第二章 一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系

1、1 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 一元二次方程的根一元二次方程的根 与系数的关系与系数的关系 2 1课堂讲解课堂讲解 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系的应用 2课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 3 方程方程ax2bxc0(a0)的求根公式的求根公式 不仅表示可以由方程的系数不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且决定根的值，而且 反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数 之间的联系还有其他

2、表现方式吗？之间的联系还有其他表现方式吗？ 2 , 4 2 bbac x a 4 1 知识点知识点 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 思考思考1 1 从因式分解法可知，方程从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0 (x1，x2为已知数为已知数)的两根为的两根为x1和和x2，将方程化为，将方程化为 x2pxq0的形式，你能看出的形式，你能看出x1，x2与与p，q之之 间的关系吗？间的关系吗？ 知知1 1导导 5 知知1 1导导 归归 纳纳 方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1x2p，x1x2q. 6 知识点知识点 一般

3、的一元二次方程一般的一元二次方程ax2bxc0中，二中，二 次项系数次项系数a未必是未必是1，它的两个根的和、积与系数，它的两个根的和、积与系数 又有怎样的关系呢？又有怎样的关系呢？ 知知1 1导导 思考思考2 2 7 知知1 1导导 归归 纳纳 方程的两个根方程的两个根x1，x2和系数和系数a，b，c有如下关系：有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相 反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比

4、1212 ,. bc xxx x aa 8 例例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x27x60； (2)2x23x20. 解：解：(1)这里这里a1，b7，c6. b24ac724164924250. 方程有两个实数根方程有两个实数根 设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是x1，x2，那么，那么 x1x27，x1x26. (2)这里这里a2，b3，c2. b24ac(3)242(2)916250， 方程有两个实数根方程有两个实数根 设方程的两个实数根是设方程的两个实数根是x1，x2，那么，那么 x1x2 ，x1

5、x21. 知知1 1讲讲 （来自教材）（来自教材） 3 2 9 识点识点 知知1 1讲讲 例例2 根据一元二次方程的根与系数的关系，求根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根下列方程两个根x1，x2的和与积：的和与积： （1）x26x150 （2）3x27x90； （3）5x14x2. 解：解： (1)x1x2(6)6，x1x215. (3)方程化为方程化为4x25x10， 1212 79 (2)3. 33 xxx x ， 12 1 . 4 x x 12 55 = 44 xx ， 10 1 一元二次方程一元二次方程x24x30的两根为的两根为x1，x2，则，则x1x2的值是的值是

6、() A4 B4 C3 D3 已知已知x1，x2是方程是方程x23x10的两个实数根，那么下列结的两个实数根，那么下列结 论正确的是论正确的是() Ax1x21 Bx1x23 Cx1x21 Dx1x23 知知1 1练练 2 （来自（来自典中点典中点） 11 3 已知实数已知实数x1，x2满足满足x1x27，x1x212，则以，则以x1，x2为根为根 的一元二次方程是的一元二次方程是() Ax27x120 Bx27x120 Cx27x120 Dx27x120 知知1 1练练 （来自（来自典中点典中点） 12 2 知识点知识点一元二次方程的根与系数的关系的一元二次方程的根与系数的关系的 应用应用

7、知知2 2讲讲 （来自（来自点拨点拨） 例例3 已知关于已知关于x的方程的方程x26xp22p50的的 一个根是一个根是2，求方程的另一个根和，求方程的另一个根和p的值的值 导引：导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之已知二次项系数与一次项系数，利用两根之 和可求出另一根，再运用两根之积求出常数和可求出另一根，再运用两根之积求出常数 项中项中p的值的值 13 知知2 2讲讲 解：解： 设方程的两根为设方程的两根为x1和和x2， x1x26，x12，x24. 又又x1x2 p22p5248， p22p30，解得，解得 p3或或p1. c a 14 知知2 2讲讲 总总 结结 已知方程的一根

8、求另一根，可以直接代入先已知方程的一根求另一根，可以直接代入先 求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一 根也可以直接利用根与系数的关系求另一根及根也可以直接利用根与系数的关系求另一根及 待定字母的值待定字母的值 （ 来自来自点拨点拨） 15 1 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2mx80的一个实数根为的一个实数根为2， 则另一实数根及则另一实数根及m的值分别为的值分别为() A4，2 B4，2 C4，2 D4，2 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 16 2 等腰三角形三边长分别为等腰三角形三边长分别为a，b，2，且，且a，b是

9、关于是关于x的一元的一元 二次方程二次方程x26xn10的两根，则的两根，则n的值为的值为() A9 B10 C9或或10 D8或或10 知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点） 17 3 知知2 2练练 已知关于已知关于x的方程的方程x2axa20. (1)若该方程的一个根为若该方程的一个根为1，求，求a的值及该方程的另一根；的值及该方程的另一根； (2)求证：不论求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 （来自（来自点拨点拨） 18 知知2 2讲讲 例例4 方程方程x22kxk22k10的两个实数根的两个实数根x1，x2满满 足足x12x2

10、24，则，则k的值为的值为_ 由由x12x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)22x1x2 4，根据根与系数的关系即可得到一个关于，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，的方程， 从而求得从而求得k的值的值 x12x22x122x1x2x222x1x2 (x1x2)2 2x1x24，x1x22k，x1x2k22k1， 4k24(k22k1)4， 解得解得k1. 导引：导引： k1 19 知知2 2讲讲 总总 结结 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先 根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与根据根与系数的关系用待定的字母表示

11、两根之和与 两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将 两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数 的方程，进而求出待定字母的值的方程，进而求出待定字母的值 （来自（来自点拨点拨） 20 1 若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x2kx4k230的两个的两个 实数根分别是实数根分别是x1，x2，且满足，且满足x1x2x1x2，则，则k的的 值为值为() A1或或 B1 C. D不存在不存在 知知2 2练练 3 4 3 4 （来自典中点）（来自典中点） 21 2 已知已知a，b是方程是方程x2x30的两个根，则代数的两个根，则代数 式式2a3b23a211ab5的值为的值为_ 知知2 2练练 （来自（来自点拨点拨） 22 1. 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根的两个根x1，x2 和系数和系数a，b，c的关系：的关系： 2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及 未知系数的方法：未知系数的方法： (1)当