近的往复弹性运动。 机械振动研究的对象是机械或结构，即具备 质量和弹性的物体。在理论分析时，需要把 机械或结构按照力学原理，通过数学建模， 抽象为力学系统（又称为数学模型）。 可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。 振动系统三要素及其关系 振动系统的三要素：激 励、系统和响应 外

2、界对振动系统的激励 或作用，称为振动系统 的激励或输入。 系统对外界影响的反映， 称为振动系统的响应或 输出。 二者由系统的振动特性 相联系。 三种基本振动问题 响应分析：在扰动条件和 系统特性已知的情形下， 求系统的响应 系统识别：分析已知的激 励与响应，确定振动系统 的性质 环境预测：已知振动系统 和在未知激励下的响应， 研究该未知激励的性质 响应分析 车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应 工程提法：系统设计 在一定的激励条件下，如何来设计系统的特 性，使得系统的响应满足指定的条件。 系统识别 方法：以某种已知的激振力作用在被测振动 系统上，使其产生响应，根据已知的激励和 测量得到的

3、响应量值，进而根据一定的分析 方法（模态分析），确定系统的振动参数， 如：质量矩阵，刚度和阻尼矩阵以及系统的 振型和固有频率向量。 模态试验 环境预测 例：振源判断、载荷识别、基于振动信号的 工况监视与故障诊断。 例：用五轮仪来测量路面的不平度 对于五轮仪，其系统特性已知，通过测 量五轮仪的输出，可以反推出路面的不平度 特性。 机械振动的作用 消极方面：影响仪器设备功能，降低机械设 备的工作精度，加剧构件磨损，甚至引起结 构疲劳破坏。 积极方面：利用振动性能的设备 机械振动的破坏作用 颤振：大气紊流和其他振源都会使飞机等飞行器 产生振动（舒适性，机载仪表） 自激振动：输电线的舞动 1940年美

4、国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速 风载作用下，因桥身发生扭转振动和上下振动造 成坍塌事故 1972年日本海南的一台66104kW汽轮发电机组， 在试车过程中发生异常振动而全机毁坏； 步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共 振现象造成桥梁坍塌 机械振动的积极作用 共振放大 利用颗粒的振动进行清洗，抛光，零件去毛刺； 利用振动减小零部件之间的摩擦阻力和间隙 阀 体 阀 芯 电 磁 铁 学习机械振动的意义 进行结构动强度设计的需要 消除有害的振动 利用振动有利的一面 是学好相关知识的基础 离散系统的基本元件 机械振动系统： 惯性元件，弹性元件，阻尼元件，外界激励。 通常用物理量

5、： 质量M，刚度K，阻尼C，和外界激励F表示。 x1 k x2 x1 c x2 振动分类 按系统分： 线性系统和非线性系统 离散系统和连续系统 确定性系统和随机系统 按激励分： 自由振动 受迫振动 自激振动 参数共振 振动分类 按响应分： 简谐振动 周期振动 非周期振动 随机振动 按自由度分： 单自由度振动 多自由度振动 连续体振动 运动学 一、简谐运动一、简谐运动 按时间的正弦函数(或余弦函数)所作的振动 sinxAt 振幅相位 初相位 圆频率 运动学 简谐振动的速度和加速度 sinxAt 位移 速度 加速度 cosxAt 2 sinxAt 大小和位移成正比 方向和位移相反，始终指向平衡位置

6、 运动学 拍 1212 sinsin,atbt 不同频率振动的叠加 频率接近于相等时 拍的频率：每秒中振幅从最小值经过最大值到最小值的次数 拍的圆频率：12 12 运动学 简谐振动的复数表示 复平面上的一点z代表一个矢量 使该矢量以等角速度在复平面内旋转（复数旋转矢量） t P A 实轴 虚轴 cossin i t zAtitAe sinImIm i t yAtzAe cossin i exi 运动学 速度、加速度的复数表示 位移 i t xAe 速度 i ti t d xAei Ae dt 加速度 2i ti t dxd xi AeAe dtdt 1 i e /2i ei /2it A e

7、2it Ae 对复数Aeit每求导一次，相当于在它的前面乘上一个i，而每乘 上一个i，相当于把这个复数旋转矢量逆时针旋转/2 运动学 谐波分析 把一个周期函数展开成傅立叶级数，亦即展开成一系列简谐函数之和 一般的周期振动可以通过谐波分析分解成简谐振动 运动学 谐波分析 傅立叶级数 0 1121 1121 0 11 1 coscos2. 2 sinsin2. cossin 2 nn n a F tatat btbt a antbnt 1:基频 0 0 2 T aF t dt T 1 0 2 cos T n aF tntdt T 1 0 2 sin T n bF tntdt T 谐波分析 两个频率

8、相同的简谐振动可以合成一个简谐振动 111 cossinsin nnnn antbntAnt 22 nnn Aabtan n n n a b 把谐波分析 的结果形象化：An，n和之间的 关系用图形来表示，称为频谱 单自由度系统 自由振动 简谐振动 非周期强迫振动 自由振动 振动系统在初始激励下或外加激励消失后的 运动状态。 自由振动时系统不受外界激励的影响，其运 动时的能量来自于初始时刻弹性元件和惯性 元件中存储的能量。 振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和 系统本身的性质。 运动微分方程运动微分方程 振动系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。 自由振动时系统不受外界激励的影响，其运动

9、时的能量来自 于初始时刻弹性元件和惯性元件中存储的能量。 振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和系统本身的性质。 O 隔离体受 力分析 kx ( )x t m k 运动微分方程运动微分方程 运动微分方程 00 0 (0), (0) mxkx xxxx 2 n 00 0 (0), (0) xx xxxx n k m 运动微分方程运动微分方程 解12 cossin cos() nn n xAtAt At 10 Ax 0 2 n x A 2 2 0 0 2 n x Ax 0 0n arctan x x 运动微分方程运动微分方程 单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动 n 2 2 m T k n n 1

10、1 22 k f Tm 能量关系能量关系 意义：惯性力的功率Fm与弹性力的功率Fs之和为零 dd 0 dd xx mxkx tt 22 d11 0 d22 mxkx t 22 11 22 T EmxUkx T EUE 能量关系能量关系 T EUE 222 nn 1 sin () 2 T EmAt 22 n 1 cos () 2 UkAt 2 22 0 0 2 n 11 () 22 T x EUkAx 能量关系能量关系 Rayleigh商 22 max 11 22 TmAmx 动能系数 2 max n Uk mT 阻尼自由振动阻尼自由振动 方程 00 0 (0),(0)0 mxcxkx xxx

11、kx cx c k x m m O 2 00 20 (0),(0)0 nn xxx xxx n 22 cc mmk 阻尼自由振动阻尼自由振动 解 e st xA 特征方程 2 0mscsk 22 20 nn ss 临界阻尼 22 en cmkm 22 en ccc cmmk 阻尼自由振动阻尼自由振动 特征方程解 2 1,2 1 nn s -2-101 -1 0 1 Re Im 阻尼自由振动阻尼自由振动 方程的通解 12 12 ( ) s ts t x tAeA e 三种情况 1，相异实根。阻尼大于临界阻尼。强阻尼 =1，重根。阻尼等于临界阻尼 1 =1 2 1,2 (1) n s 22 11

12、12 ( )() nnn ttt x teAeA e 1,2n s 12 ( )() nt x tAA t e 阻尼自由振动阻尼自由振动 1 2 1,2 (i 1) n s 阻尼固有频率 2 n 1 d 12 ( )(cossin) nt dd x tectct ( )cos() nt d x tXet 1020 ,()/ nd cx cxx 阻尼自由振动阻尼自由振动 对数衰减率 1 2 11 21 cos() cos( n n t d t d Xetx xXet 12 () nn d ttT ee 21 n d T xx e 1 2 2 2 ln 1 nd x T x 简谐强迫振动简谐强迫振

13、动 22 2cos nnn xxxAt kx cx c k x m m x O 0 cosFt 方程 解 2 2 2 nn cos cos() 1 () 2 nt d Xt xBet 简谐强迫振动简谐强迫振动 系数 2 2 00 0 1 00 0 tan n d n d xx Bx xx x 22 2 nn 1 n 2 n 1 ()2 2 tan 1 () A X 简谐强迫振动简谐强迫振动 放大系数 22 2 nn 1 1 ()2 X A 0 1 2 3 4 X/A 0.5 1 / n 1 0.7 0.4 0.3 0.2 1 . 0 0 00123 2 1 0.7 0.5 0.2 0.1 0

14、简谐强迫振动简谐强迫振动 相频特性 1 n 2 n 2 tan 1 () 简谐强迫振动简谐强迫振动 全解 简谐强迫振动简谐强迫振动 全解 振动计 0 1 2 3 4 6 7 5 012 A B C y0/a0 /n 位移测量计 扰动频率大于仪器的固有频 率（B点），记录的振幅逐 渐接近于扰动频率的振幅 仪器的固有频率应该比要记 录测量的频率低2倍 当振动包含高阶频率时，不 影响位移振动计的测量 简谐强迫振动简谐强迫振动 振动加速度计 0 1 2 3 4 6 7 5 012 A B C y0/a0 /n 2 0 2 0 / 1/ n n y a 2 0 0 2 n a y 振动加速度计的固有频

15、率应该是所记录测量的 最高频率的2倍以上 简谐强迫振动简谐强迫振动 振动加速度计振幅 r0/a /n 0 0.250.500.751.001.251.501.752.00 0 0.5 1.0 1.5 2.0 c/cc=0 抛物线 c/cc=0.5 c/cc=0.7 为了避免高阶谐振共振影响振动加速度计工作， 必须在振动加速度计中加入阻尼 0.5和0.7临界阻尼比无 阻尼曲线更接近理想加 速度计曲线 简谐强迫振动简谐强迫振动 振动加速度计-相位 1230 0 30 60 90 180 /n c/cc=0 c/cc=0.125 c/cc=0.20 c/cc=0.50 c/cc=1 120 150

16、当阻尼在0.5-0.7临界 阻尼之间时，相位差 特性曲线很接近低于 共振区域的对角线： 相位差近似正比于频 率，记录的波的合成 与实际波相同。 2 n 简谐强迫振动简谐强迫振动 振动的隔离原理 0sin Pt 0sin Pt k 通过弹簧传给下 层结构的力？ 0 1 2 3 4 5 -1 2 -3 -4 1 x0/xst A B C /n 000 00 / st xxkx xPkP 弹簧力传递力 可传性 外力外力 可传性 简谐强迫振动简谐强迫振动 振动的隔离原理: 阻尼 /n 隔振系数 1 0 2 0123 0.25 0.5 0.5 c/cc=0 l/n1.41区域中，阻尼使隔振 系数减小(但

17、仍然比1大) l阻尼的存在使隔振系数 更坏？ 2 l阻尼的存在可以有效防 止共振 l阻尼的不利效应可以很 容易通过使弹簧变得更软 来弥补 非周期强迫振动非周期强迫振动 脉冲力脉冲力 t = 时的单位脉冲力时的单位脉冲力 重要性质：重要性质：F F( (t t) )在在t t = = 连续，则有连续，则有 ()0 ()d1 tt tt ( ) ()d( )F tttF 非周期强迫振动非周期强迫振动 系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应 条件：条件：t t=0=0以前系统静止，以前系统静止，t t=0=0时刻受到一个单位脉冲力作用时刻受到一个单位脉冲力作用 解为单位脉冲响应解为单位脉冲响应 ( )

18、 (0 )0, (0 )0 mxcxkxt xx 1 ( )sin0 n it d d h tett m h(t) = 0 t0 012345678910 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10 -3 非周期强迫振动非周期强迫振动 卷积极分卷积极分 把任意激励把任意激励F F( (t t) )看成一系列脉冲函数的叠加看成一系列脉冲函数的叠加 0 ( )() ( )d t x th tF 定解问题定解问题 00 ( ) (0), (0) mxcxkxF t xx xx 解解 00 0 0 ( )e(cossin) ()()d nt n dd d t xx x txtt h tF 多

19、自由度系统 多自由度系统振动方程 固有振动 动力响应分析 多自由度系统振动方程多自由度系统振动方程 例例 1 112122121221 2221232212322 ()()( ) ()()( ) m xcc xc xkkxk xf t m xc xcc xk xkk xf t 多自由度系统振动方程多自由度系统振动方程 x =x1，x2T T 12 ,x xx T 12 ,x x x 1 0 0 2 m m M 122 223 ccc ccc C 122 223 kkk kkk K f(t) =f1(t)，f2(t)T ( ) tMxCxKxf 多自由度系统振动方程多自由度系统振动方程 质量矩阵

20、，阻尼矩阵，刚度矩阵的性质质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵的性质 对称性对称性 正定性正定性 耦合耦合 惯性耦合惯性耦合 阻尼耦合阻尼耦合 弹性耦合弹性耦合 耦合的消除耦合的消除 000 TT x Mxx Mxx 000 TT x Cxx Cxx 000 TT x Kxx Kxx 固有振动固有振动 2 反向运动反向运动 例：对称系统，例：对称系统， 特殊初始条件下的振动特殊初始条件下的振动 1 同向运动同向运动 x1(0)= x2(0)= x0， 120 (0)(0)xxx x1(0)= x2(0)= x0 120 (0)(0)xxx 1 k m 1 2 2kk m 固有振动固有振动 固有振动固有

21、振动 3 任意初始条件任意初始条件 分解为两个初始条件分解为两个初始条件 110220110220 (0),(0),(0),(0)xxxxxxxx 10201020 1212 (0)(0),(0)(0) 22 xxxx xxxx 10201020 1212 (0)(0),(0)(0) 22 xxxx xxxx 00.20.40.60.811.21.41.61.82 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10-3 固有振动固有振动 数学提法数学提法 方程方程0MxKx 特征值问题特征值问题 频率方程频率方程 K = 2Mu |kij2mij|=0 解为解为 固有频率固有频率 12，n

22、振型振型 1 ， 2 ， ， n 固有频率矩阵固有频率矩阵 =diag(1，2，n) 振型矩阵振型矩阵 = 1， 2， n K = K 1 ，K 2 ，K n= 12 1 ，22 2 ，n2 n 固有振动固有振动 振型的正交性振型的正交性 当当 r s时，如果时，如果rs，则有，则有 0 0 T sr T sr K M 可证：振型之间线性无关可证：振型之间线性无关 可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积 即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交 K=xTKy, M=xTMy 当当y=x时时 K=xTKx, M=x

23、TMx 固有振动固有振动 振型正交性的物理意义振型正交性的物理意义 如果如果 x= ar r + as s 则则 xTKx= ar2 rTK r + as2 sTK s rrss xbb 22 111 222 TTT rrrsss x MxbMbM 固有振动固有振动 振型归一化振型归一化 1 令令1 T rr M 2T rrr K 2 令令 r的某一分量为的某一分量为 1。比如取。比如取 r 的分量中绝对值最的分量中绝对值最 大的分量为大的分量为 1， 2T rrrrr KMK T rrr MM 固有振动固有振动 振型坐标的解耦性振型坐标的解耦性 阻尼矩阵的处理阻尼矩阵的处理 T 12 T 1

24、2 diag(,) diag(,) d n d n K KK M MM KK MM Td CC Rayleigh阻尼阻尼 C = M +K 11 MCKKCM 11 KM CCMK 11 CKMMK C Fawzy证明证明C可对角化应满足下述条件之一可对角化应满足下述条件之一 固有振动固有振动 方程方程 2 ()0MCK 特征方程特征方程 0MxCxKx 令令 q= e t 2 0MCK n对共轭复根对共轭复根 i 1,2, i rrdr rrdr = + rn = 2 |1,2, 2 rrdr +rn 动力响应分析动力响应分析 物理坐标下的方程物理坐标下的方程 ( ) tMxCxKxf x=

25、 y，且两边左乘，且两边左乘 T ，得到振型坐标下的方程，得到振型坐标下的方程 ( ) ddd tM yC yK yq 1111111 2222222 ( ) ( ) ( ) nnnnnnn M yC yK yq t M yC yK yq t M yC yK yq t 写出分量形式写出分量形式 动力响应分析动力响应分析 初始条件的处理初始条件的处理 00 (0)(0)xxyy 两边左乘两边左乘 TM 同样同样 00 (0)(0)xxyy 0120 (0)(0)diag(,) n m mmMxMxMyy 00 12 111 diag(,) n mmm yMx 00 12 111 diag(,)

26、n mmm yMx 动力响应分析动力响应分析 展开定理展开定理 1122nn yyyxy 弹性力弹性力 位移位移 1122 () snn yyy fKxKy =KKK 222 111222 () nnn yyy=MMM 复模态分析复模态分析 方程方程 ( )MxCxKxf t 引入辅助方程引入辅助方程0MxMx 令令( ) x q t x ( ) ( ) 0 f t p t 0 CM A M 0 0 K B M ( )AqBqp t 状态空间方程状态空间方程 复模态分析复模态分析 令令 q= e t ()0AB 0AB 特征方程特征方程 n对共轭复根对共轭复根 i 1,2, i rrdr rr

27、dr = + rn = 2 |1,2, 2 rrdr +rn 复模态分析复模态分析 由由 ()0 rr AB 得到得到n对对2n维共轭向量维共轭向量(特征向量特征向量) rr 并有并有 1,2, rr rr rrrr rn 称称 r为第为第r阶模态向量阶模态向量 复模态分析复模态分析 令令 12 , n 则则 这里这里 称：称： 为复模态矩阵为复模态矩阵 1212 , nn 1212 diag(,)diag(,) nn 为特征向量矩阵为特征向量矩阵 为频率矩阵为频率矩阵 复模态分析复模态分析 复特征向量的正交性复特征向量的正交性 T 0 rs r rs ars H 0 rs r rs ars

28、r，s=1，2，, ,n T 0 rs r rs brs H 0 rs r rs brs rr rr rr bb aa 复模态分析复模态分析 上面公式展开得上面公式展开得 T 0 () rsrs r rs ars MC r，s=1，2，, ,n T 0 () rsks r rs brs K H 0 () rsrs r rs ars MC H 0 () rsks r rs brs K 复模态分析复模态分析 1212 diag, nn a aa a aaA 分块有分块有 12 (2)diag, n a aaC H 12 (2)diag, n a aaC H (2Re)0C 复模态分析复模态分析 分

29、块有分块有 1212 diag , nn b bb b bb 2 12 ()diag , n b bbK H ()0K H2 12 ()diag , n b bbK 复模态分析复模态分析 复模态质量复模态质量 H rrr m 复模态参数复模态参数 H r k rr 复模态刚度复模态刚度 H r c rr C r=1，2，, ,n 复模态阻尼复模态阻尼 并有并有2Re0 rrr mc 0 rrrr km r=1，2，, ,n 复模态分析复模态分析 复模态阻尼衰减系数复模态阻尼衰减系数 Re r rrr r c 2m | r rrr r k m 复模态固有频率复模态固有频率 2 rr r r rr

30、 c = m k r=1，2，, ,n 复模态阻尼比复模态阻尼比 并有并有 复模态阻尼固有频率复模态阻尼固有频率 222 1 rdrrrr 2 2 ii1 ii1 rrdrrrrr rrdrrrrr = + = 复模态分析复模态分析 ( )AqBqp t 物理坐标下的方程物理坐标下的方程 q= y，且两边左乘，且两边左乘 T ，得到复特征向量坐标下的方程，得到复特征向量坐标下的方程 12121212 diag(,)diag( , )( ) nnnn a aa a aab bb b btyyw TTT (0)(0),(0)qxx 初始条件初始条件 120 (0) (0)=diag( ,) (0)

31、 n a aa z yAq z 复模态分析复模态分析 0AqBq 物理坐标下的自由振动解物理坐标下的自由振动解 特征向量坐标下的解为特征向量坐标下的解为 1212 0 diag(e ,e,e,e ,e,e) nn tttttt yy 由由q= y中取出前中取出前n项，得项，得 1212 diag(e ,e,e) (0)diag(e ,e,e) (0) nn tttttt xzz 1 (0)e(0)e rr n tt rrrr r zz 复模态分析复模态分析 如果系统以某阶阻尼固有频率振动时如果系统以某阶阻尼固有频率振动时 ，有，有 其中第其中第s个坐标的运动为个坐标的运动为 设设 (0)e(0

32、)e rr tt rrrrr zz x (0)e(0)e rr tt srsrrsrr xzz ii e(0) |(0)|e srr srsrrr =|zz 则则 2|(0) ecos(+) rt srsrrdrsrr xz|t+ 复模态分析复模态分析 一般粘性阻尼系统以一般粘性阻尼系统以r阶主振动做自由振动时，阶主振动做自由振动时， 每个物理坐标的初相位每个物理坐标的初相位( sr r)不仅与该阶主振动有不仅与该阶主振动有 关，还与物理坐标关，还与物理坐标s 有关，即各物理坐标初相位不有关，即各物理坐标初相位不 同。因而，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡同。因而，每个物理坐标振动时并不同时

33、达到平衡 位置和最大位置，即主振型节点（线）是变化的，位置和最大位置，即主振型节点（线）是变化的， 即不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而即不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而 是行波形式。这是复模态系统的特点是行波形式。这是复模态系统的特点 复模态分析复模态分析 简支梁二阶振型半个周期内的变化简支梁二阶振型半个周期内的变化 （a）实模态系统；（）实模态系统；（b）复模态系统）复模态系统 连续体振动 杆的纵向振动杆的纵向振动 轴的扭转振动轴的扭转振动 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 杆的纵向振动杆的纵向振动 假定：假定：细长等截面杆细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截振动时横截

34、面仍保持为平面，横截 面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。 则同一横截面上各点在则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。方向作相等的位移。 参数：杆长参数：杆长l，截面积，截面积S，材料密度，材料密度 ，弹性模量，弹性模量E 杆的纵向振动杆的纵向振动 杆的纵向振动杆的纵向振动 2 2 2 2 2 x u a t u 微元分析：微元分析： m AE a 2 杆的纵向振动杆的纵向振动 杆的纵向振动杆的纵向振动 杆的纵向振动杆的纵向振动 解解：设：设 u(x,t)=X(x)T(x) )()()()( 2 xXtTatTxX 即即 )(

35、)( )( )( 2 xX xX a tT tT 0)()( 2 tTtT 0)()( 2 2 xX a xX 杆的纵向振动杆的纵向振动 )( )( ti AetT 解解为为 x a Cx a CxX cossin)( 21 时间域，初值问题时间域，初值问题 空间域，边值问题空间域，边值问题 固支边条件固支边条件 x=0时时，u(0,t)=X(0)T(x)=0，即X(0)=0 x=l时时，u(l,t)=X(0)T(l)=0，即X(l)=0 自由边条件自由边条件 x=0时时, , ，即，即 0)( )0(), 0( tT dx dX x tu 0 )0( dx dX x=l时时, , ，即，即

36、0)( )(),( tT dx ldX x tlu 0 )( dx ldX 杆的纵向振动杆的纵向振动 0sinl a 例：例：如果两端固支，有如果两端固支，有 x l x sin 1 l x l x 2 sin 2 x 两端固支杆纵向振动特征方程（频率方程）两端固支杆纵向振动特征方程（频率方程） 这就是两端固支杆纵向振动的各阶频率，相应的各阶这就是两端固支杆纵向振动的各阶频率，相应的各阶 固有振型是：固有振型是： nl a （n=1,2,） m EA l n a l n n （n=1,2,） C2=0 0sin 1 l a C 显然，显然，C10，故有：，故有： x l n x a xX n

37、n sinsin)( 轴的扭转振动轴的扭转振动 方程方程 dx Mk 2 2 )( t dxxI dx x Mk Mk 弹性轴轴向坐标弹性轴轴向坐标x，扭转变，扭转变 形形(x,t)，单位长度对，单位长度对x轴的轴的 转动惯量转动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度 为为GJ(x)。 0)()( 2 2 t xI x xGJ x 当转动惯量当转动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度GJ(x)与与x无关时无关时 0 2 2 2 2 t I x GJ 2 2 2 2 2 2 2 xxI GJ t 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 0 2 2 4 4 t y m x y EI 方程方程 用分离变量法

38、求解，令用分离变量法求解，令 )()(),(tTxYtxy0 2 2 4 4 t Y mY x Y EIT 令令 ，则上式为：，则上式为： T dt Td Y dx Yd a m EI IV 2 2 4 4 2 , T T Y Y a IV 2 22 T T Y Y a IV 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 )( ti AeT 方程方程 0 2 TT 0 2 2 )4( Y a Y x a Cx a Cx a chCx a shCxY cossin)( 4321 边界条件边界条件 简支简支 000 2 2 dx Yd Yx，处， 00 2 2 dx Yd Ylx，处， 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 固支

39、固支 自由自由 000 dx dY Yx，处， 000 3 3 2 2 dx Yd dx Yd x，处， 00 dx dY Ylx，处， 00 3 3 2 2 dx Yd dx Yd lx，处， 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 固支固支 自由自由 000 dx dY Yx，处， 000 3 3 2 2 dx Yd dx Yd x，处， 00 dx dY Ylx，处， 00 3 3 2 2 dx Yd dx Yd lx，处， 随机振动 随机过程 相关函数 功率谱函数 激励响应关系 随机过程随机过程 样本函数样本函数 xr(t) t ( ， ) 随机函数随机函数 txtX k 状态状态 1 tX 数字特征数字特征 均值均值 x=EX(t) 均方值均方值 x=EX2(t) 方差方差 E(X (t) x )2 相关函数相关函数 相关函数相关函数 自相关函数自相关函数 平稳随机过程平稳随机过程 统计性质、趋势与时间无关统计性质、趋势与时间无关 1212 , x Rt tE X tX t 互相关函数互相关函数 1212 , xy Rt tE X t Y t 均值、均方值和方差为常数均值、均方值和方差为常数 相关函数是时差的函数相关函数是时差的函数 x RE X t X t xy RE X t Y t 各态遍历过程各态遍历过程 相关函数相关函数 自相关函数性质自